Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Paycha, S. (EDT)/ Uribe, B. (EDT)

出品人:

页数:255

译者:

出版时间:

价格:79

装帧:Pap

isbn号码:9780821840627

丛书系列:

图书标签:

• 量子场论
• 几何学
• 拓扑学
• 数学物理
• 弦理论
• 量子引力
• 共形场论
• 泛函积分
• 代数拓扑
• 微分几何

好的，这是一本图书的简介，其主题为《拓扑场论与弦理论的数学基础》。 --- 《拓扑场论与弦理论的数学基础》 图书简介 本书致力于深入探讨二十世纪后半叶以来，物理学与数学交叉领域中最具变革性的两个主题——拓扑场论（Topological Field Theory, TQFT）与弦理论（String Theory）——的严格数学基础。本书面向拥有扎实的微分几何、代数拓扑和经典场论知识的读者，旨在构建一座从经典物理概念到前沿量子场论结构的严谨桥梁。 全书结构清晰，内容分为四个核心部分，循序渐进地揭示了这些深刻理论背后的数学构造。 第一部分：微分拓扑与规范场论的几何框架 本部分奠定了理解拓扑场论和弦理论所必需的几何分析基础。我们从基础的微分流形理论出发，详细回顾了切丛、向量丛、纤维丛以及联络的结构。重点着墨于纤维丛上的规范理论。 规范理论的提炼： 我们将爱因斯坦-杨-米尔斯理论置于规范场论的框架下进行考察。这包括对主纤维丛（Principal Fiber Bundle）及其联络（Connection）的深入分析，特别是陈-西蒙斯联络（Chern-Simons Connection）的引入，这在低维拓扑场论中扮演着核心角色。我们详细讨论了贝里相奇（Berry Phase）和规范群（Gauge Group）的表示论，这些是理解量子化过程中的不变性的关键。 德拉姆上同调与霍奇理论： 为引入拓扑不变量，我们系统地阐述了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的构造及其与拓扑的内在联系。随后，对霍奇分解（Hodge Decomposition）的讨论，为处理黎曼流形上的场论（如共形场论的基础）提供了必要的工具。我们着重于上同调环（Cohomology Ring）的结构，强调其如何编码了流形的拓扑信息，而非度量信息。 第二部分：拓扑场论的代数结构与分类 本部分是全书的理论核心，专注于拓扑场论的严格数学定义及其与代数拓扑的深刻关联。 西格曼模型与拓扑形变： 我们首先从物理直觉出发，引入西格曼模型（Sigma Model）及其向拓扑极限的形变。这包括理解如何通过“冻结”某些场或使其作用量变成拓扑精确的形式，从而将依赖于度量的积分转化为依赖于拓扑不变量的量。 阿蒂亚-塞格尔公理体系： 本部分的核心在于对阿蒂亚（Atiyah）的五条公理进行详细的数学阐释。我们将拓扑场论视为从一个d-维的拓扑空间（或d-流形）到一个特定范畴（即“场论的态空间范畴”）的函子。这个范畴通常是莫莱达（Moreau-Voisin）范畴或与之相关的（∞, n）-范畴。 零维与一维： 详细分析了零维（点）和一维（圆）流形上的场，它们对应于代数结构——代数上的向量空间和环。 二维： 重点考察二维拓扑场论（2D TQFT），展示其如何与可结合代数（Associative Algebra）和莫莱达代数（Frobenius Algebra）建立精确的对应关系。这部分会详细讨论张量网络（Tensor Networks）在2D TQFT中的应用。 三维： 转向三维拓扑场论，介绍莫莱达-塞格尔公理如何引向张量范畴（Tensor Categories）和张量3-范畴（Tensor 3-Categories）。我们探讨了Chern-Simons 理论如何通过费伯-鲁斯（Feynman-Rusinkiewicz）分解与纽结不变量（Knot Invariants，如琼斯多项式）的计算精确关联。 第三部分：高阶代数结构与共形场论的联系 本部分将视角从纯粹的拓扑不变量转向更精细的结构，探索拓扑场论如何渗透到共形场论（Conformal Field Theory, CFT）的研究中。 共形代数与维数提升： 我们分析了二维CFT中的核心结构——Witt代数及其中心扩张Virasoro代数。虽然TQFT本身不依赖于度量，但其极限情况或形变往往涉及共形对称性。本书阐释了如何通过引入度量对偶或形变参数，将TQFT的语言（如模空间上的上同调理论）过渡到CFT的语言（如顶点算子代数VOA）。 量子群与表示论： 深入研究了与特定CFT相关的量子群（Quantum Groups）的结构，特别是受限李代数（Restricted Lie Algebras）的表示。我们展示了如何利用这些代数的表示理论来计算特定拓扑流形上的配分函数。 代数几何的视角： 引入模空间（Moduli Space）的概念，特别关注Calabi-Yau流形的模空间。本书展示了弦论中的背景独立性（Background Independence）如何要求这些模空间具有特定的代数几何性质，例如模空间的Kähler性质。 第四部分：弦理论的数学构建：世界面与超对称 本部分聚焦于弦理论的数学基础，侧重于世界面（Worldsheet）理论及其在超对称背景下的几何限制。 世界面理论基础： 我们详细分析了玻色子弦（Bosonic String）和超弦（Superstring）的经典动力学，从Nambu-Goto作用量到Polyakov作用量。重点讨论如何通过共形重整化来消除量子引力中的奇异性，并引出二维共形场论作为约束。 超对称与超流形： 引入超流形（Supermanifold）的概念，这是处理超对称场论（Supersymmetric Field Theory）的必要数学框架。我们详细讨论了Grassmann 变量、微分形式的超化（Super-differential Forms）以及超李代数（Super-Lie Algebras）的构造。 D-膜与K-理论： 本部分的最后一部分探讨了D-膜（D-branes）的数学本质。D-膜被严格地解释为向量丛或更一般地，稳定向量丛的同类对象，它们存在于背景的K-理论（K-Theory）中。我们详细阐述了BOA 理论（Boundary Opertor Formalism）与边界代数之间的联系，展示了如何在低维拓扑场论的框架下（特别是三维Chern-Simons理论）理解D-膜的构型和相互作用。 结论： 本书最终将拓扑场论视为一种强大的数学工具，用于研究高维几何结构的不变量，同时也是理解弦理论中背景独立性和D-膜几何的必要语言。通过严谨的数学论证，本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，以驾驭这两个前沿领域。

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