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出版者:Thomson Learning

作者:McKeague, Charles P.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:141.95

装帧:HRD

isbn号码:9780495109006

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

深入浅出的数学之旅：线性代数导论 图书名称：线性代数导论 作者： [此处可填写虚构作者名，例如：张伟，李明] 出版社： [此处可填写虚构出版社名，例如：高等教育出版社] 定价： [此处可填写虚构定价] 开本： 16开 页数： 约550页 ISBN： [此处可填写虚构ISBN] 内容简介 《线性代数导论》是一本为初次接触线性代数概念的读者精心编写的教材。本书旨在系统、深入且直观地介绍线性代数的核心理论、基本运算以及其在现代科学与工程中的广泛应用。我们深知，对于许多学生而言，线性代数可能是其数学学习旅程中接触到的第一个“高维”学科，因此，本书从最基础的概念入手，以清晰的逻辑和丰富的实例，逐步引导读者构建坚实的理论框架。 本书的结构设计充分考虑了读者的学习曲线。我们避免了过度抽象的开篇，而是将重点放在向量、矩阵等具体对象的操作和几何意义上，确保读者能够“看到”和“触摸到”抽象概念的物质基础。随后，我们稳步推进到线性方程组的求解、向量空间的深刻理解，以及线性变换的本质。 第一部分：基础与工具箱 本书伊始，我们聚焦于线性代数赖以建立的基石——矩阵和向量。我们详细阐述了矩阵的定义、基本代数运算（加法、数乘、乘法），并强调了矩阵乘法在描述复合操作中的关键作用。特别是，我们花费大量篇幅讲解了矩阵乘法的“行乘以列”的直观解释，以及它如何对应于线性变换的复合。 紧接着，线性方程组的求解被提升到核心地位。从高斯消元法（Gaussian Elimination）的详细步骤、行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form）的确定，到如何利用这些形式来分析方程组的解的存在性与唯一性，我们提供了大量的实例和技巧。我们清晰地解释了初等行变换的本质，以及它们如何保持方程组解集的等价性。 在对基础工具进行充分磨练后，我们引入了矩阵的逆、行列式（Determinants）的概念及其性质。行列式的计算方法，包括代数余子式展开法和利用行简化来计算的方法，均被详尽解析。我们强调了行列式在判断矩阵是否可逆以及其几何意义（尺度因子）上的重要性。 第二部分：核心概念的深化 本书的核心部分深入探讨了线性代数的抽象结构——向量空间（Vector Spaces）。我们从最熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，逐步推广到更一般的定义，包括函数空间和多项式空间。对子空间（Subspaces）的定义、检验和构造是本部分的重点。 为了更好地理解向量空间，我们引入了线性无关性、线性组合、张成（Span）和基（Basis）的概念。我们展示了如何为任何给定的向量空间找到一组基，并解释了维度（Dimension）的唯一性。这一部分是理解后续所有高级主题的基石。 线性代数的核心思想之一是线性变换（Linear Transformations）。我们详细考察了线性变换的定义、核（Kernel，或零空间）和像（Range，或列空间）的性质。我们展示了任意线性变换都可以由一个特定的矩阵来表示，从而将抽象的函数映射转化为可计算的矩阵运算。我们还深入探讨了矩阵的秩与零度之间的关系，即秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem），这是线性代数中一个美妙的平衡关系。 第三部分：结构与应用 在掌握了基础结构后，本书转向了线性代数中结构最精妙的部分——特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）。我们解释了它们在描述系统动态行为中的关键作用，即“不变的方向”。我们详细推导了计算特征值和特征向量的步骤，并介绍了对角化（Diagonalization）的理论和实践。对角化不仅简化了矩阵幂的计算，也是理解线性动力系统的基础。 为了处理那些不可对角化的情景，本书引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的初步概念，旨在让读者对矩阵的结构有更全面的认识，尽管我们对这部分的处理力求简洁，避免过度繁琐的计算。 最后，本书拓展到线性代数在多个领域中的实际应用： 1. 正交性与最小二乘法： 我们探讨了内积空间、施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），并解释了正交投影在求解无解线性方程组（最小二乘问题）中的威力，这是数据拟合和回归分析的数学核心。 2. 对称矩阵与二次型： 针对对称矩阵，我们利用谱定理（Spectral Theorem）来证明其具有完备的特征向量基，并将其应用于二次型的分析和主轴定理。 3. 应用实例： 书中穿插了大量来自工程、计算机图形学（如旋转和平移）、图论（如邻接矩阵）和简单微分方程求解的案例，以展示理论与实践的紧密结合。 本书特色： 几何直观优先： 每一项核心概念（如点积、行列式、特征值）都配有详细的几何解释，帮助读者建立三维及高维空间的直觉。 计算与理论并重： 提供了清晰的算法步骤，并严格论证了背后的数学原理，确保读者既能计算，也知其所以然。 丰富的习题集： 每章末尾均附有不同难度的练习题，包括概念验证题、计算题和需要深入思考的应用题，以巩固学习效果。 《线性代数导论》旨在成为一本能够伴随读者度过整个本科学习阶段的可靠伙伴，为后续学习微分方程、概率论、数值分析乃至机器学习等高级课程打下坚不可摧的数学基础。它不仅仅是一本代数书，更是一扇通往现代数学思维的大门。

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