Quaternions.CliffordAlgebrasandRelativisticPhysics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Girard, Patrick R.

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:

价格:39.95

装帧:Pap

isbn号码:9783764377908

丛书系列:

图书标签:

• Quaternions
• Clifford Algebras
• Relativistic Physics
• Mathematical Physics
• Theoretical Physics
• Geometry
• Algebra
• Physics
• Mathematics
• Spacetime

深入探索代数结构、几何映射与物理应用：一本关于非欧几何、拓扑学与现代物理基础的深度著作 本书旨在为读者提供一个宏大而严谨的视角，聚焦于超越传统线性代数范畴的数学结构——特别是那些在现代物理学和前沿几何学中扮演核心角色的抽象代数系统。我们不会聚焦于单一的、已经固化的理论体系，而是将重点放在构建这些体系的基础工具、内在联系以及它们如何被应用于描述非平凡的物理现实。 第一部分：拓扑学与黎曼几何的基石 本卷开篇，我们将对拓扑学的基本概念进行一次深入的回顾与拓展，超越基本的点集拓扑，直抵微分拓扑的疆域。我们探讨流形（Manifolds）的概念，从光滑流形的定义出发，细致分析切丛（Tangent Bundles）和余切丛（Cotangent Bundles）的构造。对纤维丛（Fiber Bundles）的讨论将是核心，这为理解规范理论中的场结构提供了必要的数学语言。我们将详细阐述联络（Connections），包括Levi-Civita联络、射线联络（Affine Connections）的几何意义，以及它们如何影响测地线的行为。 随后的章节将专注于黎曼几何（Riemannian Geometry）。我们将精确定义黎曼度量张量，并利用它来计算曲率。对里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）的深入剖析，将为理解时空几何（例如广义相对论中的引力场方程）奠定坚实的数学基础。此外，我们将介绍外微分代数（Exterior Algebra），即$mathrm{d}$算符、楔积（Wedge Product）的运算规则及其在积分几何中的应用，这是理解德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的先决条件。 第二部分：非交换代数结构与对称性原理 本部分将目光转向代数结构本身，特别是那些与对称性和守恒定律紧密相关的非交换结构。 我们将系统地考察李代数（Lie Algebras）及其李群（Lie Groups）。对基础李群，如$mathrm{SO}(n)$、$mathrm{SU}(n)$和$mathrm{Sp}(2n)$的表示论进行详尽的分析，特别是如何通过张量积和对称群来构建更高阶的表示。对李括号的内在性质——反交换性和雅可比恒等式——的探讨，将引出霍普夫代数（Hopf Algebras）在量子群理论中的应用潜力。 接下来，我们将深入研究Clifford结构的数学骨架。这包括Clifford代数的定义、矩阵表示，以及它们与格拉斯曼代数（Grassmann Algebras）和张量代数（Tensor Algebras）之间的内在联系。我们将详细论证Clifford代数如何统一空间旋转（通过旋转群）和空间反射（通过反射算子）的数学描述。对自旋结构（Spin Structures）的引入，将自然地连接到对旋量（Spinors）的分析，这是在描述费米子场时不可或缺的数学工具。 第三部分：经典场论与几何化模型 在掌握了必要的拓扑和代数工具后，本部分将应用这些理论来构建和分析物理模型。 我们将重新审视拉格朗日力学，并将其提升到辛几何（Symplectic Geometry）的框架下。对泊松括号的几何解释以及正则变换的分析，将阐明经典哈密顿力学如何内在关联于一个相空间上的微分结构。 随后，我们将讨论规范场论（Gauge Field Theory）的几何基础。本书将严格遵循爱因斯坦-嘉当理论的路线，将引力视为一种规范理论。我们将详细分析规范场的联络形式和曲率（场强度），并解释杨-米尔斯理论在纤维丛上的自然推广。重点将放在拉格朗日密度在不同规范群作用下的协变性，以及通过诺特定理导出守恒流的严格过程。 第四部分：现代分析工具与算符理论 本部分着重于支持现代量子场论和弦理论的分析工具。 我们将详细介绍希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的构造，并考察有界和无界算符的性质。对谱理论（Spectral Theory）的讨论将涵盖自伴算符、谱测度和测度论在量子力学中的作用。特别地，我们将探讨狄拉克算符（Dirac Operator），分析其在流形上的性质（如Atiyah-Singer指标定理的背景），以及它如何作为描述基本相互作用（如电磁力和弱相互作用）的基石。 最后，本书将简要触及非交换几何（非交换空间的概念）在探索超越标准模型框架下的物理可能性。这些讨论将侧重于代数结构如何替代传统的几何黎曼度量来描述物理实在，暗示了未来理论构建的可能性与挑战。 全书贯穿始终的哲学是：物理规律的优雅性往往源于其背后的代数和几何结构的简洁性与普适性。 本书致力于揭示这些深层结构之间的相互渗透与统一。

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