具体描述
《代数拓扑基础与流形理论入门》 内容概要： 本书旨在为读者提供一套严谨而直观的代数拓扑学与微分几何基础，重点关注同调论、同伦论的核心概念，并深入探讨光滑流形上的微分结构、张量分析及黎曼几何的初步构想。本书的叙事风格力求清晰、系统，避免引入过于晦涩的背景知识，以便于具备一定线性代数和微积分基础的理工科学生或数学爱好者能够顺利进入该领域。 第一部分：基础拓扑回顾与同调的萌芽 本部分首先对点集拓扑学进行必要的回顾，特别是拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性等概念的精确描述。随后，我们引入单纯复形 (Simplicial Complexes) 作为研究几何对象离散化表示的初步工具。单纯形的定义、链复形的构造，以及边界算子、链映射的精确定义构成了本部分的核心。 我们详细阐述了链群 (Chain Groups) 的构建，并引入了同调群 (Homology Groups) 的概念。通过对边界算子和循环算子的精确刻画，我们清晰地界定了循环 (Cycles) 与边界 (Boundaries) 的区别。本书着重讲解了同调群的构造意义：它们是拓扑不变量，能够有效区分拓扑形貌本质不同的空间（如区分圆环与球面）。我们通过计算圆盘、球面、环面等基本空间的 হ্রাস同调群，展示了理论的实践应用。 第二部分：同伦与同调的桥梁 在建立了基础同调理论后，本部分转向同伦理论 (Homotopy Theory)。我们定义了路径、同伦以及同伦等价的概念，并引入了基本群 (Fundamental Group) $pi_1(X)$。基本群被视为最基础的代数不变量，它衡量了一个空间“洞”的结构。我们使用覆盖空间理论（不涉及复杂的纤维丛理论，仅限于基础覆盖映射）来计算一些特定空间的 $pi_1$ 群，特别是圆周 $S^1$ 的基本群。 本书随后致力于建立同伦与同调之间的联系，即著名的Hurewicz同态 (Hurewicz Homomorphism)。这一构造不仅展示了代数拓扑内部结构的统一性，也为更高阶同伦群的引入做了铺垫。我们讨论了单纯复形上的相对同调 (Relative Homology)，这是构造梅耶-维托里斯序列 (Mayer-Vietoris Sequence) 的关键步骤。梅耶-维托里斯序列作为一种强大的计算工具，被用来分解复杂空间的同调结构，例如计算球面 $S^n$ 的同调群，从而统一和深化了第一部分的结果。 第三部分：流形与微分结构 从拓扑学的视角转向几何学的世界，本书引入了光滑流形 (Smooth Manifolds) 的概念。流形被定义为具有局部欧几里得结构且结构之间保持光滑过渡的空间。我们详细讨论了图册 (Atlas)、坐标变换和光滑结构的数学要求。 本部分着重于流形上的分析工具。我们定义了切空间 (Tangent Space) $T_pM$ 作为流形上点 $p$ 处所有可能方向的集合，并展示了其作为向量空间的结构。随后，我们引入向量场 (Vector Fields)，并展示它们如何与切空间的线性结构相联系。 张量代数在流形几何中扮演核心角色。本书系统地介绍了协变向量（1-形式）和反变向量，以及它们如何组合成张量场。我们详细讨论了张量积、对称张量和反称张量的定义和运算规则，包括在坐标变换下的具体表示。 第四部分：微分形式与几何运算 为了在流形上进行积分和微分运算，我们需要微分形式 (Differential Forms)。我们定义了 $k$-形式 $igwedge^k T^M$，并展示了楔积 (Wedge Product) 如何将它们组织成一个分次代数。 本书的核心几何工具是外微分算子 (Exterior Derivative) $d$。我们阐述了 $d$ 的三个基本性质：线性性、链式法则的推广以及 $d^2 = 0$ 的深刻含义——这直接导致了德拉姆上同调 (de Rham Cohomology) 的诞生。德拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$ 是通过微分形式的闭形式模上恰当形式来定义的。我们解释了德拉姆上同调作为拓扑不变量的意义，以及它与奇异同调理论之间的同构关系（不需要给出完整证明，但需阐述其数学连接）。 第五部分：黎曼几何的初探 最后一部分将几何分析推向高潮，引入黎曼度量 (Riemannian Metric)。度量 $g$ 被定义为一个光滑的、正定的、对称的 $(0, 2)$ 张量场。基于此度量，我们定义了流形上的长度、角度和体积的概念。 我们详细阐述了克里斯托费尔符号 (Christoffel Symbols) 的定义及其在坐标系下的计算方式，并基于这些符号定义了协变导数 (Covariant Derivative)。这使得我们能够在流形上进行“直线”的推广，即测地线 (Geodesics) 的概念。我们以介绍曲率张量 (Curvature Tensor) 为收尾，展示了它如何衡量流形在弯曲程度上偏离欧几里得平坦空间的程度，为读者后续深入研究更复杂的几何结构奠定坚实的基础。 本书的结构力求从离散的代数视角逐步过渡到连续的微分几何框架，每一步都建立在前序概念之上，确保读者能够全面而深刻地理解这两个紧密相关的数学分支。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有