Reconstructive Integral Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer Verlag

作者:Palamodov, Victor

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:

价格:109

装帧:HRD

isbn号码:9783764371296

丛书系列:

图书标签:

• Integral Geometry
• Reconstructive Geometry
• Tomography
• Medical Imaging
• Inverse Problems
• Partial Data
• Geometric Analysis
• Radon Transform
• X-ray CT
• Function Spaces

《黎曼几何中的拓扑不变量》 内容简介 《黎曼几何中的拓扑不变量》一书深入探讨了黎曼几何与代数拓扑之间的深刻联系，聚焦于在流形上定义的各种拓扑不变量。本书旨在为读者提供一个严谨且全面的视角，理解如何利用微分几何的工具来揭示和计算拓扑学中的核心概念。全书结构清晰，逻辑严密，从基础概念出发，逐步深入到前沿研究领域，适合具有一定微分几何和代数拓扑基础的读者。 第一章：黎曼流形的几何基础回顾 本章首先回顾了黎曼几何的必要基础。我们将从光滑流形的定义出发，详细阐述切空间、张量场、黎曼度量以及 Levi-Civita 联络的概念。重点在于理解曲率张量，包括里奇曲率和斯卡拉曲率，这些是连接局部几何与整体拓扑的关键工具。我们探讨了测地线的概念及其在黎曼流形上的唯一性，并引入了指数映射和黎曼坐标系。本章还简要介绍了外微分代数和霍奇理论的初步概念，为后续章节中引入拓扑工具奠定基础。 第二章：基本拓扑不变量与黎曼度量的关系 本章的核心在于建立黎曼几何与基本拓扑不变量之间的桥梁。我们将详细讨论欧拉示性数、Poincaré-Hopf 定理及其在向量场上的应用。重点分析了指标定理（Index Theorem）在二维和更高维流形上的体现，特别是如何利用黎曼曲率来计算向量场零点的指标。我们还将介绍陈-Simons 理论的初步思想，尽管不深入其量子场论的背景，但会着重讨论其作为一种微分形式的积分不变量的特性。本章的一个关键论点是：即使在局部变化黎曼度量，某些拓扑不变量保持不变，而另一些则以可控的方式变化。 第三章：De Rham 上同调与曲率的相互作用 本章深入探讨了 De Rham 上同调群 $H^k(M)$ 如何与黎曼结构的曲率联系起来。我们详细阐述了 De Rham 定理，并引入了 De Rham 复形和上同调类的定义。随后，我们转向讲解霍奇理论（Hodge Theory）。书中详细阐述了霍奇分解：给定一个紧致的 Kähler 流形 $M$，其 De Rham 上同调群可以分解为代数化上同调群的直和。我们严格证明了黎曼度量诱导的拉普拉斯算子（Laplace-Beltrami Operator）在霍奇理论中的核心作用，并展示了如何利用调和微分形式来代表上同调类。这一章将强调黎曼度量如何决定哪些上同调类可以被调和形式表示。 第四章：Chern 类与 Pontryagin 类的几何构造 本章专门致力于复流形和任意流形上的特征类。对于复流形，我们详细介绍了Chern 类的定义，特别是第一陈类 $c_1(L)$ 与线丛 $L$ 上的联络的关系。我们证明了 $c_1(M)$ 的几何意义，即它与 Ricci 曲率的迹（Ricci 场的平均曲率）的积分形式密切相关。随后，我们将重点介绍Pontryagin 类，它们是关于实流形上的向量丛的拓扑不变量。书中将通过使用Thom同构和Whitney求和公式来构建这些类，并展示它们如何与流形的切丛和法丛联系起来。本章将分析 Pontryagin 类的积分形式，即通过 Pontryagin 形式的积分来计算这些拓扑量。 第五章：G-流与等距变换群的作用 本章探讨了在具有对称性的黎曼流形上，拓扑不变量如何受到等距变换群 $G$ 的作用的影响。我们介绍了 G-流形的概念，并分析了 Killing 向量场与黎曼度量不变性的关系。关键内容包括Equivariant Cohomology（等变上同调）的引入，这是一种更精细的工具，用于研究具有群作用的流形。我们展示了如何利用不动点定理（如 Borsuk-Ulam 定理的推广形式）来推导关于拓扑特征的结论。本章还探讨了这种对称性如何简化曲率的计算，并对某些拓扑不变量（如特定的上同调群的 Betti 数）施加更严格的限制。 第六章：Weyl 曲率与共形不变量 本章转向研究那些在共形变换下保持不变或以特定方式变化的几何量。我们详细介绍了Weyl 曲率张量，并解释了它作为黎曼流形局部共形平坦性的判据。本章的核心是Weyl 典范形式，特别是如何利用 Weyl 几何来定义新的拓扑不变量，例如$sigma$-不变量。我们探讨了共形变换下 Cher-Weil 理论的推广，即如何构造在共形等价下保持不变的积分形式，例如 Penrose 泛函在共形场论中的作用，但侧重于其作为微分几何不变量的性质。 第七章：高维流形上的拓扑与几何的联系 本章将前几章的工具推广到更高的维度，特别是关注Hirzebruch-Riemann-Roch 定理和Atiyah-Singer 指标定理的深层几何解释。我们详细阐述了指标定理的完整陈述，指出其左侧是代数拓扑量（特征类），右侧是微分几何量（由曲率定义的积分）。书中将分析 Poincaré-Lefschetz 对偶性和 Thom 同构在构建这些高维不变量中的作用。最后，我们简要提及Signature 定理，展示了如何利用黎曼度量诱导的二次型（通过 $ ext{sign}( ext{Ricci})$ 场）来计算流形的 $ ext{sign}$ 不变量。 本书的特点在于其严谨的数学推导和对几何直觉的强调，力求使读者不仅掌握计算方法，更能深刻理解拓扑不变量背后所蕴含的深刻几何意义。每章末尾均附有详细的练习题，旨在巩固读者的理解和计算能力。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆