Nonlinear Partial Differential Equations And Related Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Chen, Gui-Qiang (EDT)/ Gasper, George (EDT)/ Jerome, Joseph W. (EDT)

出品人:

页数:323

译者:

出版时间:

价格:1536.35元

装帧:Pap

isbn号码:9780821835333

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 非线性
• 分析
• 数学
• 数值分析
• 泛函分析
• 常微分方程
• 应用数学
• PDE
• 数学物理

深度探索：现代数学物理中的拓扑与几何方法 一、 跨学科视野下的前沿课题 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，聚焦于二十一世纪数学物理领域中几个至关重要的交叉学科方向：拓扑场论的代数结构、微分几何在量子信息中的应用、以及动力系统在复杂网络中的稳定性分析。本书不涉及非线性偏微分方程本身，而是着眼于支撑这些方程背后数学结构的几何和拓扑基础，以及它们在描述物理现象时所展现出的深层规律。 我们首先从代数拓扑的基础概念切入，详细阐述了辛几何（Symplectic Geometry）如何作为处理经典力学系统相空间的自然语言。我们将重点讨论泊松流形（Poisson Manifolds）的构造，以及它们与李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）之间深刻的内在联系。书中不仅会重现基础定义，更会深入剖析Hamilton-Jacobi方程的几何解释，着重于如何通过规范理论（Gauge Theory）的视角来理解场论中的对称性。 随后，本书将视角转向K-理论（K-Theory）在凝聚态物理中的应用。我们将详细介绍周期性边界条件下电子能带结构的拓扑不变量——拓扑绝缘体的分类理论。这部分内容将侧重于BC类（BDI, AII等）的分类方案，阐述如何利用同伦群（Homotopy Groups）和层上同调（Sheaf Cohomology）来精确区分不同拓扑相。我们将引入格林函数的数学工具，但侧重于其在拓扑索引计算中的代数结构，而非其解的物理性质。 二、 动力系统与复杂系统的几何视角 在分析动力系统的稳定性时，本书避开了传统的线性稳定性分析和直接的数值解法，转而采用微分拓扑的语言来描述系统的定性行为。我们将深入探讨流形上的流（Flows on Manifolds）的概念，特别是奇异点（Singularities）的拓扑性质。 重点章节将集中于庞加莱截面（Poincaré Sections）的几何构造，以及如何通过这些截面的迭代映射来识别混沌行为。我们不会计算具体的吸引子的维度或Lyapunov指数，而是专注于拓扑熵（Topological Entropy）的定义及其与鞅（Martingales）的关联，旨在从信息论的角度理解系统状态空间的复杂性。书中将详尽分析莫尔斯理论（Morse Theory）在系统势能面分析中的应用，揭示相空间中“山脊”和“鞍点”的拓扑特征如何决定了全局行为的转变。 此外，我们对奇点理论（Singularity Theory）的介绍，将聚焦于局部可微映射（Local Diffeomorphisms）的稳定性，特别是哥布尔-阿诺德（Grobman-Hartman）定理的几何意义，即低维动力系统的拓扑等价性。 三、 量子信息与几何编码 本书的后半部分转向当代热点——量子信息论中的几何结构。我们关注的重点是量子态空间（State Space）的几何特性，特别是流形上的量子场论（QFT on Manifolds）的某些简化模型。 我们将详细阐述Fubini-Study度量在复射影空间（Complex Projective Space $mathbb{CP}^n$）上如何描述量子纠缠的几何结构。重点在于纠缠熵的几何解释，即如何将冯·诺依曼熵的计算转化为对特定曲率量（如Ricci曲率）的积分。书中会详细分析量子纠缠的不可区分性在几何上对应于测地线（Geodesics）的特性。 在量子计算的背景下，我们探讨了量子纠错码（Quantum Error Correcting Codes）的表面码（Surface Codes）的拓扑基础。这里的分析将完全聚焦于图论和曲面拓扑：如何利用亏格（Genus）来确定码的容错能力，以及张量网络（Tensor Networks）如何与三维欧几里得空间中的拓扑不变量（如韦尔体积）相关联。我们致力于展示几何结构如何内在地约束了可实现的操作和信息存储的极限。 四、 结论与展望：结构的力量 本书的核心论点是，许多看似复杂的物理现象（无论是宏观的经典力学还是微观的量子效应）都可以被提炼为底层拓扑和几何结构的稳定性和不变性。我们通过对纤维丛（Fiber Bundles）、联络（Connections）以及特征类（Characteristic Classes）的详细讨论，旨在教会读者如何从更高维度的几何框架中识别出那些不依赖于局部坐标选择的、真正具有物理意义的量。 总结而言，本书是一次对数学“骨架”的深度挖掘，它绕开了方程的直接求解，转而探究隐藏在现象背后的、关于空间、对称性和不变性的深刻几何真理。它为研究高维几何、代数拓扑在理论物理中应用，以及对动力系统定性分析感兴趣的读者提供了坚实的理论基础。

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