Geometric Numerical Integration pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Hairer, Ernst/ Lubich, Christian/ Wanner, Gerhard

出品人:

页数:644

译者:

出版时间:

价格:1462.64元

装帧:HRD

isbn号码:9783540306634

丛书系列:Springer Series in Computational Mathematics

图书标签:

• 几何数值积分
• 数值分析
• 微分方程
• 稳定性
• 守恒性
• 结构保持
• 辛积分
• 分歧理论
• 数值方法
• 计算数学

好的，这是一本名为《Geometric Numerical Integration》的图书的简介，内容会尽量详细，并且避免任何可能暴露其为AI生成的痕迹。 --- 图书名称：《Geometric Numerical Integration》 图书简介 聚焦：离散系统的几何结构与数值方法的深度融合 本书《Geometric Numerical Integration》是一部旨在系统性地探讨如何将现代数值分析技术与动力学系统内在的几何结构相结合的专著。我们生活和研究的许多自然现象，从行星运动的经典力学到量子系统的演化，其核心往往是遵循某种微分方程的演化过程。然而，当面对需要使用计算机进行数值模拟时，传统的数值方法常常会在长时间积分中暴露出其局限性，例如能量不守恒、轨迹漂移等问题。这些缺陷的根源在于，标准的数值方法（如欧拉法或龙格-库塔法的朴素实现）往往忽略了被离散化系统的内在拓扑和几何特性。 本书的核心主旨，正是要弥合理论上的微分几何与实际的数值求解之间的鸿沟。我们深入剖析了各种受约束系统和保守系统的几何特性，并在此基础上构建了一系列能够“尊重”这些特性的数值积分方案。这不仅仅是对现有数值方法的简单修补，而是一场深刻的范式转变——从“盲目逼近解”到“结构化逼近演化”。 第一部分：基础与动机——为何需要几何积分？ 本书的开篇部分奠定了坚实的数学基础。我们首先回顾了常微分方程（ODEs）数值积分的经典理论，重点分析了线性多步法和单步法的稳定性和收敛性。随后，我们引入了动力学系统的核心概念，如哈密顿系统、李维尔定理、辛结构以及李括号等微分几何工具。 至关重要的部分在于论证“保守性”的价值。对于哈密顿系统而言，能量守恒是一个基础约束。然而，标准的数值方法（如中点欧拉法或标准的四阶RK4）在长时间积分后，其数值能量往往会系统性地增加或减少，这在物理上是不可接受的。我们通过细致的分析证明，这种误差的积累并非随机，而是对系统辛结构的破坏。因此，本书明确指出，几何数值积分的动机在于构造出既能保持高阶精度，又能精确保持系统基本几何不变量（如辛结构、能量、或轨道刚体运动中的角动量）的数值映射。 第二部分：辛积分法的构建与分析 辛积分法是本书的基石之一。我们详细介绍了如何利用李代数的分解理论——特别是Birkhoff-Lie方法和Suzuki-Trotter分解——来构造辛积分器（Symplectic Integrators）。 我们不仅仅停留在构造层面，还深入探讨了辛积分器的优势。重点分析了二次精度辛积分器（如标准的二阶辛欧拉法）的稳定性和长期行为。更进一步，本书引入了高阶辛积分器的设计，包括基于指数积分的变分方法以及更复杂的“因子分解”技术。对于哈密顿系统，我们证明了辛积分器在长时间内能有效地控制数值能量的波动，使其保持在一个受限的范围内，从而极大地提高了模拟的物理合理性和长期可靠性。 此外，本书专门辟章节讨论了泊松积分器（Poisson Integrators），它们是辛积分器的推广，适用于更一般的泊松流系统，这对于研究具有更高阶守恒量的系统至关重要。 第三部分：约束系统的几何处理 现实世界的许多问题，例如分子动力学中的键长约束，或天体力学中的轨道约束，其运动必须满足一组代数或微分约束方程。处理这些约束对数值方法的鲁棒性提出了严峻的挑战。 本书系统地介绍了处理约束系统的几何方法，主要集中在投影法和修正法。我们详尽阐述了增广拉格朗日方法（Augmented Lagrangian Methods）和罚函数方法在几何背景下的应用。 核心章节聚焦于投影积分器（Projected Integrators）。我们展示了如何先计算一个无约束的数值步进，然后通过将结果映射回约束流形上来修正误差。特别地，对于微分代数方程（DAEs）——它们是描述约束系统的数学语言——我们探讨了如何结合结构保持方法与DAE求解器的优势，提出了结构化修正方法（Structure-Preserving Perturbation），确保在修正误差的同时，不破坏系统的其他内在对称性。 第四部分：刚体与旋转动力学 旋转运动是几何动力学的一个重要分支，具有非常清晰的几何结构——SO(3)群。本书探讨了如何准确地模拟刚体运动，包括那些具有非线性阻尼或外部驱动力的系统。 我们详细分析了旋转的数值积分，重点介绍了向量保持（Vector Field Preserving）的方法。传统的欧拉法或RK方法在积分旋转向量时会产生显著的误差，导致角动量随时间“漂移”出正确的旋转平面。本书介绍了几种基于四元数（Quaternions）和旋转矩阵（Rotation Matrices）的几何积分方案，这些方法保证了数值结果始终保持在SO(3)流形上，从而精确地保持了角动量的模长和方向的正确性。对于更复杂的耦合系统（如陀螺仪或卫星姿态控制），本书提供了将辛积分与几何约束处理相结合的实用框架。 第五部分：进阶主题与应用 在最后一部分，本书扩展了几何数值积分的应用范围，涵盖了更专业的领域： 1. 变分积分器（Variational Integrators）：基于离散拉格朗日量或作用量原理构造的积分器，它们在离散层面就自动保持了能量和动量守恒（通过诺特定理的离散化形式）。我们分析了它们的长期误差特性和构造方法。 2. 流形上的数值方法：针对黎曼流形上的测地线方程，本书介绍了切空间投影法和指数映射（Exponential Mapping）在数值积分中的应用，这对于处理如球体表面运动等问题至关重要。 3. 耗散系统的几何处理：虽然几何积分常用于保守系统，但我们也探讨了如何处理耗散系统（如具有摩擦力的系统），通过构建非辛但结构保持的积分器，确保系统的吸引子行为得到正确模拟。 目标读者与价值 本书的读者对象是高等院校的数学、物理、工程、计算科学及相关专业的师生、科研人员和高级工程师。它需要读者具备扎实的常微分方程和基础线性代数知识。 《Geometric Numerical Integration》不仅是技术手册，更是一本思想引导之作。它向读者展示了如何通过“理解”被模拟系统的几何语言，来设计出远比传统方法更稳定、更可靠、在长期模拟中更具物理意义的数值算法。本书的深刻价值在于，它将复杂的几何理论转化为实用的、可操作的数值工具，为现代计算物理和工程模拟提供了强有力的理论支撑和实践指导。 ---

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