Deformations of Algebraic Schemes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Sernesi, E.

出品人:

页数:339

译者:

出版时间:

价格:119

装帧:HRD

isbn号码:9783540306085

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 形变论
• 方案
• 上同调
• 层论
• 导范畴
• 模空间
• 切空间
• 正规锥
• 光滑性

奇异的几何：黎曼曲面的拓扑与代数结构 本书深入探讨了黎曼曲面这一迷人对象的几何、拓扑与代数性质之间的深刻联系。它旨在为读者提供一个坚实的理论基础，使他们能够理解和运用现代几何学中的核心工具来分析这些一维复流形。 第一部分：基础与拓扑视角 本书的开篇部分详尽地回顾了复分析的基础知识，并将其自然地扩展到黎曼曲面的概念上。我们首先从覆盖空间理论出发，建立起黎曼曲面的拓扑结构。重点讨论了复结构赋予这些空间在局部上拥有的光滑特性。 拓扑不变量的确定： 黎曼曲面的分类在很大程度上依赖于其拓扑不变量。本书花费大量篇幅介绍了亏格（Genus）的概念。通过对黎曼曲面的基本群的计算，我们展示了亏格如何决定了一个紧致黎曼曲面的同胚类型。我们详细阐述了如何利用胞腔分解（Cell Decomposition）和欧拉示性数（Euler Characteristic）来导出亏格的精确公式。对非紧致曲面，如复平面 $mathbb{C}$ 和黎曼球面 $mathbb{P}^1(mathbb{C})$ 的拓扑结构也进行了深入的分析。 可定向性与奇点分析： 我们考察了黎曼曲面作为二维实流形的连通性和可定向性。对于具有奇点的广义黎曼曲面（或称代数曲线），我们引入了分支点（Ramification Points）的概念，并详细分析了分支指数如何影响局部拓扑结构。通过对分支点的穿刺（Puncturing）操作，我们将具有奇点的曲面“解开”，还原为具有边界的、拓扑上更易处理的结构，并探讨了边界处的拓扑特征。 第二部分：复结构与微分几何 在奠定了拓扑基础后，本书转向了黎曼曲面的复结构和相关的微分几何工具。我们引入了复结构张量和局部坐标下的坐标变换，严格定义了全纯函数和全纯微分。 微分形式与上同调： 对黎曼曲面上的微分形式理论进行了详尽的介绍。我们定义了 $(p, q)$ 型微分形式，并特别关注了全纯 $1$-形式 $Omega^1(X)$ 和全纯 $0$-形式（即全纯函数 $mathcal{O}(X)$）。我们利用德拉姆上同调（De Rham Cohomology）和复上同调 $H^{p,q}(X)$ 来研究曲面的全局性质。通过讲解上同调群的维度，我们为黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的最终陈述做好了必要的准备。 度量与测地线： 黎曼曲面的一个关键特征是其上存在着丰富的局部度量结构。本书讨论了在复结构下自然诱导的黎曼度量，特别是爱森斯坦度量（Eisenstein metric）和具有常截率（Constant Curvature）的度量。我们探讨了这些度量如何与曲面的拓扑结构相互作用，以及测地线在曲面上的行为。对于紧致曲面，我们证明了任一拓扑给定的黎曼曲面都存在唯一的具有常截率的度量（如果亏格为 1 或 0），并讨论了亏格大于 1 的情况下的辛格测量（Singular Metrics）。 第三部分：代数方法与线性系统 本部分是连接黎曼曲面几何与代数几何的桥梁，重点在于利用代数工具来研究曲面的几何对象。 除数与函数域： 我们引入了代数几何中的核心概念——除数（Divisors）。一个除数是对曲面上有限个点的“计数”工具，它编码了曲面上亚纯函数的零点和极点信息。我们定义了与除数相关的度量——度量高度（Degree of a Divisor），并探讨了与除数关联的向量丛。 黎曼-罗赫定理的精粹： 本书的核心成果之一是黎曼-罗赫定理的详尽证明。我们首先从更基础的罗赫定理（Riemann's Theorem）和罗赫-罗赫定理（Roch-Roch Theorem）出发，逐步推导出完整的黎曼-罗赫公式： $$dim L(D) = deg(D) - g + 1 + sum_{P} max(0, u_P(f) - u_P(g))$$ 此处 $L(D)$ 是与除数 $D$ 相关的函数空间，其中 $g$ 是曲面的亏格。我们清晰地展示了该定理如何将函数空间的维度（一个拓扑和分析的概念）与除度的代数不变量联系起来。 线性系统与嵌入： 黎曼-罗赫定理最直接的应用在于确定曲面是否可以被“嵌入”到射影空间中。我们定义了线性系统（Linear Systems）——由一系列除数构成的向量空间。通过分析次规范线性系统（Sub-canonical Linear Systems）和规范除数（Canonical Divisor $K$），我们探讨了曲面的典范映射（Canonical Map）和阿贝尔映射（Abel Map）。特别是，我们展示了如何利用规范除数的性质来判断一个紧致黎曼曲面是否是代数曲线的必要条件。 第四部分：模空间与可微性 最后，本书探讨了黎曼曲面家族的“模空间”（Moduli Space）的概念，这标志着从研究单个曲面转向研究一族具有相同拓扑结构的曲面。 特维斯特映射与模空间： 我们简要介绍了特维斯特（Teichmüller）空间的概念，它参数化了具有固定拓扑结构的黎曼曲面的等价类（共形等价）。我们探讨了模空间 $mathcal{M}_g$ 的结构，它是一个复杂的分式代数空间，其上的点代表了固定亏格 $g$ 的黎曼曲面。 局部形变理论： 对于具有亏格 $g geq 2$ 的曲面，我们介绍了柯达伊拉-泽尔伯格（Kodaira-Zariski）理论的基本思想，即如何通过研究全纯 $1$-形式在边界处的行为来理解曲面在模空间中的局部形变。这为理解代数簇的局部形变理论提供了具体的几何模型。 本书的叙述风格严谨而富有几何直觉，旨在为读者构建一个从基础拓扑到高级代数几何应用的完整知识体系。

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