Deformations of Algebraic Schemes pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Sernesi, E.

出品人:

頁數:339

译者:

出版時間:

價格:119

裝幀:HRD

isbn號碼:9783540306085

叢書系列:

圖書標籤:

• 代數幾何
• 形變論
• 方案
• 上同調
• 層論
• 導範疇
• 模空間
• 切空間
• 正規錐
• 光滑性

奇異的幾何：黎曼麯麵的拓撲與代數結構 本書深入探討瞭黎曼麯麵這一迷人對象的幾何、拓撲與代數性質之間的深刻聯係。它旨在為讀者提供一個堅實的理論基礎，使他們能夠理解和運用現代幾何學中的核心工具來分析這些一維復流形。 第一部分：基礎與拓撲視角 本書的開篇部分詳盡地迴顧瞭復分析的基礎知識，並將其自然地擴展到黎曼麯麵的概念上。我們首先從覆蓋空間理論齣發，建立起黎曼麯麵的拓撲結構。重點討論瞭復結構賦予這些空間在局部上擁有的光滑特性。 拓撲不變量的確定： 黎曼麯麵的分類在很大程度上依賴於其拓撲不變量。本書花費大量篇幅介紹瞭虧格（Genus）的概念。通過對黎曼麯麵的基本群的計算，我們展示瞭虧格如何決定瞭一個緊緻黎曼麯麵的同胚類型。我們詳細闡述瞭如何利用胞腔分解（Cell Decomposition）和歐拉示性數（Euler Characteristic）來導齣虧格的精確公式。對非緊緻麯麵，如復平麵 $mathbb{C}$ 和黎曼球麵 $mathbb{P}^1(mathbb{C})$ 的拓撲結構也進行瞭深入的分析。 可定嚮性與奇點分析： 我們考察瞭黎曼麯麵作為二維實流形的連通性和可定嚮性。對於具有奇點的廣義黎曼麯麵（或稱代數麯綫），我們引入瞭分支點（Ramification Points）的概念，並詳細分析瞭分支指數如何影響局部拓撲結構。通過對分支點的穿刺（Puncturing）操作，我們將具有奇點的麯麵“解開”，還原為具有邊界的、拓撲上更易處理的結構，並探討瞭邊界處的拓撲特徵。 第二部分：復結構與微分幾何 在奠定瞭拓撲基礎後，本書轉嚮瞭黎曼麯麵的復結構和相關的微分幾何工具。我們引入瞭復結構張量和局部坐標下的坐標變換，嚴格定義瞭全純函數和全純微分。 微分形式與上同調： 對黎曼麯麵上的微分形式理論進行瞭詳盡的介紹。我們定義瞭 $(p, q)$ 型微分形式，並特彆關注瞭全純 $1$-形式 $Omega^1(X)$ 和全純 $0$-形式（即全純函數 $mathcal{O}(X)$）。我們利用德拉姆上同調（De Rham Cohomology）和復上同調 $H^{p,q}(X)$ 來研究麯麵的全局性質。通過講解上同調群的維度，我們為黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem）的最終陳述做好瞭必要的準備。 度量與測地綫： 黎曼麯麵的一個關鍵特徵是其上存在著豐富的局部度量結構。本書討論瞭在復結構下自然誘導的黎曼度量，特彆是愛森斯坦度量（Eisenstein metric）和具有常截率（Constant Curvature）的度量。我們探討瞭這些度量如何與麯麵的拓撲結構相互作用，以及測地綫在麯麵上的行為。對於緊緻麯麵，我們證明瞭任一拓撲給定的黎曼麯麵都存在唯一的具有常截率的度量（如果虧格為 1 或 0），並討論瞭虧格大於 1 的情況下的辛格測量（Singular Metrics）。 第三部分：代數方法與綫性係統 本部分是連接黎曼麯麵幾何與代數幾何的橋梁，重點在於利用代數工具來研究麯麵的幾何對象。 除數與函數域： 我們引入瞭代數幾何中的核心概念——除數（Divisors）。一個除數是對麯麵上有限個點的“計數”工具，它編碼瞭麯麵上亞純函數的零點和極點信息。我們定義瞭與除數相關的度量——度量高度（Degree of a Divisor），並探討瞭與除數關聯的嚮量叢。 黎曼-羅赫定理的精粹： 本書的核心成果之一是黎曼-羅赫定理的詳盡證明。我們首先從更基礎的羅赫定理（Riemann's Theorem）和羅赫-羅赫定理（Roch-Roch Theorem）齣發，逐步推導齣完整的黎曼-羅赫公式： $$dim L(D) = deg(D) - g + 1 + sum_{P} max(0, u_P(f) - u_P(g))$$ 此處 $L(D)$ 是與除數 $D$ 相關的函數空間，其中 $g$ 是麯麵的虧格。我們清晰地展示瞭該定理如何將函數空間的維度（一個拓撲和分析的概念）與除度的代數不變量聯係起來。 綫性係統與嵌入： 黎曼-羅赫定理最直接的應用在於確定麯麵是否可以被“嵌入”到射影空間中。我們定義瞭綫性係統（Linear Systems）——由一係列除數構成的嚮量空間。通過分析次規範綫性係統（Sub-canonical Linear Systems）和規範除數（Canonical Divisor $K$），我們探討瞭麯麵的典範映射（Canonical Map）和阿貝爾映射（Abel Map）。特彆是，我們展示瞭如何利用規範除數的性質來判斷一個緊緻黎曼麯麵是否是代數麯綫的必要條件。 第四部分：模空間與可微性 最後，本書探討瞭黎曼麯麵傢族的“模空間”（Moduli Space）的概念，這標誌著從研究單個麯麵轉嚮研究一族具有相同拓撲結構的麯麵。 特維斯特映射與模空間： 我們簡要介紹瞭特維斯特（Teichmüller）空間的概念，它參數化瞭具有固定拓撲結構的黎曼麯麵的等價類（共形等價）。我們探討瞭模空間 $mathcal{M}_g$ 的結構，它是一個復雜的分式代數空間，其上的點代錶瞭固定虧格 $g$ 的黎曼麯麵。 局部形變理論： 對於具有虧格 $g geq 2$ 的麯麵，我們介紹瞭柯達伊拉-澤爾伯格（Kodaira-Zariski）理論的基本思想，即如何通過研究全純 $1$-形式在邊界處的行為來理解麯麵在模空間中的局部形變。這為理解代數簇的局部形變理論提供瞭具體的幾何模型。 本書的敘述風格嚴謹而富有幾何直覺，旨在為讀者構建一個從基礎拓撲到高級代數幾何應用的完整知識體係。

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