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出版者:Barrons Educational Series Inc

作者:Leff, Lawrence S.

出品人:

页数:230

译者:

出版时间:2005-10

价格:$ 11.29

装帧:Pap

isbn号码:9780764129148

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

《高等代数基础：线性代数与抽象代数导论》 图书简介 本书旨在为具有扎实预备代数基础的学生提供进入更深层次数学领域的坚实桥梁。我们聚焦于现代数学的两大核心支柱——线性代数和抽象代数的初步探索，内容组织旨在培养严谨的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。全书力求在保持数学严谨性的同时，兼顾清晰的讲解和丰富的应用实例，使读者能够领会代数结构之美及其在科学与工程中的广泛应用。 第一部分：线性代数基础与几何视角 第一章：向量空间的概念与运算 本章从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，逐步抽象到一般向量空间的定义。我们详细讨论了向量的线性组合、线性相关性与线性无关性，并引入了生成集合（Span）和基（Basis）的概念。特别地，我们对有限维向量空间的维数进行了深入的探讨，证明了任何向量空间的基都具有相同的元素个数。本章强调理解向量空间不仅仅是箭头或坐标的集合，而是一个具有特定代数结构的对象。 关键概念： 向量空间公理、子空间、线性组合、线性相关性、基、维数、生成集。 核心技能： 判定一组向量是否构成向量空间的基；计算向量在不同基下的坐标表示。 第二章：线性变换与矩阵表示 线性变换是代数和几何之间的核心联系。本章将线性变换定义为保持向量加法和标量乘法的映射，并探讨其性质，如核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）。重点在于矩阵与线性变换的对应关系——任何有限维向量空间间的线性变换都可以用一个唯一的矩阵来表示（给定一组基）。我们详细讨论了矩阵乘法的几何意义，以及如何利用矩阵的秩来确定线性变换的性质。 关键概念： 线性映射、核空间、像空间、矩阵表示、相似变换、特征空间。 核心技能： 计算线性变换的矩阵；理解矩阵乘法的复合变换意义；利用秩定理（Rank-Nullity Theorem）。 第三章：行列式、逆矩阵与解线性方程组 行列式作为衡量方阵“大小”的标量，在本章中扮演关键角色。我们从几何上阐释行列式的意义（体积的缩放因子），随后介绍其代数性质和计算方法，包括代数余子式展开和利用行简化（Row Reduction）计算。一个核心主题是行列式与矩阵可逆性的联系。我们详尽阐述了高斯消元法（Gaussian Elimination）在求解线性方程组中的应用，并从理论上证明了线性方程组解的存在性和唯一性条件。 关键概念： 行列式的定义与性质、代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵的条件、初等矩阵、克拉默法则（Cramer's Rule）。 核心技能： 熟练运用初等行变换求逆矩阵和解方程组；利用行列式判断系统是否唯一可解。 第四章：特征值、特征向量与对角化 本章深入研究线性变换的内在结构，即特征值与特征向量。我们探讨了如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到这些特殊的向量。特征向量的方向在变换下保持不变，只发生伸缩。对角化（Diagonalization）是本章的高潮，我们讨论了矩阵可对角化的充分必要条件，并展示了如何利用特征分解简化矩阵的幂运算和动力学系统的分析。 关键概念： 特征值、特征向量、特征多项式、特征空间、对角化、相似性。 核心应用： 利用对角化快速计算 $A^k$；理解线性动力系统的稳定性。 第五章：内积空间与正交性 本章将代数结构与几何直觉重新结合，引入内积（点积的推广）。内积定义了长度和角度的概念，从而构建了内积空间（如欧几里得空间）。我们详细介绍了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），用以构造向量空间的标准正交基。这为投影定理、最小二乘法以及正交矩阵的性质奠定了基础，这些工具在数据拟合和信号处理中至关重要。 关键概念： 内积、范数（长度）、正交性、正交基、施密特过程、正交投影、最小二乘解。 核心应用： 理解投影的几何意义；求解超定系统中的最佳近似解。 --- 第二部分：抽象代数导论：群论初探 第六章：代数结构与群的定义 从线性代数的具体结构转向更具普适性的代数研究。本章引入了抽象代数的视角，侧重于研究集合在某种运算下所遵循的基本规则。我们正式定义了“群”（Group）——一个具有结合律、单位元和逆元特性的集合与二元运算的组合。我们考察了许多实例，包括整数加法群、非零实数的乘法群以及矩阵群（如可逆矩阵群 $GL_n(mathbb{R})$）。 关键概念： 二元运算、封闭性、结合律、单位元、逆元、阿贝尔群（交换群）、循环群。 核心技能： 验证一个代数结构是否满足群的四大公理；区分不同类型的群。 第七章：子群、陪集与拉格朗日定理 在确定了群的基本框架后，我们开始研究群的“子结构”。子群是继承了群运算的集合。本章的核心是陪集（Cosets）的概念，它是对群进行划分的一种方式。拉格朗日定理是群论中最早且最重要的定理之一，它建立了子群的阶（元素个数）与整个群的阶之间的深刻关系。我们利用此定理来推导其他重要的群论结论。 关键概念： 子群的判定、左陪集与右陪集、陪集的性质、拉格朗日定理、群的阶。 核心应用： 利用拉格朗日定理限制一个群中可能存在的子群的阶数。 第八章：群同态与正规子群 本章关注结构保持的映射——群同态（Group Homomorphisms）。同态是连接两个不同群的“桥梁”，它 preserves 运算结构。我们定义了核（Kernel）和像（Image）在群论中的意义，并证明了核总是正规子群（Normal Subgroups）。正规子群的引入使得商群（Quotient Groups，或因子群）的构造成为可能。商群是对原群结构的一种“压缩”或“模去”操作，是理解更高层次代数结构的关键。 关键概念： 群同态、群同构、核、像、正规子群的判定、商群的构造与性质。 核心技能： 判定两个群是否同构；利用第一同构定理（First Isomorphism Theorem）简化复杂群的结构。 总结 《高等代数基础：线性代数与抽象代数导论》提供了一条清晰的学习路径，从具体可操作的向量空间和矩阵运算，平稳过渡到抽象的群结构。本书不仅是为未来专业数学学习者准备的，也为物理学、计算机科学（如编码理论和密码学）以及工程领域需要严谨代数建模的学生提供了必要的理论工具和思维框架。通过大量的例题和挑战性的习题，读者将能够建立起对代数世界深刻而持久的理解。

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