Applied Equivariant Degree pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:American Institute of Mathematical

作者:Balanov, Zalman/ Krawcewicz, Wieslaw/ Steinlein, Heinrich

出品人:

页数:552

译者:

出版时间:

价格:80

装帧:HRD

isbn号码:9781601330017

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 同变论
• 度理论
• 代数拓扑
• 微分几何
• 不动点理论
• 群作用
• 几何拓扑
• 数学
• 高等数学

动力学系统中的对称性、不变量与拓扑结构：基于李群理论的现代视角 一部深入探讨动力学系统在对称性作用下演化规律的权威著作。 本书旨在为数学家、物理学家、工程师及研究生提供一个全面、现代的视角，用以理解和分析那些在特定变换下保持形式不变的动力学系统。我们聚焦于李群理论的强大工具，将其系统地应用于动力学方程的结构分析、解的分类以及稳定性评估之中。全书构建了一个从基础群论到前沿应用的大跨度知识体系，强调几何直觉与严格数学证明的结合。 --- 第一部分：基础与框架的建立 本书伊始，首先奠定了分析对称动力学系统的必要数学基础。我们并未将重点放在传统的常微分方程（ODE）的数值或初值问题上，而是着眼于方程组本身所蕴含的内在结构。 第一章：拓扑动力学系统基础回顾 本章快速回顾了流、积分、Poincaré截面等标准拓扑动力学概念。然而，讨论的核心迅速转向流形上的向量场，特别是那些定义在具有内在对称结构的流形上的向量场。我们将研究系统在$mathbb{R}^n$空间中嵌入的限制，以及如何在更抽象的几何空间中理解动力学行为。重点讨论了不变集和极限环的拓扑性质，这些性质往往受到上层对称性的直接约束。 第二章：李群与作用的数学工具 本章是全书的基石之一。我们详细阐述了李群、李代数的基本概念，包括伴随表示（Adjoint Representation）、指数映射及其在生成无穷小对称性中的作用。我们深入探讨了微分同胚的生成元，即向量场如何与群作用相关联。 关键在于建立“对称性”与“微分方程”之间的精确桥梁。我们详细分析了作用的轨道和稳定子的概念，并展示了如何利用这些工具分解系统的相空间，从而简化复杂的动力学分析。这里的讨论聚焦于非线性作用的性质，而非仅仅是线性化分析。 第三章：不变性分析与守恒量 本章将对称性转化为可计算的物理量或数学约束。我们运用诺特定理（或其微分几何推广），系统地推导与特定李群作用相关的守恒量（First Integrals）。重点区分了显式守恒量与隐式（依赖于动力学流本身）守恒量。随后，我们探讨了这些守恒量如何限制了可能存在的解的集合——即解必须位于由这些量定义的不变量子流形上。这为降维分析奠定了基础。 --- 第二部分：对称性下的结构分析 在建立了群论框架后，本部分将对称性工具应用于结构分析，特别是围绕系统的关键拓扑特征展开。 第四章：不变子流形的分类与稳定性 对称性通常导致相空间中存在特定的、具有内在动力学结构的子流形。本章系统地分类了这些不变子流形。我们研究了吸引子、排斥子以及鞍点等关键不动点在对称作用下的行为。我们强调了轨道稳定性的概念，即系统在对称作用下，一个不变集上的局部稳定性如何影响到整个相空间中相关集簇的稳定性。 第五章：对称性破缺与分岔理论的几何视角 许多物理系统中的有趣现象源于对称性的局部或全局破缺。本章避开了传统的参数空间分析，转而从几何和拓扑的角度审视分岔。我们研究了对称性约束下的分岔，例如Hopf分岔在环面动力学中的表现。重点分析了临界点周围的动力学，并展示了如何利用群作用的特征值分解来预测分岔的类型和方向，特别是非平凡分岔（如涉及复杂模结构的破缺）。 第六章：多重解与模空间 当系统具有高度对称性时，常常存在多个拓扑等价但代数上不同的解（如多个极限环或多个周期轨道）。本章探讨如何利用群作用的轨道结构来识别和区分这些模态解。我们引入了模空间（Moduli Space）的概念，研究系统的解集如何被群作用“粘合”在一起，以及在对称性被部分破缺时，这些模态如何相互作用并形成更复杂的结构。 --- 第三部分：几何与高维系统的推广 最后一部分将视角提升到更抽象的几何空间，并探讨复杂系统中的应用。 第七章：Hamiltonian与Poisson系统中的对称性 对于保守系统（Hamiltonian系统），对称性不仅通过李群作用体现，还通过Poisson括号的性质来表达。本章专注于正则变换和可积性的对称性判据。我们研究了如何利用对称性来构造拉格朗日量或哈密顿量，并展示了在存在无穷多守恒量的情况下，系统如何被简化为环面动力学（Arnold-Liouville理论在对称性下的推广）。 第八章：微分拓扑与同调工具在对称性分析中的应用 为更深刻地理解不变集的拓扑不变量，本章引入了微分拓扑的概念。我们探讨了纤维丛和Chern类在描述对称流形上向量场性质中的潜力。虽然不直接计算传统的“度数”，但我们关注如何利用上同调群来区分在连续变形下保持不变的动力学构型。这为分析高维系统中的拓扑荷提供了理论工具。 第九章：非紧群作用下的动力学 传统的分析多侧重于紧致李群。本章扩展到非紧群作用，例如对$mathbb{R}^n$的仿射变换或特定的双曲几何中的对称性。这在研究混沌系统（如某些流体动力学模型）的稳定性边界时至关重要。我们讨论了在非紧作用下，无穷小生成元如何导致系统具有快速增长或指数收敛的趋势，以及如何利用中心流形理论与对称性分析相结合来识别这些高维行为。 --- 结论： 本书的最终目标是展示：一个动力学系统如果具备一个非平凡的对称群，其行为绝非随机或一般化的，而是被其内在的几何结构所严格约束。通过本书的学习，读者将掌握一套强大的、基于现代几何和群论的分析工具，能够超越对具体方程的依赖，深入洞察系统演化的本质规律。本书内容严谨，推导详细，为高级研究人员提供了深入探索对称动力学复杂性的坚实理论基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆