Topics in Commutative Ring Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Watkins, John J.

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2007-7

价格:$ 93.23

装帧:HRD

isbn号码:9780691127484

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• commutative ring theory
• algebraic geometry
• noetherian rings
• localization
• dimension theory
• integral extensions
• completion
• regular rings
• valuation theory
• module theory

抽象代数与范畴论前沿探索 本书旨在为读者提供一个深入、现代的视角，用以理解抽象代数和范畴论交叉领域的前沿研究方向。 本书并非对经典代数结构（如交换环、模、域扩张）的系统性综述，而是聚焦于那些需要跨越多个数学分支才能有效把握的复杂理论框架。 第一部分：高维代数拓扑与同调理论的结合 本部分着重探讨了代数拓扑中的新颖概念如何被引入到纯粹的代数结构分析中，尤其是在处理那些依赖于复杂几何对象的代数对象时。 第1章：谱序列的现代应用与高级收敛性理论 我们首先回顾了经典的费德里希-霍奇（Federer-Hodge）谱序列在某些非交换代数结构（如某些类型的非交换黎曼流形上的微分算子代数）中的推广形式。重点在于分析在非完备或局部性质不佳的空间上，如何建立起可靠的收敛性判据。我们将详细介绍高阶逼近引理及其在确定谱序列稳定线上的应用，这对于理解那些不满足标准交换条件的环状结构上的上同调群至关重要。 1.1 相对同调与局部化：研究在非正则局部化过程中，如何利用相对同调群来捕获“缺失的”信息，特别是针对那些其素理想（prime ideal）结构高度分散的环。 1.2 $L^2$ 调和分析与环结构：探讨 $L^2$ 调和分析方法如何渗透到环论中，特别是在研究那些具有强拓扑背景的代数对象（如环上的 C-代数）。分析在这种背景下，经典的 Wedderburn-Artin 定理如何被修正和推广。 第2章：高阶上同调与高阶三角范畴 本章深入研究了高阶三角范畴（Higher Triangular Categories）——例如$(infty, 1)$-范畴——如何作为统一处理各种代数理论的框架。我们不讨论基础的模理论，而是关注如何利用这些范畴来定义和计算高阶张量积和高阶内积，这些操作对于研究那些嵌入在高维代数空间中的对象至关重要。 2.1 增强三角范畴的构造：介绍如何从特定的代数结构（如某些环上的导出范畴）出发，显式地构造出具有更丰富结构的增强三角范畴。关键在于识别出哪些“同伦”关系需要被提升到更高的范畴层级上。 2.2 结构层与高阶运算：分析在高阶范畴中，如何定义和操作“层”的概念。这涉及到对传统张量积的修正，使其能够容纳更多的非交换效应和更高阶的拓扑信息。 第二部分：非交换几何与算子代数的代数基础 本部分将代数结构置于非交换几何的广阔背景下，探讨如何利用拓扑和几何直觉来指导纯粹的代数构造。 第3章：非交换流形上的代数结构 我们关注的是那些不具备传统黎曼流形概念的“空间”，它们仅由一组代数关系（通常是 $C^$-代数或冯·诺依曼代数）来定义。本书将深入探讨如何为这些空间构建可交换性的度量。 3.1 克里夫德代数与量子群：研究由克里夫德代数（Clifford Algebras）诱导出的代数结构，特别是它们与某些非半单李群的量子群的内在联系。重点分析这种联系如何影响环的中心化子和导子代数的结构。 3.2 非交换李导子的谱理论：探讨在没有明确微分算子的情境下，如何定义和研究谱李导子（Spectral Lie Derivations）。这需要引入新的度量，这些度量基于环元素的谱半径和张量积的对角化性质。 第4章：范畴论在代数群和代数空间中的应用 本章将范畴论工具应用于代数群（Algebraic Groups）的研究，但侧重于那些具有复杂中心结构和非简单根系统的情形。 4.1 伽罗瓦理论的范畴化：超越经典的域扩张，我们探讨在非交换代数框架下，如何使用范畴的伽罗瓦对应（Categorical Galois Correspondence）来描述代数结构之间的相互关系。这涉及到对“域”概念的广义化，将其视为一类特殊的范畴。 4.2 代数空间的稳定化：研究通过特定函子（如极小完备化函子）作用于代数空间（或其对应的环/代数）后，其内在结构如何趋于稳定。重点分析在稳定性极限下，环的素理想和极小素理想如何收敛。 第三部分：同构理论的高级结构与嵌入问题 本部分聚焦于复杂代数对象之间的精确关系，尤其是嵌入和分解的复杂性。 第5章：导出范畴与模的同构分类 本书不系统介绍基础模论，而是直接进入导出范畴（Derived Categories）的深度研究。我们关注如何利用导出范畴来区分那些在传统范畴中看起来同构的模结构。 5.1 导出范畴上的射的代数性质：分析在导出范畴中，如何定义和计算“同伦射”的精确代数表示，特别是涉及多重张量积的射。这需要引入张量代数（Tensor Algebras）的高级分解技术。 5.2 导出等价与环的结构刚性：研究两个代数是否导出等价，以及这种等价如何限制了它们在更高阶结构（如它们的李代数伴随结构）上的自由度。我们将分析在什么条件下，导出等价蕴含了更强的结构同构。 第6章：环的特征化与嵌入的限制 本章处理的是关于如何将一个代数嵌入到另一个更大、更“完备”的代数中的理论难题。 6.1 环的张量积分解与不可约性：研究一个环是否可以唯一地分解为其更小、不可约环张量积。重点是那些不满足经典 Artin-Wedderburn 条件的非半单环，它们在张量积下的行为更加复杂。 6.2 全纯环（Holomorphic Rings）的构造：探讨如何通过在特定的拓扑空间上构造环的“全纯”版本（类似经典复分析中的全纯函数），来解决某些环的局部化问题。这需要依赖于对环的导数测度（Derivative Measure）的深入理解，这种测度取代了传统的导数或微分。 本书面向具有扎实抽象代数和基础范畴论知识的研究人员和高年级研究生，旨在激发对当前代数研究中最具挑战性和跨学科性的前沿问题的兴趣。

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