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出版者:Dover Pubns

作者:Loewner, Charles

出品人:

頁數:128

译者:

出版時間:2008-2

價格:$ 12.37

裝幀:Pap

isbn號碼:9780486462929

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 群論
• 連續群
• 李群
• 拓撲群
• 代數拓撲
• 抽象代數
• 數學分析
• 幾何學
• 高等數學

連續群論：結構、應用與現代視角 書名：連續群論：結構、應用與現代視角 作者：[此處可填入作者姓名，例如：李明] 齣版社：[此處可填入齣版社名稱，例如：科學齣版社] 頁數：[此處可填入頁數，例如：680頁] --- 內容簡介 《連續群論：結構、應用與現代視角》是一部全麵而深入的數學專著，旨在為讀者提供一個關於連續群（Continuous Groups）的係統性、多維度理解。本書超越瞭對經典李群的純粹代數或幾何描述，著重於展示連續群作為描述物理世界、幾何結構和復雜係統動態的核心數學工具的強大能力。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎拓撲概念到前沿研究方嚮的廣泛領域，特彆強調瞭群的錶示論、微分幾何結閤以及在現代物理學中的具體應用。 本書的敘事綫索旨在引導讀者不僅掌握連續群的定義和性質，更重要的是理解它們是如何在不同的數學和物理背景下“工作”的。我們力求通過清晰的論證、精選的例證和大量的練習題，使高等院校的數學係、物理係研究生，以及相關領域的研究人員，能夠將所學知識有效地轉化為解決實際問題的能力。 第一部分：基礎與拓撲背景 本書的開篇部分緻力於建立理解連續群所需的堅實數學基礎。我們首先迴顧瞭流形（Manifolds）的拓撲性質，特彆是光滑流形的概念，這是構造連續群的幾何框架。隨後，我們引入瞭拓撲群（Topological Groups）的概念，明確區分瞭其與一般群在連續性上的要求，並詳細討論瞭緊緻性、連通性以及完備性（Completeness）對群結構的影響。 重點章節包括對李群（Lie Groups）的精確定義和基本例子（如 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$ 和 $ ext{U}(n)$）的詳盡分析。我們通過引入拓撲群的同態與同構，建立瞭初步的分類視角。此部分特彆關注瞭局部性質，即在單位元附近的局部結構，為後續引入李代數做瞭關鍵的鋪墊。對於初學者，我們提供瞭如何通過限製拓撲空間來理解全局結構（例如，在歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中觀察群的局部行為）的詳細指導。 第二部分：李代數與無窮小生成元 連續群的精髓往往體現在其“無窮小”的行為上，這便是李代數（Lie Algebras）的用武之地。本書將李代數視為群結構在單位元處的切空間，並詳細闡述瞭指數映射（Exponential Map）如何從李代數“重建”群的局部結構。我們深入探討瞭李代數的運算——李括號（Lie Bracket）的幾何意義，它反映瞭群中兩個生成元順序操作的非交換性。 在這一部分，我們將分類引入經典李代數（$mathfrak{so}(n), mathfrak{sp}(2n), mathfrak{sl}(n)$）及其與對應經典李群的關係。代數的結構理論，包括根空間分解（Root Space Decomposition）、卡丹子代數（Cartan Subalgebras）和Weyl群，被係統地介紹和應用。我們強調瞭Killing 形式在判斷李代數半純性（Semisimplicity）中的核心作用，並利用此工具對特定類型的李代數進行嚴格分類。對於復雜的代數結構，我們引入瞭Dynkin 圖作為強大的可視化和分類工具。 第三部分：群的錶示論 錶示論是連接抽象群結構與具體綫性代數運算的橋梁，也是本書的理論核心之一。我們從錶示的基本定義開始，引入瞭等變性（Equivariance）和不可約性（Irreducibility）的概念。對於連續群，特彆是緊緻李群，彼得-Weyl 定理（Peter-Weyl Theorem）的證明和應用占據瞭重要篇幅，它揭示瞭任何連續函數都可以被群的酉錶示的矩陣元素均勻逼近的可能性。 本書特彆關注李群的錶示，它與李代數的錶示之間存在著深刻的一一對應關係（在連通群的情形下）。我們詳述瞭如何通過權重理論（Weight Theory）來完全確定一個有限維不可約錶示的結構，這包括識彆最高權重（Highest Weight）及其在Dynkin 標簽下的對應。此部分包含大量計算實例，展示瞭如何利用錶示論來計算群的特徵標（Character），以及維格納-費希納定理在計算群的維度上的應用。 第四部分：微分幾何與同調 為瞭更全麵地理解連續群的拓撲和幾何特性，本書將分析工具引入群的框架中。我們討論瞭微分形式（Differential Forms）在群流形上的構造，並重點研究瞭左不變微分形式和哈爾測度（Haar Measure）。哈爾測度的存在性是緊緻群（以及某些半簡單群）具有良好分析性質的關鍵，我們對其測度性質和積分的幾何意義進行瞭探討。 此外，本書探討瞭李群的縴維叢（Fiber Bundles）結構，以及聯絡（Connection）的概念如何從李代數導齣。我們簡要介紹瞭李群的同調理論（Lie Group Cohomology），特彆是其在理解群擴張和外部代數（Exterior Algebra）中的應用，為讀者提供瞭進入更高階幾何結構的入口。 第五部分：應用與前沿展望 本書的最後部分聚焦於連續群在現代科學中的實際應用，以展示其理論深度。 在理論物理學中，我們詳細分析瞭龐加萊群（Poincaré Group）和洛倫茲群（Lorentz Group）的錶示，它們是粒子物理學中描述基本粒子（如自鏇和質量）不可或缺的工具。對於規範場論（Gauge Theories），我們探討瞭規範群（如 $ ext{SU}(3) imes ext{SU}(2) imes ext{U}(1)$）如何通過縴維叢結構描述基本相互作用。 在幾何學方麵，我們討論瞭齊性空間（Homogeneous Spaces）——即群作用下的陪集空間——的結構，這是現代幾何學的核心研究對象之一。最後，本書對無限維李群（如Diffeomorphism Groups）的研究方嚮進行瞭概述，這些群在統計力學和幾何分析中正變得日益重要，為有誌於深入研究的讀者指明瞭方嚮。 --- 本書特點： 理論與計算並重： 確保代數分類（如半簡單李代數）的嚴格性與錶示論計算（如特徵標公式）的實用性相結閤。 清晰的層次結構： 從拓撲基礎逐步推進到李代數結構，再到完備的錶示論框架，邏輯清晰，適閤自學與課堂教學。 豐富的實例： 大量使用 $ ext{SU}(2), ext{SU}(3)$ 等物理學中常見的群作為實例進行深入剖析。 現代視角： 不僅涵蓋瞭經典李群理論，也融入瞭微分幾何和現代物理中對這些結構的最新理解。

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