Surveys in Geometry and Number Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Young, Nicholas 编

出品人:

页数:326

译者:

出版时间:2007-1

价格:$ 126.56

装帧:Pap

isbn号码:9780521691826

丛书系列:

图书标签:

几何学
数论
数学调查
拓扑学
代数几何
算术几何
组合数学
群论
表示论
数学分析

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具体描述

The focus of this book is the continuing strength of pure mathematics in Russia after the post-Soviet diaspora. The authors are eight young specialists who are associated with strong research groups in Moscow and St. Petersburg in the fields of algebraic geometry and number theory. Their articles are based on lecture courses given at British universities. The articles are mainly surveys of the recent work of the research groups and contain a substantial number of original results. Topics covered are embeddings and projective duals of homogeneous spaces, formal groups, mirror duality, del Pezzo fibrations, Diophantine approximation and geometric quantization. The authors are I. Arzhantsev, M. Bondarko, V. Golyshev, M. Grinenko, N. Moshchevitin, E. Tevelev, D. Timashev and N. Tyurin. Mathematical researchers and graduate students in algebraic geometry and number theory worldwide will find this book of great interest.

现代拓扑学前沿：结构、不变量与形变本书导览《现代拓扑学前沿：结构、不变量与形变》旨在为对拓扑学及其在现代数学物理中应用感兴趣的读者提供一个深入且全面的视角。本书并非对几何与数论的传统交叉领域进行回顾，而是聚焦于拓扑学自身在处理空间结构、连续形变以及内在不变量构建方面所取得的突破性进展。我们着重探讨那些彻底改变了对“形状”理解的核心概念，尤其是在高维空间、低维流形以及离散结构嵌入等领域。第一部分：基础重构与经典范式的新视角本部分首先回顾了代数拓扑学的核心工具，但其目的并非重复基础教程，而是以更现代、更具洞察力的方式来审视这些工具的局限性与潜力。第一章：同调理论的精炼与推广本章深入探讨了奇异同调与胞腔同调在处理复杂流形时的内在联系与差异。重点在于相对同调（Relative Homology）在微分几何背景下的应用，特别是如何利用其来精确描述边界和切割操作对空间拓扑性质的影响。我们引入了截面同调（Sheaf Cohomology）的概念，展示了它如何超越传统上依赖于开覆盖的限制，为研究局部与整体性质之间的微妙关系提供了更精细的工具。通过对层上同调的详细分析，读者将理解如何在代数结构中编码空间的几何信息。第二章：同伦理论的重塑与高阶群同伦群的计算复杂性一直是代数拓扑的瓶颈之一。本章聚焦于对基础同伦群（$pi_1$）的有效计算方法，并过渡到更高级的同伦群，特别是球面上的映射群。我们将详细分析纤维丛上的谱序列（如Serre谱序列），阐明它们如何通过分解复杂空间的同伦信息来简化计算。此外，本章将介绍基于群表示论的视角来研究流形上的纤维化结构，为理解高维空间的连接性提供了新的代数框架。第三章：流形论的拓扑基础本章将微分流形的概念置于纯拓扑的框架下进行考察。重点在于拓扑流形的分类理论，包括嵌入定理和浸没定理在拓扑意义上的表述。我们详细分析了斯皮瓦克（Spivak）对球面上的纤维丛的分类工作，并引入了特征类（Characteristic Classes）——如陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶（Poincaré Duality）——的拓扑构造，强调它们如何作为连接流形结构与底层向量丛拓扑性质的“桥梁”。本章的数学语言将更加侧重于拓扑形变（Homotopy Equivalence）下的不变量。第二部分：几何化与低维拓扑的突破在这一部分，我们将焦点转向那些对几何结构具有强大约束力的低维拓扑问题，这些问题极大地推动了对空间“刚性”与“柔性”的理解。第四章：三维流形几何化：庞加莱猜想的现代诠释本章完全专注于三维拓扑学的革命性进展。我们将详细阐述 Thurston 的几何化纲领的拓扑核心思想：即任何三维流形都可以分解为具有特定几何结构的子流形的拼接。重点分析了双曲几何与三维流形的联系，讨论了视界集（Horizons）和Dehn手术在拓扑形变中的关键作用。虽然本书不深入 Ricci 孤儿和能量最小化，但会严格从拓扑分类的角度阐述其几何化后的拓扑结果，特别是环面和纽结的拓扑不变性。第五章：纽结与低维流形的拓扑不变量纽结理论作为低维拓扑的经典分支，在本章得到了现代的审视。我们侧重于拓扑不变量，如琼斯多项式（Jones Polynomials）和 HOMFLY 多项式，从它们在三维流形上的推广——即Chern-Simons理论中的拓扑场论——的角度进行解读。我们将分析这些不变量如何通过康威结函子（Conway Knot Function）等工具来区分拓扑上不同的纽结，并探讨蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）在探索高维纽结空间中的应用潜力。第六章：曲面上的拓扑与Teichmüller空间本章探讨二维流形（曲面）的分类和形变理论。我们将深入研究曲面的同胚类（Homeomorphism Classes），并引入示始曲线（Marked Surfaces）的概念。Teichmüller 空间作为曲面形变的模空间，其拓扑结构将被详细分析。重点将放在其度量和几何结构上，尤其是其与复杂结构的联系。我们讨论了二次微分（Quadratic Differentials）如何作为区分Teichmüller空间中不同点的拓扑/几何标记。第三部分：现代代数拓扑工具与离散结构本部分探讨了拓扑学如何与离散数学结构，特别是范畴论和高阶范畴，相结合，以解决更抽象的结构问题。第七章：范畴论在拓扑学中的应用拓扑学的许多现代发展都建立在范畴论的基础之上。本章聚焦于函子（Functors）在拓扑结构之间的映射，特别是正合函子（Exact Functors）和导出函子（Derived Functors）在同调理论中的构建。我们将详述上同调理论（如Ext函子）的起源，以及它们如何帮助我们理解代数结构（如环或群）如何作用于拓扑空间。第八章：高阶范畴与$infty$-范畴这是本书中最具前沿性的章节之一。它介绍了高阶范畴的概念，特别是如何用它们来精确地描述拓扑空间之间的所有高阶同伦信息。我们将讨论 $infty$-群（或 $infty$-范畴）在稳定同伦理论中的角色，以及它们如何统一了传统拓扑中的各种构造，例如 $A_{infty}$ 和 $E_{infty}$ 代数。这部分内容为理解持久同调（Persistent Homology）在数据分析中的基础提供了深刻的理论背景。第九章：拓扑数据分析的数学骨架虽然本书侧重于纯理论，但本章将拓扑工具与离散数据结构的连接进行理论性探讨。我们不涉及具体的算法实现，而是关注持久同调（Persistent Homology）背后的数学原理——即如何将一个数据点的集合视为一个随参数变化的拓扑空间族（滤子或沸腾过程）。重点在于讲解如何从数据的拓扑特征中提取稳定（Persistent）的“洞”结构，以及这些拓扑不变量如何提供比传统统计方法更稳健的形状描述。结语本书旨在提供一个坚实的理论基础，使读者能够理解现代拓扑学如何通过精妙的代数和几何工具来解析空间的最内在结构。我们希望读者能借此掌握识别和利用拓扑不变量的能力，无论是在纯数学研究还是在与物理、数据科学的交叉领域中，都能更有效地应对复杂的结构挑战。