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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Not Available (NA)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 63.27

装帧:HRD

isbn号码:9780521690065

丛书系列:

图书标签:

• Mathematical Literacy
• Grade 11
• Assessment
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• South Africa
• Mathematics
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• Learning Resources

《几何探索：高中阶段空间想象力与逻辑推理的进阶指南》 图书简介 本书主题： 空间几何的深度剖析、逻辑论证的严谨训练与数学思维的全面提升。 目标读者： 正在进行高中数学（特别是涉及几何学、立体几何及解析几何的章节）学习的学生、致力于提升数学素养的教师，以及对非欧几何和拓扑学有初步兴趣的数学爱好者。 内容概述： 《几何探索：高中阶段空间想象力与逻辑推理的进阶指南》是一本专注于提升读者对空间几何理解深度与逻辑推理能力的专业辅助读物。本书旨在超越标准教科书对基础概念的介绍，深入探讨几何学的核心原理、论证方法及其在现代数学与其他科学领域中的应用。本书不涉及任何关于“学习支持光盘”（Assessment Support CD-Rom）的内容，也不侧重于特定年级（如Grade 11）的标准化考试复习，而是着眼于建立坚实的、跨越高中阶段的、乃至大学预科水平的几何思维框架。 第一部分：重塑空间观——从欧几里得到非欧的桥梁 本部分将读者从二维平面引入三维世界，但其核心在于发展对“维度”和“结构”的直观感知能力。 第一章：欧氏几何的完备性与局限性。 我们将从公理系统（如欧几里得五大公设）出发，详细分析其内在逻辑的精妙之处。重点解析第五公设（平行公设）的历史地位及其在确定空间属性中的关键作用。通过一系列复杂的作图问题（如尺规作图的限制），展示纯粹逻辑推演的力量。 第二章：非欧几何的启示。 介绍罗巴切夫斯基和黎曼几何的诞生背景。读者将通过思想实验和模型构建（如双曲面和球面几何），理解当改变基本公设时，空间如何表现出截然不同的性质。例如，在球面几何中，三角形内角和恒大于180度；在双曲几何中，恒小于180度。这部分内容旨在拓宽读者的“空间想象力”，使其明白几何学并非是固定不变的真理集合，而是基于一组初始假设的逻辑构建体系。 第三章：拓扑学的萌芽——不变性的思考。 引入拓扑学的基本概念，如连续形变、连通性、洞的数量（亏格）。通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“莫比乌斯带”的构造与分析，展示几何学中关注的焦点可以从长度、角度转移到形状在特定形变下的“不变性质”。这为理解现代数学的抽象化趋势奠定了基础。 第二部分：立体几何的精深解析与向量工具的应用 本部分是本书的核心实践部分，专注于高中立体几何（三维空间中的点、线、面关系）的深入研究，并系统引入向量代数作为解决复杂空间问题的利器。 第四章：三维空间中的基本元素与关系。 深入探讨直线、平面、二面角的精确定义与计算。我们摒弃依赖直觉的判断，转而采用严格的代数或向量方法来证明共面性、垂直性与平行性。内容包括：线线距、线面距、面面距的精确几何推导。 第五章：向量在立体几何中的应用。 详细讲解空间直角坐标系的建立与坐标变换的基础。重点讲解如何使用向量的点积（内积）计算角度（如异面直线夹角、线面角、二面角），以及如何使用向量的叉积（外积）来确定法向量、计算面积和体积。本章将提供大量“无图解”的纯代数解题案例，要求读者仅凭坐标和向量运算解决复杂的空间问题。 第六章：立体几何中的优化问题。 探讨如何利用微积分思想（或不等式方法）在固定体积下寻找表面积最小化的几何体，或在固定表面积下寻找最大体积的几何体（如球体与正方体的比较）。这展示了几何学与优化理论的交叉。 第三部分：解析几何的统一视角——坐标系下的几何本质 本部分聚焦于如何用代数语言精确描述几何图形，强调几何直觉与代数运算的互补性。 第七章：平面解析几何的进阶。 巩固直线、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的标准方程、参数方程及极坐标表示。重点在于理解如何通过代数性质（如判别式、焦点、准线定义）来重构图形的几何特性。分析曲线的对称性、渐近线以及与坐标轴的交点。 第八章：空间解析几何的构建。 将坐标系扩展至三维，引入球面、圆柱面、圆锥面的方程。详细论述如何使用方程组来描述空间中的直线与平面，以及如何求解两平面的交线（直线）或线与面的交点。本章深入解析了如何通过分析方程的二次项系数矩阵来确定二次曲面的类型（如椭球面、双曲面等）。 第九章：几何变换的代数描述。 探讨平移、旋转、缩放、反射等几何变换如何通过矩阵乘法（2D/3D变换矩阵）进行描述和组合。这不仅是计算技术，更是理解几何对象在不同视角下保持不变性的深层数学结构。 总结与展望： 本书的最终目标是培养读者一种“几何直觉的严谨化”能力，即能够将复杂的空间想象转化为清晰的逻辑符号和可操作的数学模型。本书不提供题库，而是提供一套严密的思维工具箱，使用户在面对任何未曾见过的几何问题时，都能找到可靠的逻辑入口。通过对公理基础、非欧拓展、向量分析和坐标统一性的深入学习，读者将建立起远超应试水平的、坚实而灵活的数学思维体系。

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