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出版者:Addison-Wesley

作者:Demana, Franklin D. (EDT)/ Waits, Bert K. (EDT)/ Foley, Gregory D. (EDT)/ Kennedy, Daniel (EDT)

出品人:

页数:1023

译者:

出版时间:

价格:140

装帧:HRD

isbn号码:9780321131966

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，这是一份关于一本名为《代数与三角函数进阶指南》的图书的详细简介，该书内容不涉及《Precalculus》的知识体系。 --- 图书简介：代数与三角函数进阶指南 书名：《代数与三角函数进阶指南》 作者：[此处可填写虚构作者名] 出版社：[此处可填写虚构出版社名] 目标读者： 本书旨在为对高等数学有初步了解，但需要系统、深入地掌握代数结构与三角函数在物理、工程及高级数学理论中应用的自学者、大学生以及专业人士服务。 概述：超越基础，迈向应用 《代数与三角函数进阶指南》是一部专注于拓展和深化经典代数与三角学概念的专著。它不满足于传统预备课程（如Precalculus）中对函数、方程和基本几何关系的机械性介绍，而是将重点放在这些工具如何构建更复杂的数学模型和解决实际工程问题上。本书的核心目标是搭建一座坚实的桥梁，使读者能够从基础代数运算平稳过渡到微积分、线性代数乃至更高级的数学分析。 全书内容结构严谨，逻辑链条清晰，通过大量精心设计的、具有挑战性的例题和应用实例，引导读者构建对抽象概念的深刻理解，而非仅仅停留在公式的记忆层面。我们相信，真正的数学能力源于对结构和内在联系的洞察。 第一部分：高级代数结构与解析几何的深化 本部分着重于代数概念的抽象化与应用范围的拓宽。我们不会重复基础的因式分解或线性方程组的解法，而是直接深入到更具理论深度的领域。 第一章：数域的拓展与群论初探 本章从实数域出发，系统性地探讨复数系（Complex Numbers）的代数和几何表示。我们详细阐述了复数的乘法、除法运算，以及它们在二维平面上的旋转与缩放几何意义。 代数形式与极坐标形式的转换： 深度解析棣莫弗定理（De Moivre's Theorem），不仅展示其在求n次方根中的应用，更重要的是，探讨其在周期函数分析中的潜在价值。 基础群论概念入门： 在不涉及复杂抽象代数的前提下，引入数域（如加法群、乘法群）的概念，为读者理解代数结构的一致性奠定基础。我们将讨论整数、有理数、实数域的封闭性与运算性质。 第二章：多项式理论的高级视角 本书超越了简单的多项式求根，侧重于多项式在函数逼近和代数方程理论中的地位。 根的性质与函数图的精细分析： 深入探讨根的重数、有理根定理的局限性，并引入解析法分析多项式函数的局部极值与拐点，为后续的微积分学习做铺垫。 高次方程的解析解法受限性： 讨论伽罗瓦理论（Galois Theory）的非正式概述，解释为什么五次及以上的一般代数方程不存在通用的根式解，从而引出数值方法的必要性。 插值与逼近： 详细介绍拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）和牛顿插值法，这些是信号处理和数值分析的基础。 第三章：超越二维的解析几何 本章将解析几何的视角从二维平面扩展到三维空间，着重于向量代数和空间曲线的描述。 向量空间基础： 定义向量的加法和数乘，引入点积（内积）和叉积（外积）的几何和代数意义。重点分析点积在投影和功计算中的应用，以及叉积在确定平面法向量中的关键作用。 空间曲线的参数化： 介绍如何使用参数方程来描述三维空间中的复杂路径，例如螺旋线，并讨论如何通过向量函数初步分析其切线和曲率（不涉及积分，仅关注几何定义）。 二次曲面导论： 重点讲解椭球面、双曲面和抛物面的标准方程及其在工程结构（如桥拱、天线）中的实际体现。 第二部分：三角函数的深度应用与周期现象分析 本部分将三角函数视为描述周期性现象的工具，而不是孤立的几何函数。我们将利用复数理论来统一和简化三角函数的处理。 第四章：三角函数的复数视角与欧拉公式 这是全书的亮点之一。本章将三角函数置于复平面中进行考察。 欧拉公式的建立与推导： 详细推导 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$，并阐释其在统一指数函数与三角函数方面的革命性意义。 和差化积的复数视角： 利用欧拉公式推导和、差角公式，展示复数乘法如何对应于极坐标下的角度相加和模长的相乘，从而提供一个更直观的代数理解。 三角函数的代数表示： 利用欧拉公式，将 $sin heta$ 和 $cos heta$ 表示为复指数函数的组合，为傅里叶分析做准备。 第五章：高级三角恒等式与解方程策略 本章侧重于运用代数技巧简化复杂的三角表达式，并解决超越性的三角方程。 倍角与半角公式的系统化应用： 重点展示如何利用这些公式将高次幂的三角函数降幂处理，这在工程中的谐波分析至关重要。 三角方程的通用解法： 探讨如何将三角方程转化为代数方程（例如使用万能代换 $t = an( heta/2)$），以及如何处理由此引入的增根和周期性解的表示。 三角函数的反函数分析： 深入分析反正弦、反余弦等函数的定义域、值域及其限制，特别是它们在定义域限制下如何保证函数的可逆性。 第六章：正弦与余弦在波形分析中的角色 本章将理论应用到实际的周期性问题中，这是区别于基础课程的关键部分。 正弦叠加原理： 介绍两个或多个同频率正弦波叠加的几何和代数处理方法（相位和振幅的合成）。 非正弦周期函数的表示基础： 定性地引入傅里叶级数（Fourier Series）的概念——任何周期函数都可以分解为一系列正弦和余弦函数的和。虽然本书不进行积分推导，但会展示如何通过代数方法（如使用特殊函数值）来逼近简单周期波形（如方波或三角波）。 实际应用案例分析： 选取机械振动、交流电路（RLC电路的稳态分析）中的阻抗和相位差问题，展示如何利用三角函数和复数知识精确建模和求解。 总结与展望 《代数与三角函数进阶指南》旨在培养读者的数学“直觉”和应用“能力”。它强迫读者跳出单纯的几何框架，将代数视为描述世界结构的语言，将三角函数视为解析周期现象的精密工具。完成本书的学习后，读者将具备扎实的代数基础和对周期性、空间几何的深刻理解，从而能自信地迎接微积分、微分方程和线性代数等更高级的挑战。本书的叙述风格严谨而不失启发性，是追求深度理解的数学爱好者的理想选择。

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