The Structure of Classical Diffeomorphism Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Banyaga, Augustin

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:1997-3

价格:$ 270.07

装帧:HRD

isbn号码:9780792344759

丛书系列:

图书标签:

微分几何
李群
拓扑
代数拓扑
微分同胚
经典群
几何群论
光滑流形
代数
数学

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具体描述

The book introduces and explains most of the main techniques and ideas in the study of the structure of diffeomorphism groups. A quite complete proof of Thurston's theorem on the simplicity of some diffeomorphism groups is given. The method of the proof is generalized to symplectic and volume-preserving diffeomorphisms. The Mather-Thurston theory relating foliations with diffeomorphism groups is outlined. A central role is played by the flux homomorphism. Various cohomology classes connected with the flux are defined on the group of diffeomorphisms. The main results on the structure of diffeomorphism groups are applied to showing that classical structures are determined by their automorphism groups, a contribution to the Erlanger Program of Klein. Audience: Graduate students and researchers in mathematics and physics.

经典微分同胚群结构作者：[请在此处填写作者姓名] 内容简介本书旨在系统深入地探讨经典微分同胚群的理论基础、代数结构、几何特性及其在现代数学物理中的应用。全书聚焦于那些在光滑流形上定义的、保持特定几何结构（如测度、体积形式或辛结构）的同胚映射构成的群，即经典微分同胚群。我们将从微分拓扑的基础概念出发，逐步构建起这些群的严谨数学框架，并深入分析其内在的复杂结构。第一部分：基础与背景本书的开篇部分为读者奠定了必要的数学基础。我们将首先回顾流形、微分形式、向量场和光滑映射等微分几何的核心概念。随后，重点介绍测度论在微分同胚群中的作用，特别是体积形式的保持性。第一章：微分几何基础回顾流形与切丛：介绍光滑流形的定义，局部坐标系，以及切空间的构造。张量与微分形式：讨论上指标和下指标张量的概念，以及微分形式的内积、楔积和外微分运算。光滑向量场与流：定义光滑向量场，并探讨由其产生的局部积分流（Flows），这是微分同胚群生成元的重要来源。第二章：同胚群的引入与初步性质微分同胚群 $Diff(M)$：定义光滑流形 $M$ 上的微分同胚群 $Diff(M)$，并讨论其作为无穷维李群的拓扑结构（例如，C∞ 拓扑）。经典子群的定义：引入保持特定结构的微分同胚群，包括保持体积形式的微分同胚群（$Diff_{mu}(M)$，也称之为保持测度的微分同胚群），以及保持特定张量结构的子群。拓扑性质：探讨这些群的连通性、完备性以及它们在强拓扑下是否构成李群的挑战。第二部分：结构与代数性质本书的核心部分深入分析了经典微分同胚群的内部代数和几何结构。我们将重点研究这些群的李代数，即无穷小形变，以及它们之间的关系。第三章：李代数与无穷小生成元李代数 $X(M)$：定义微分同胚群的李代数，即流形 $M$ 上的光滑向量场空间 $X(M)$，以及其中的李括号运算（即向量场的泊松括号）。保持体积形式的李代数：研究与 $Diff_{mu}(M)$ 对应的李代数，即那些不改变体积形式的向量场，其条件是向量场的散度（Divergence）为零。这与流体力学中的不可压缩流密切相关。指数映射与局部结构：分析指数映射如何将李代数中的元素（向量场）映射到群中的元素（微分同胚）。讨论在 C∞ 拓扑下，指数映射的性质和局限性。第四章：群的分解与同调理论无穷维李群的理论挑战：讨论在无穷维情形下，传统的有限维李群理论（如伴随表示、根系等）如何推广或失效。中心和交换子子群：分析微分同胚群的中心（Center）的结构，特别是那些作用恒等映射的微分同胚。探讨其交换子子群（Derived Subgroup）的性质。同调与上同调：引入群上同调的概念，用于研究群的扩张和中心结构。特别关注 L2 上同调在无限维李群中的应用。第三部分：几何与动力学视角本部分将研究经典微分同胚群作为几何变换群的行为，以及它们在动力系统中的体现。第五章：黎曼几何中的微分同胚群等距变换群的推广：将经典的等距变换群（Isometry Group）的概念推广到微分同胚群。研究那些保持黎曼度量的微分同胚（即等度同胚群 $Iso(M, g)$）。测地流与动力学：探讨由黎曼度量诱导的测地流，及其与微分同胚群生成元的关系。分析在具有负曲率流形上的微分同胚的动力学行为。刚性问题：讨论是否有可能从微分同胚群的结构恢复流形的原始几何结构（如度量或体积形式），即所谓的“刚性”问题。第六章：拓扑不变量与群作用同胚类与拓扑分类：讨论微分同胚群如何作用于流形，划分出不同的微分结构。研究诸如光滑截面、纤维丛等概念在群作用下的稳定性。不变理论：探索在微分同胚群作用下保持不变的几何或拓扑不变量。例如，某些特定的微分形式或拓扑特征。群作用的平滑性：分析微分同胚群作用的平滑性（Smoothness）在不同拓扑下的表现，区分强拓扑和弱拓扑下的结果。第四部分：特殊案例与应用本书的最后部分将关注几个具有特殊重要性的经典微分同胚群实例，并简要触及其在应用数学中的联系。第七章：二维流形上的微分同胚群球面 $S^2$ 上的微分同胚群：详细分析 $Diff(S^2)$ 的结构，特别是其与共形变换群的关系。讨论 Diffeomorphism group of the circle $Diff(S^1)$，它是李群中的一个经典例子。莫比乌斯变换与共形群：探讨在二维空间中，保持角度的共形变换群与微分同胚群之间的交集和包含关系。第八章：与流体力学和调和分析的交叉水动力学方程的对称性：将保持体积形式的微分同胚群视为某些重要的理想流体方程（如欧拉方程）的无穷维李群对称性群。谱分析：讨论在 $Diff_{mu}(M)$ 上定义拉普拉斯-德拉姆算子及其谱性质，这与群作用的遍历性研究紧密相关。结论本书旨在为研究者提供一个关于经典微分同胚群的全面而深入的视角。通过对这些群的代数、拓扑和几何结构的细致剖析，读者将能更好地理解无穷维对称性在几何分析和拓扑学中的核心地位。我们期望本书能激发对这些复杂结构更深层次的探索，特别是在规范场论和几何动力学等前沿领域。