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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Yeh, J.

出品人:

页数:738

译者:

出版时间:

价格:$ 142.54

装帧:HRD

isbn号码:9789812566539

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 实分析
• 高等数学
• 微积分
• 数学
• 分析学
• 数学教材
• 学术著作
• 理论数学
• 数学基础

现代代数：群论与环论导论 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的现代代数基础，重点聚焦于群论和环论的核心概念与重要结构。它不仅仅是一本教科书，更是一本引导读者进入抽象数学世界的实践指南。 本书的叙事结构精心设计，从最基础的代数结构出发，逐步构建起读者对抽象代数系统的直观理解与形式化掌握。我们深知，对于初学者而言，代数的抽象性往往构成理解的巨大障碍，因此，本书在引入新概念时，总是先辅以丰富的例子和直观的解释，然后再过渡到严格的定义和定理证明。 第一部分：基础结构与数论的桥梁 第一章：预备知识与代数结构概述 本章首先回顾了集合论、函数和二元运算的基础概念，为后续的抽象化奠定坚实基础。随后，我们引入了代数结构的最基本模型——半群 (Semigroups)。通过对结合律的强调，我们引导读者认识到运算顺序的重要性。 接着，独异点 (Monoids) 的概念被引入，重点讨论了单位元（恒等元）在结构中的关键作用。大量的例子，从常见的数集运算到矩阵乘法，都被用来说明这些结构的实际表现。我们详尽地探讨了生成元的概念，以及如何利用生成元来描述整个结构。 第二章：群论的基石：群 本章是全书的重心之一。我们正式引入群 (Groups) 的完整定义——结合律、单位元和逆元。群的概念是现代代数中最核心的骨架。 在定义之后，我们立即着手探讨群的基本性质，例如单位元的唯一性、逆元的唯一性，以及关于指数和阶的初级结论。我们详细讨论了子群 (Subgroups) 的概念，并引入了陪集 (Cosets) 的构造。陪集是连接群与商群的桥梁，其性质（如左陪集与右陪集的区分）得到了细致的分析。 第三章：阶、循环群与同态映射 本章深入探讨了群的“大小”——阶 (Order) 的概念。拉格朗日定理作为群论中最辉煌的成果之一，被给予了充分的篇幅和严谨的证明。我们展示了如何利用阶的性质来推断子群的存在性和元素性质。 随后，循环群 (Cyclic Groups) 作为最简单、最易于理解的无限群被详细研究。我们证明了每个循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 同态 (Homomorphisms) 和同构 (Isomorphisms) 的概念在本章被系统引入。我们强调了同态映射如何“保持结构”，并导出了核 (Kernel) 和像 (Image) 的性质。核作为群中的一个特殊子群——正规子群 (Normal Subgroups)，其重要性被凸显，并为其在下一章的应用做铺垫。 第二部分：群论的进阶结构 第四章：商群与同构定理 本章的核心是商群 (Quotient Groups) 的构造。我们首先明确了正规子群是构造商群的必要条件，并详细说明了陪集集合如何继承群运算，形成一个新的群结构。通过大量的例子，如 $mathbb{Z}$ 对 $nmathbb{Z}$ 的商群，读者可以直观地理解商群的“缩并”过程。 随后，我们呈现了代数结构理论的“三大支柱”——群同构定理。第一同构定理被详细证明和应用，它确立了商群与同态像之间的深刻联系。随后，第二和第三同构定理作为对结构的进一步细化，也得到了证明和阐释。 第五章：群的作用与应用 本章将抽象的群结构与具体对象联系起来，展示了群论的强大应用能力。我们定义了群在集合上的作用 (Group Actions)，并讨论了其性质，如轨道和稳定子。 轨道-稳定子定理是本章的重点，它为计算轨道大小提供了强大的工具。利用这一工具，我们重新审视了拉格朗日定理的更强形式，并引出了柯西定理 (Cauchy's Theorem)。 最后，本章专门用一节探讨了西洛夫定理 (Sylow Theorems) 的内容。我们完整证明了西洛夫第一、第二和第三定理，这些定理为有限群的结构分析提供了无价的蓝图，尤其在对阶数为 $p^a q^b$ 的群进行分类时显示出无与伦比的威力。 第六章：有限群的结构 本章致力于对有限群的内部结构进行分解。我们引入了直积 (Direct Products) 的概念，并讨论了内部直积与外部直积的区别。 交换群 (Abelian Groups) 的结构被彻底揭示。我们证明了任意有限交换群都同构于其初级因子群的直积，并进一步证明了它同构于初等因子群的直和（$mathbb{Z}_{p^k}$ 的直积）。这个结构定理为有限交换群的分类提供了最终答案。 第三部分：环论的开启 第七章：环的基础与例子 本书的后半部分转向了另一个重要的代数结构——环 (Rings)。我们首先从加法群和乘法运算两个角度定义了环，并强调了乘法不需要满足交换律和可逆性。 我们详细区分了交换环、单位环（带幺环）等不同类型的环。大量的例子，如 $mathbb{Z}$, $mathbb{Q}$, $mathbb{R}$, $mathbb{C}$, $M_n(mathbb{R})$，以及多项式环 $R[x]$，被用来建立读者的直观感受。 随后，我们引入了环中的子结构：子环 (Subrings) 和理想 (Ideals)。与群中的正规子群类似，理想在环的商结构中扮演着核心角色。 第八章：整环、域与零因子 本章聚焦于满足附加条件的环结构。零因子 (Zero Divisors) 的概念被定义，并由此区分出整环 (Integral Domains)。我们证明了有限整环一定是域。 域 (Fields) 作为乘法运算完全可逆的环，是进行完整代数运算的理想环境。我们详细分析了 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 的性质，并探讨了如何从任意环构造其分数域 (Field of Quotients)。 第九章：环同态与理想 本章将群论中的同态和正规子群的概念提升到环的层面。环同态 (Ring Homomorphisms) 被定义，并讨论了其核和像的性质——核必须是理想。 商环 (Quotient Rings) 的构造，类似于商群，依赖于理想。我们证明了 $R/I$ 可以构成一个环，并且，它在满足理想的条件下，可以构造出商结构。 群同构定理的环版本被系统地证明和应用，特别是第一同构定理，它揭示了商环与同态像之间的深刻等价关系。 第十章：主理想、多项式环与整环的完备性 本章深入研究了特殊类型的理想和环。 主理想 (Principal Ideals) 的概念被引入，它是由单个元素生成的理想。如果一个环的每个理想都是主理想，那么这个环被称为主理想环 (Principal Ideal Domains, PIDs)。我们证明了 $mathbb{Z}$ 是一个 PID。 随后，本书的焦点转移到多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。我们证明了 $F[x]$ 拥有与整数环 $mathbb{Z}$ 相似的优良性质，包括欧几里得算法（尽管形式不同）。 最后，我们探讨了唯一分解整环 (Unique Factorization Domains, UFDs) 的概念，并证明了 PID 蕴含 UFD，而 UFD 的重要性体现在多项式环的分解中。 结语 本书通过对群和环这两个基本代数结构的深入剖析，为读者构建了一个坚实而完整的现代代数知识框架。它不仅提供了必要的理论工具，更重要的是，培养了读者进行抽象思维和形式化推理的能力，为未来学习代数几何、数论或拓扑学等高级数学领域打下了不可或缺的基础。

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