Introduction to asymptotic methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Awrejcewicz, J./ Krysko, Vadim A./ Krysko, V. A.

出品人:

页数:251

译者:

出版时间:

价格:1751.00元

装帧:HRD

isbn号码:9781584886778

丛书系列:

图书标签:

• Asymptotic analysis
• Mathematical methods
• Approximation techniques
• Differential equations
• Complex analysis
• Perturbation theory
• Singular perturbations
• Applied mathematics
• Numerical analysis
• Scientific computing

经典物理学中的微扰论与渐进展开 一本深入探索现代分析工具在处理复杂物理问题中应用的专著 内容简介： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨在经典物理学领域中，如何运用微扰论和渐进展开等高级数学工具来精确或近似地求解那些解析解难以直接获得的复杂方程和模型。本书内容聚焦于数学物理的核心领域，不涉及代数、集合论或现代计算机科学中的数值方法，而是严格地扎根于连续介质力学、电磁学、热传导以及经典场论的框架下，展示解析逼近方法的强大威力。 第一部分：数学基础与一阶近似 本部分首先回顾了解决线性常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的经典方法，如分离变量法和傅里叶级数展开，作为引入微扰论的铺垫。随后，我们将核心置于正则摄动法（Regular Perturbation Theory）的系统性介绍上。 我们将详细剖析当一个微分方程中含有一个小参数 $epsilon$ 时，如何假设解是 $epsilon$ 的幂级数展开：$u(x) = sum_{n=0}^{infty} u_n(x) epsilon^n$。我们将通过经典的受阻尼谐振子模型——一个具有小阻尼系数 $epsilon$ 的线性二阶常微分方程——来演示如何通过代入此展开式并匹配不同 $epsilon$ 阶次的项，从而依次求出零阶（无阻尼解）、一阶修正项，乃至更高阶的修正。我们强调了在匹配过程中，需要特别注意边界条件和初始条件是如何被逐阶地满足的。 随后，我们将把微扰论扩展到线性偏微分方程。一个核心的案例研究是泊松方程在微小边界扰动下的解法。我们详细阐述了如何将被扰动的几何区域，通过坐标变换转化为标准区域，然后应用标准的格林函数方法，并以 $epsilon$ 的幂级数形式展开格林函数的核函数，从而获得修正后的势场分布。这一部分将严格区分稳态问题与含时间演化的波动问题（如含小耗散项的波动方程）在摄动处理上的细微差别。 第二部分：奇异摄动与边界层现象 本部分转向处理物理学中更为棘手的奇异摄动问题（Singular Perturbation Problems），这些问题是解析方法挑战性的核心所在。奇异摄动发生于当小参数 $epsilon$ 影响到解的结构，使得逐阶展开不再能满足所有区域的边界条件时，通常导致解在空间或时间上表现出快速变化的区域，即边界层（Boundary Layer）。 我们将深入探讨维森贝格法（WKBJ 方法），这是处理高频或短波现象的基石。我们将其应用于薛定谔方程（限定于经典意义下的量子力学描述，不涉及更深层的量子场论）和经典电磁波在不均匀介质中传播的模型。我们将推导WKBJ的相位积分条件，即著名的瑞利-索末菲（Raleigh-Sommerfeld）条件，用以确定本征值问题中的量子化条件或反射/透射系数。重点在于理解为什么只有在特定区域，渐近展开才是有效的。 针对常微分方程中的边界层，我们将系统介绍匹配法（Method of Matched Asymptotic Expansions）。通过对一个经典的边界层流体动力学模型（例如，斯托克斯流在雷诺数极小情况下的简化）进行分析，我们将清晰地展示如何构建“外层解”（Outer Solution，在远离边界层区域有效）和“内层解”（Inner Solution，在边界层内有效），并通过一个重叠区域（Stretching Region）来确保它们在过渡区域的连续性。这个过程要求读者掌握对坐标进行非线性拉伸（stretching）的技巧。 第三部分：更高级的渐进方法 本部分探讨了在传统幂级数展开失效时所依赖的更精细的渐进技术。 首先是局域化渐近展开（Local Asymptotic Expansions），特别是局地相似性解（Similarity Solutions）。我们将分析简并非线性扩散方程（如简并反应-扩散系统）中，当解的结构在空间上快速变化时，如何通过缩放变量找到一个与物理位置无关的相似性函数。 其次，我们将详细阐述鞍点法（Method of Steepest Descent）和拉普拉斯方法（Laplace's Method）在处理积分的渐近估计中的应用。这些方法是分析傅里叶变换和拉普拉斯逆变换在参数趋于无穷大时的行为的关键工具。我们将通过一个热传导问题的积分解形式，演示如何利用这些方法来确定解在特定时间尺度下的主导行为，从而揭示物理过程的本质。 最后，本书将涉及临界点理论（Caustics and Critical Points）在物理系统中的应用，特别是当微扰参数穿越一个特定的临界值时，解的结构如何从正则转为奇异。这部分将通过分析波动方程的射线追踪模型来阐明，当射线汇聚或发散形成焦点时，传统的WKBJ方法失效，需要引入尖峰函数（Airy Functions）作为新的局部展开基础。 目标读者： 本书面向物理学、应用数学和工程学领域的高年级本科生、研究生以及专业研究人员，要求读者具备扎实的复变函数基础和常微分方程的知识。本书的目的是提供一个纯解析的视角，强调对物理现象背后数学结构的深刻理解，而非依赖数值模拟的便捷性。

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