Stochastic Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Chapman & Hall/CRC

作者:Chow, Pao-liu

出品人:

页数:281

译者:

出版时间:2007-3-19

价格:USD 83.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781584884439

丛书系列:

图书标签:

Stochastic PDEs
Partial Differential Equations
Probability Theory
Mathematical Finance
Stochastic Analysis
Differential Equations
Numerical Analysis
Applied Mathematics
Calculus of Variations
Martingale Theory

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具体描述

As a relatively new area in mathematics, stochastic partial differential equations (PDEs) are still at a tender age and have not yet received much attention in the mathematical community. Filling the void of an introductory text in the field, Stochastic Partial Differential Equations introduces PDEs to students familiar with basic probability theory and Itô''s equations, highlighting several computational and analytical techniques.

Without assuming specific knowledge of PDEs, the text includes many challenging problems in stochastic analysis and treats stochastic PDEs in a practical way. The author first brings the subject back to its root in classical concrete problems. He then discusses a unified theory of stochastic evolution equations and describes a few applied problems, including the random vibration of a nonlinear elastic beam and invariant measures for stochastic Navier-Stokes equations. The book concludes by pointing out the connection of stochastic PDEs to infinite-dimensional stochastic analysis.

By thoroughly covering the concepts and applications of stochastic PDEs at an introductory level, this text provides a guide to current research topics and lays the groundwork for further study.

偏微分方程的几何与拓扑方法作者： [在此处填写真实作者姓名] 出版社： [在此处填写真实出版社名称] 出版年份： [在此处填写真实出版年份] --- 图书简介本书深入探讨了偏微分方程（PDEs）在现代数学物理中的核心地位，但其叙事视角完全聚焦于几何、拓扑学以及微分几何的强大工具如何为理解和求解非随机性的偏微分方程提供革命性的框架。本书旨在弥合纯粹分析、几何理论与应用数学之间的鸿沟，为高级研究人员和有志于探索PDEs深层结构的研究生提供一套全新的思维工具箱。我们摒弃了传统的傅里叶分析或泛函分析的初级介绍，直接切入PDEs的几何本质。全书结构围绕“流形上的方程”、“对称性结构”和“拓扑不变量”三大核心支柱展开。第一部分：流形上的偏微分方程（PDEs on Manifolds）本部分将基础PDEs（如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程）提升到更抽象、更具几何洞察力的层面——黎曼流形上。第1章：黎曼几何基础与PDE的推广我们首先回顾必要的微分几何知识，重点阐述切丛、协变导数和黎曼曲率张量。我们将详细分析拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）的构造，解释它如何成为在任意光滑流形上定义热核和谱理论的自然推广。我们将探讨在非均匀介质中传播的扩散过程，其核心在于流形的几何结构而非欧几里得空间的平坦性。第2章：规范场论与微分形式本章将介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology）及其在PDE中的应用。我们将展示如何将诸如麦克斯韦方程组（Maxwell's Equations）——这些是典型的四维时空上的线性PDEs——重新表述为对微分形式的外导数和霍奇分解的约束。通过理解这些方程在微分形式空间中的结构，我们可以清晰地看到，解的存在性和唯一性与流形拓扑（例如，流形的连通分支数或“洞”）的关联，这远超出了经典分析方法所能揭示的范畴。第3章：测地线与哈密顿-雅可比方程我们转向动力学系统与PDE的交叉点。哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equation）作为一阶拟线性PDE的典范，其解可以被解释为最小作用量原理的几何路径。本章深入分析了测地线方程的变分原理，探讨了黎曼流形上测地线的聚焦现象如何对应于哈密顿-雅可比解的奇性形成（如冲击波的出现）。我们将使用李亚诺夫指数来量化这些解的稳定性。第二部分：对称性、不变性与守恒律本部分的核心在于利用PDEs内部的对称性结构来简化求解过程，特别是与诺特定理（Noether's Theorem）相关的分析。第4章：李群与无穷小生成元我们将深入研究连续对称性。通过李群理论，我们识别出作用于流形或解空间上的连续变换群。关键在于构造无穷小生成元（Infinitesimal Generators），这些生成元本身驱动着一组常微分方程（ODEs）。对于一个具有已知对称性的PDE，我们可以通过寻找不变解（Invariant Solutions）来大幅降低问题的维度，从而将复杂的PDE问题转化为更容易处理的ODE问题。第5章：守恒律的几何解释与精确解诺特定理将微分对称性与能量、动量等物理量守恒联系起来。本章将超越标准物理学的应用，侧重于如何从代数结构（如李代数）直接推导出精确的守恒量。我们将研究一些经典的非线性方程（如Korteweg-de Vries, KdV 方程），展示它们的无穷多守恒量如何保证了其孤子解的长期稳定性，并探讨这些守恒量如何构造出精确解。第6章：等变映射与模空间当方程具有一组离散或连续的对称性时，解往往聚集成一个“模空间”（Moduli Space）。本章探讨了如何利用这些对称性来对解进行分类，特别是对于涉及几何结构稳定性的方程，如极小曲面方程。我们引入了稳定解的概念，即在对称性群作用下保持不变的解，并讨论了如何通过模空间的边界来理解解的退化行为。第三部分：拓扑不变量与全局性质本部分探讨PDE解的全局特性，这些特性对局部扰动具有鲁棒性，并由底流形的拓扑结构严格决定。第7章：椭圆方程的谱理论与拓扑联系我们聚焦于椭圆型PDEs，如希尔伯特空间上的拉普拉斯算子。本章的核心是谱分析，但重点放在了谱（即特征值）与流形拓扑的联系上，特别是“听闻形状”（Hearing the Shape of a Drum）的问题。我们将介绍魏尔积分公式（Weyl's Law）的修正项，它们直接依赖于流形的曲率和边界结构。第8章：拓扑度理论与非线性解对于非线性椭圆方程，例如彭加莱问题（Poincaré problems）或薛定谔方程，拓扑度（Topological Degree）理论成为证明解存在性的强大工具。我们将构建合适的函数空间，并定义算子的拓扑度。本章将详细演示如何利用拓扑度为负定的算子提供有界的“替代空间”，从而保证临界点（即解）的存在性，特别是周期解和多重解的存在性。第9章：特征类与多重解最后，我们将探讨更高级的拓扑不变量——特征类（Characteristic Classes），如陈类（Chern Classes）。这些类是定义在向量丛上的，并且可以与某些重要的、具有全局意义的PDE（如规范理论中的杨-米尔斯方程）的解联系起来。我们将展示如何利用这些类来区分具有不同拓扑构型的解集，即使这些解在局部看起来相似。本书以对复杂非线性方程的整体、几何驱动的理解作结。 --- 目标读者：本书适合熟悉经典分析技巧，并希望掌握现代几何方法来解决偏微分方程问题的数学物理研究者、微分几何学家以及高级应用数学专业学生。对黎曼几何和李群理论有初步了解者将受益最大。本书不假设读者熟悉随机过程理论。