Smoothing and Decay Estimates for Nonlinear Diffusion Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Oxford Univ Pr

作者:Vazquez, Juan Luis

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2006-10

价格:$ 107.35

装帧:HRD

isbn号码:9780199202973

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
非线性扩散方程
热方程
调和分析
函数空间
时间衰减估计
光滑性
PDE
数值分析
数学物理

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具体描述

This text is concerned with the quantitative aspects of the theory of nonlinear diffusion equations; equations which can be seen as nonlinear variations of the classical heat equation. They appear as mathematical models in different branches of Physics, Chemistry, Biology, and Engineering, and are also relevant in differential geometry and relativistic physics. Much of the modern theory of such equations is based on estimates and functional analysis. Concentrating on a class of equations with nonlinearities of power type that lead to degenerate or singular parabolicity ("equations of porous medium type"), the aim of this text is to obtain sharp a priori estimates and decay rates for general classes of solutions in terms of estimates of particular problems. These estimates are the building blocks in understanding the qualitative theory, and the decay rates pave the way to the fine study of asymptotics. Many technically relevant questions are presented and analyzed in detail. A systematic picture of the most relevant phenomena is obtained for the equations under study, including time decay, smoothing, extinction in finite time, and delayed regularity.

好的，这是一本关于非线性扩散方程的图书的详细简介，重点关注其在非线性偏微分方程（PDEs）理论中的应用，特别是与几何分析、调和分析以及概率论的交叉领域，完全不涉及平滑性和衰减估计的具体内容。 --- 图书简介：非线性扩散方程的几何与拓扑分析书名：非线性扩散方程的几何与拓扑分析 (Geometric and Topological Analysis of Nonlinear Diffusion Equations) 作者： [此处填写作者名] 出版社： [此处填写出版社名] 出版年份： [此处填写年份] 概述本书深入探讨了非线性扩散方程在现代数学物理中的核心地位，侧重于从几何结构、拓扑不变量以及流体动力学启发的角度来分析这类方程的解的性质。我们关注的焦点是如何利用先进的微分几何工具和拓扑概念来理解和分类这些方程在不同尺度和边界条件下的整体行为，尤其是在奇异性形成、爆破现象和全局存在性的背景下。本书旨在为高级研究生和研究人员提供一个理解非线性扩散动力学背后的深层数学结构的视角，将经典的偏微分方程理论与现代几何分析方法有机结合。第一部分：非线性扩散方程的结构与基础几何本部分首先为读者建立了研究非线性扩散方程所需的数学基础，重点强调了方程的非局部性和内在几何结构。第一章：非线性扩散的张量表示与共形几何本章从更高维度的微分几何角度审视了扩散过程。我们不再将扩散视为简单的拉普拉斯型算子，而是将其嵌入到具有可变黎曼度量的空间中。重点分析了形如 $partial_t u = ext{div}(|Du|^{p-2} Du)$ 的 $p$-拉普拉斯算子在曲面上，其作用等同于在特定张量场上定义的某种共形流。讨论了在洛伦兹流形或闵可夫斯基空间中，扩散方程如何转化为描述物质场的规范不变量。引入了Weyl张量在描述非线性扩散场中的角色，以及如何利用曲率流的概念来重构扩散方程的演化路径。第二章：变分原理与能量最小化本章将非线性扩散方程置于变分法的框架内进行考察。我们详细分析了与这些方程相伴的能量泛函，特别是那些涉及高阶梯度项或奇异势能的泛函。研究重点是极小曲面理论与扩散过程的联系，其中扩散解被视为某种能量的极小化路径。深入探讨了具有不完整度量空间或非光滑边界情形下的Dirichlet原理的推广，特别是针对Mach数受限的流体模型。第三章：扩散方程的拓扑不变量本部分是本书的创新点之一，它探讨了在非线性扩散演化过程中保持不变的拓扑特征。我们引入了Brouwer度数、同调群以及Chern-Simons泛函的概念来分析高维系统中解的拓扑荷。例如，在描述带电粒子或涡旋流动的方程中，解的“拓扑数”如何决定其稳定性和全局结构。讨论了孤子（Solitons）的拓扑分类，以及在边界层附近，拓扑荷的转移机制。第二部分：奇点、爆破与动力学分析本部分聚焦于分析非线性扩散方程解的有限时间行为，尤其是系统趋于奇异或分解时的动力学特征。第四章：临界指数与爆破的几何分类对于临界指数 $p$ 的情形，扩散行为与线性扩散有本质区别。本章利用临界点理论来确定爆破发生的时间和位置。关键分析在于，爆破点是否对应于流形上的测地线聚焦或视界形成。详细考察了具有自吸引项（Self-attracting terms）的方程，如何通过Moser-Trudinger不等式的非线性版本来控制解的全局行为，并对爆破模式进行了基于几何梯度的分类。第五章：奇异解的重整化与尺度不变性当解在某一点趋于无穷时，需要引入重整化技巧。本章探讨了在共形变换下保持扩散方程形式不变的尺度不变性。通过分析相似解（Self-similar solutions），我们揭示了爆破行为的内在结构，即在临界尺度下，解的行为如何由特定的固定点动力学所支配。讨论了如何利用Kato's范畴来精确描述奇点附近解的局部性质。第六章：流形上的扩散与边界动力学本章将分析放在具有复杂边界的黎曼流形上。重点研究Dirichlet边界条件与Neumann边界条件在非线性扩散中的不同物理含义，特别是后者如何导致自由边界问题。通过Stefan-Plateau问题的推广形式，分析了边界如何响应内部的扩散压力，以及在曲率受限的区域，扩散流如何被曲率梯度所引导。引入了平均曲率流与非线性扩散的耦合，以理解物质在弯曲结构中的传输。第三部分：非线性扩散方程的随机扰动与随机几何本部分将视角转向随机性，研究在噪声影响下，非线性扩散系统的统计特性和随机几何演化。第七章：随机非线性扩散与随机场论将随机微分方程（SDEs）的框架引入非线性扩散。主要研究带有乘性噪声或扩散系数依赖于解的随机偏微分方程（SPDEs）。着重分析了Itô积分在处理非线性扩散算子时的技术困难，并介绍了Malliavin微积分在研究解的概率密度函数光滑性方面的应用。讨论了在随机黎曼流形上，扩散方程如何描述随机测地线的演化。第八章：随机几何下的存在性与唯一性在随机扰动下，确定解的路径的正则性成为核心问题。本章利用随机比较原理来证明解的单调性，并结合粗糙路径理论（Rough Path Theory）来精确地描述在高度不规则噪声下的扩散路径。分析了在概率测度空间上，非线性扩散算子定义的随机梯度流的性质，以及其在Wasserstein空间中的收敛性。结论本书通过对非线性扩散方程的几何化和拓扑化处理，为理解其复杂动力学提供了一个统一且强大的数学框架。它强调了从微分几何、拓扑学和概率论中汲取工具的重要性，以解决当前非线性扩散理论中关于奇点形成、全局解的存在性以及随机演化等核心难题。本书内容具有很强的挑战性和前沿性，适合致力于深入研究偏微分方程理论的专业人士。