具体描述
For undergraduate courses in Algebra and Trigonometry with optional Graphing Calculator usage. The Eighth Edition of this dependable text retains its best features -- accuracy, precision, depth, strong student support, and abundant exercises -- while substantially updating content and pedagogy. After completing the book, students will be prepared to handle the algebra found in subsequent courses such as finite mathematics, business mathematics, and engineering calculus.
《代数与三角函数：基础理论与应用》 本书导读： 本导读旨在为读者勾勒出《代数与三角函数：基础理论与应用》一书所涵盖的核心知识领域、教学方法以及它在高等数学学习阶梯中的重要定位。请注意，本书的重点在于系统地构建坚实的预备知识体系，为后续的微积分、线性代数等高级课程打下坚实的基础，而非侧重于特定主题的深入探索。 第一部分：代数基础的巩固与深化 本书的第一部分致力于对高中阶段代数知识进行系统的梳理、强化与拓宽，确保学生能够熟练运用代数工具解决复杂问题。 第一章：复习与预备知识 本章首先回顾了实数系统，强调了数的性质、区间表示法以及不等式的解法，特别是绝对值不等式的处理技巧。随后，重点转向了多项式函数。我们详细讨论了多项式的基本运算、因式分解的各种方法（包括分组分解、十字相乘法、以及对特殊公式的应用）。对有理表达式的化简和运算进行了详尽的阐述，这对于后续处理函数方程至关重要。 第二章：方程与不等式 本章的核心在于解方程和解不等式的方法论。 线性方程与系统： 涵盖了单变量线性方程的求解，并扩展到二元和三元线性方程组的解法。我们着重介绍了消元法和代入法的逻辑步骤，并引入了矩阵在简化求解过程中的初步概念——但仅限于基础的高斯消元思想，不涉及完整的矩阵理论。 二次方程： 除了因式分解外，本章详尽分析了配方法，并由此推导出求根公式（二次公式）。我们对判别式（Discriminant）的意义进行了深入探讨，用以判断根的性质（实数根、复数根、重根）。 高次多项式方程： 引入了有理根定理和余数定理，这些是寻找高次多项式实数根的关键工具。我们展示了如何利用这些定理逐步降低方程的次数，最终归约为二次方程求解。 不等式求解： 重点讲解了分式不等式和绝对值不等式的求解方法，强调了零点穿墙法在多项式和有理函数不等式求解中的应用，确保学生能够准确判断解集区间。 第三章：函数与图形 函数是贯穿全书的主线。本章建立了严格的函数概念，包括定义域、值域的确定，函数的表示法（解析式、表格、图形）。 基本函数族： 对线性函数、二次函数（抛物线）、三次函数以及绝对值函数等常见函数的图像特征、顶点、对称性、单调性进行了细致的描绘和分析。 函数的变换： 深入探讨了水平和垂直的平移、拉伸和反射如何影响函数图像。掌握这些变换能帮助学生快速识别和绘制复杂函数的图形。 函数的运算与性质： 讲解了函数的加、减、乘、除运算，并重点介绍了函数的复合运算，这是学习反函数和微积分中链式法则的基石。 反函数： 明确了反函数的定义条件（单射性），并教授了如何代数求解反函数，以及反函数图像与原函数图像关于 $y=x$ 的对称关系。 第二部分：三角学的结构与应用 第二部分将视角从笛卡尔坐标系转向了圆周运动，构建起三角函数的完整体系。 第四章：角的度量与三角函数定义 本章首先区分了角度的度量单位——角度制与弧度制，并阐述了两者之间的转换关系，强调了弧度制在高等数学中的优先地位。 三角函数的推广： 将三角函数的定义从直角三角形扩展到任意角，基于单位圆的定义，精确确定了正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的符号和值。 参考角与化简： 教授如何利用参考角（Reference Angle）来确定任意象限角三角函数的值。 三角函数图像： 详细描绘了正弦函数 $y=sin(x)$ 和余弦函数 $y=cos(x)$ 的周期性、振幅、相位移动和垂直平移，并简要介绍了正切函数的图像特征。 第五章：三角恒等式 本章是三角学方法论的核心，旨在熟练运用恒等式简化表达式和求解方程。 基本关系式： 重新审视并证明了毕达哥拉斯恒等式（$sin^2 heta + cos^2 heta = 1$）及其衍生形式。 和角与差角公式： 详尽推导并应用了 $sin(alpha pm eta)$ 和 $cos(alpha pm eta)$ 的公式，这是推导其他所有复合角公式的基础。 倍角与半角公式： 展示了如何利用和角公式推导出 $sin(2 heta)$ 和 $cos(2 heta)$ 的公式，并探讨了半角公式在处理根式简化中的妙用。 积化和差与和差化积： 提供了两组强大的转换工具，用于处理复杂的三角函数乘积或和差表达式的化简。 第六章：解三角方程与三角函数的应用 本章将恒等式知识应用于实际的方程求解和几何应用。 求解三角方程： 教授如何利用代数技巧和三角恒等式来求解包含一个或多个三角函数的方程，强调了在特定区间内寻找所有解集的系统方法。 正弦定律与余弦定律： 这是解析几何的重要组成部分。本章详细解释了在非直角三角形中，如何利用正弦定律（Law of Sines）和余弦定律（Law of Cosines）来求解边和角，涵盖了 SSA（边-边-角）情况下的歧义性问题分析。 向量初步（几何视角）： 引入了二维向量的基本概念，包括向量的几何表示、分量表示、向量的加减法以及标量乘法，为物理学和工程学中的力、速度分解打下基础。 总结： 《代数与三角函数：基础理论与应用》旨在提供一个逻辑严密、由浅入深的数学基础训练。本书不涉及极限、导数或积分的正式定义，而是专注于工具的精度和熟练度。通过系统学习，读者将建立起对函数行为的深刻理解，并掌握在解决涉及多项式、有理式、指数、对数以及周期性现象（通过三角函数建模）问题时所需的关键代数和三角运算技能。本书的完成标志着学生已为成功进入微积分课程做好了充分准备。
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