Applied Linear Algebra and Matrix Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Shores, Thomas S.

出品人:

页数:396

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 90.34

装帧:HRD

isbn号码:9780387331942

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵分析
• 应用数学
• 高等数学
• 工程数学
• 数值分析
• 数学建模
• 数据科学
• 机器学习
• 优化算法

好的，这是一份关于一本名为《经典几何与拓扑学基础》的图书的详细简介，该书旨在为读者提供一个严谨而直观的几何学和拓扑学入门。 --- 图书名称：《经典几何与拓扑学基础》 内容简介 本书旨在为学习代数、分析或物理学的学生提供一个坚实而全面的经典几何与拓扑学基础。我们深知，一个优秀的数学教育体系应当建立在对空间结构、连续性与形变等核心概念的深刻理解之上。《经典几何与拓扑学基础》聚焦于欧几里得空间中的几何结构，并逐步过渡到更抽象的拓扑空间，旨在培养读者对空间形态的直觉洞察力，并武装他们必要的数学工具来处理这些概念。 第一部分：欧几里得空间中的几何学 本书的开篇深入探讨了我们最熟悉的几何环境——三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$。我们不仅仅停留在高中几何的范畴，而是采用线性代数和向量分析的语言来重新构建这些概念。 1.1 向量空间与坐标系： 详细介绍了向量的代数结构，包括线性无关性、基和维数。我们将重点讨论如何选择合适的坐标系来简化几何对象的描述。这部分内容为后续的微分几何打下基础。 1.2 度量与距离： 引入内积的概念，这是定义长度、角度和正交性的核心工具。我们详细分析了欧几里得距离的性质，并探讨了规范（Norms）在不同范数下的几何解释，例如曼哈顿距离与欧几里得距离的对比。 1.3 曲线与曲面： 这一章节是几何直观培养的关键。我们引入参数化曲线的概念，并详细讨论了曲线的切向量、弧长和曲率。接着，我们将焦点转移到曲面，通过第一、第二基本形式来分析曲面的局部几何性质，如法曲率、主曲率和高斯曲率。高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的严谨证明将是本部分的亮点，它揭示了曲率如何成为内蕴（Intrinsic）不变量。 1.4 刚体运动与变换： 探讨旋转、平移和反射等刚体运动的代数结构，主要通过正交矩阵和特殊欧几里得群（SE(3)）来描述。这部分内容对物理学中的刚体动力学具有直接的应用价值。 第二部分：从度量到拓扑：连续性的抽象化 在理解了基于距离的几何学之后，本书的核心转向了拓扑学，即研究在连续形变下保持不变的性质。这一过渡要求我们剥离“距离”和“角度”的概念，专注于“邻近性”和“连通性”。 2.1 拓扑空间的概念： 这是一个至关重要的抽象步骤。我们定义了拓扑空间，即通过开集的集合来规定邻域关系。我们详细对比了度量空间（Metric Spaces）和拓扑空间的区别与联系，并展示了如何从度量空间自然地导出拓扑结构。 2.2 连续性与同胚： 在抽象拓扑空间中重新定义连续函数。拓扑同胚（Homeomorphism）作为拓扑学中的“等价”概念被引入，它允许我们视“橡皮泥几何”为研究对象。通过直观的例子（如咖啡杯与甜甜圈的等价性），读者将建立起对拓扑不变性的基本认识。 2.3 连通性与紧致性： 这两个拓扑学中最核心的不变量被深入探讨。我们区分了路径连通性与道路连通性，并利用这些概念来剖析复杂的空间结构。紧致性（Compactness）的定义及其在实数线上的性质（如 Heine-Borel 定理的拓扑推广）被详尽论述，它在分析学中的重要性将被强调。 2.4 序列、极限与可数性： 尽管拓扑学旨在超越度量，但序列和极限的概念在拓扑语境下依然有效。我们讨论了拓扑收敛的定义，并探讨了可数性和可分离性等性质对拓扑空间的影响。 第三部分：基本拓扑结构与不变量 第三部分将理论应用于更丰富的拓扑对象，介绍代数拓扑学的初步概念。 3.1 基本群（Fundamental Group）： 这是代数拓扑的第一个重要工具。我们定义了环路空间和同伦的概念，并计算了圆周 $S^1$ 和圆盘的 $pi_1$ 群。通过布劳威尔（Brouwer）不动点定理的拓扑证明，展示了基本群在解决不动点问题上的强大能力。 3.2 覆盖空间理论简介： 简要介绍了覆盖空间的概念，它提供了理解基本群的另一种视角。我们讨论了如何利用覆盖空间来构造和理解 $pi_1$ 群。 3.3 流形初步： 最后，本书将回归几何直觉，介绍微分流形（Manifolds）的概念。我们将流形定义为“局部看起来像欧几里得空间”的拓扑空间，并展示如何将第一部分发展的微分几何工具推广到这些更广义的空间上。这为读者后续学习微分几何、黎曼几何或广义相对论铺平了道路。 本书特点： 几何直觉与代数严谨性的结合： 每引入一个抽象概念，都伴随着丰富的、可可视化的几何实例作为支撑。 清晰的结构： 从具体的 $mathbb{R}^3$ 逐步抽象至一般拓扑空间，逻辑链条清晰，易于跟随。 大量的练习题： 每章末尾配有难度适中的练习题，涵盖计算、证明和概念应用，以巩固读者的理解。 《经典几何与拓扑学基础》不仅是通往高级几何学研究的桥梁，更是一部培养读者空间想象力和数学抽象思维的入门经典。它旨在让读者真正体会到几何之美和拓扑之趣。

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