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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:Bob Dumas

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2006-4-20

价格:$ 216.68

装帧:Hardcover

isbn号码:9780073533537

丛书系列:

图书标签:

• 英文原版
• 数学
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《数学思维的跃迁：从基础到严谨的探索》 本书旨在引导读者踏上一段通往高等数学严谨世界的精彩旅程。它并非一本涵盖特定高等数学分支的百科全书，而是专注于为那些希望深入理解数学本质、掌握数学证明技巧、并为未来更高级的学习奠定坚实基础的读者提供一套核心的思维工具和方法论。 核心目标与价值： 在许多人的认知中，数学似乎是具体的公式、计算和应用。然而，当我们进入高等数学的领域，数学的魅力更多地体现在其抽象性、逻辑性和严谨性。这本书的核心目标，就是帮助读者完成从“会计算”到“能证明”的思维方式的转变。它将揭示数学家们是如何构建理论、如何进行推理、如何确保结论的绝对可靠。 对于即将接触或正在学习微积分、线性代数、离散数学等高等数学课程的学生而言，本书将是一座宝贵的桥梁。它不会直接教授这些课程的具体内容，而是会深入剖析支撑这些课程的逻辑骨架——集合论、逻辑学、证明论等基础概念。通过对这些基础的深刻理解，读者将能够以一种更清晰、更有效的方式来学习和掌握那些更复杂的数学知识。 内容维度与学习路径： 本书的编写思路是层层递进，环环相扣，引导读者逐步构建起一套严谨的数学思维体系。 第一部分：数学的基石——集合与逻辑 集合论初探： 我们将从最基本的数学语言——集合开始。理解集合的定义、运算（并集、交集、差集、补集）、关系（子集、真子集、相等）是理解任何数学对象的起点。我们会深入探讨不同的集合类型（有限集、无限集、可数集、不可数集），并介绍康托尔关于无限集合的惊人发现，这对于理解数学的深度和广度至关重要。 命题逻辑与谓词逻辑： 数学证明的语言是逻辑。我们将学习如何构建清晰的数学命题，如何使用逻辑连接词（与、或、非、蕴含、等价）来组合命题，以及如何理解和运用量词（全称量词、存在量词）。掌握逻辑推理的规则，如肯定前件、否定后件、假言推理、析取推理等，是进行有效证明的必备技能。 证明的基本艺术： 了解了逻辑的规则，我们就能开始探索证明的艺术。本书将介绍几种最基本但至关重要的证明方法：直接证明、反证法（归谬法）、数学归纳法。每种方法都会配以详尽的解释和精心挑选的例子，帮助读者理解其内在逻辑和应用场景。我们会强调清晰的论证过程和严谨的步骤。 第二部分：数学对象的构造与性质 关系与函数： 在集合的基础上，我们将进一步学习数学中描述对象之间联系的重要概念——关系和函数。我们会深入理解不同类型的关系（自反、对称、反对称、传递），特别是等价关系和序关系，以及它们在数学中的广泛应用。函数的概念将不仅仅停留在“输入输出”的层面，而是会探讨函数的性质（单射、满射、双射）、复合函数、反函数等，以及它们如何构建起数学体系中的结构。 数系的构造： 从自然数到整数，再到有理数、实数，乃至复数，数系的扩张是数学史上的一个重要里程碑。本书将简要介绍不同数系的构造原理和它们所解决的问题，这能帮助读者理解数学概念是如何从简单到复杂逐步发展和完善的。我们将侧重于理解不同数系之间的内在联系和性质。 一些基础的代数结构： 为了让读者初步接触抽象代数的美妙，我们将介绍一些最基础的代数结构，例如群。理解群的定义（封闭性、结合律、单位元、逆元）以及一些简单的例子（整数加法群、非零实数乘法群），将是理解更复杂代数结构（如环、域）的基础。这部分内容将侧重于培养读者对抽象概念的理解和识别能力。 第三部分：严谨性与证明的深化 证明的技巧与策略： 除了基本证明方法，本书还将探讨一些更进阶的证明技巧，例如构造性证明、反例的构建、以及如何从定义出发进行证明。我们会强调在实际证明过程中，如何清晰地组织思路、如何准确地使用数学语言、以及如何避免常见的逻辑错误。 理解“证明”的意义： 最终，本书希望引导读者理解“证明”不仅仅是一个完成任务的步骤，更是数学知识得以确立的基石。它关乎数学的确定性、普遍性和可靠性。通过阅读本书，读者将培养一种对数学严谨性的天然追求，并能在今后的学习中更加自信地面对各种数学挑战。 本书的特点： 强调概念理解而非公式记忆： 本书的重点在于建立清晰的数学概念，理解数学思想的本质，而非死记硬背大量的公式和定理。 循序渐进的难度设计： 内容从易到难，逐步引入新的概念和证明技巧，确保读者能够扎实地掌握每一部分的知识。 注重逻辑推理的训练： 每一章都将引导读者积极思考，尝试自己进行推理和证明，从而培养批判性思维和解决问题的能力。 启发性与探索性： 通过介绍一些数学史上的故事和数学家们的思考方式，激发读者对数学的好奇心和探索欲。 为未来学习铺垫： 本书的内容是几乎所有高等数学课程的共同基础，掌握本书的知识体系，将极大地降低读者学习后续数学分支的门槛，并提升学习效率和深度。 目标读者： 本书最适合以下人群： 即将进入大学学习数学、科学、工程、计算机科学等相关专业的学生。 在校大学生，希望巩固和深化对数学基础概念的理解，提升数学证明能力。 对数学的严谨性和逻辑推理有浓厚兴趣，希望了解数学“是如何工作”的任何读者。 希望重拾数学学习，并以一种更深刻、更本质的方式来理解数学的自学者。 通过阅读《数学思维的跃迁：从基础到严谨的探索》，您将不仅仅获得一套知识，更重要的是，您将获得一种思考数学的方式，一种探索真理的工具，为您的学术生涯和智力成长注入持久的动力。

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《Transition to Higher Mathematics》这本书的书名，对我来说，就如同一座灯塔，指引着我在数学学习的迷雾中寻找方向。我一直以来都对数学的逻辑之美和它所能揭示的宇宙规律充满着好奇，但我也深知，从我所熟悉的初等数学领域跨越到更抽象、更严谨的高等数学领域，需要一个精心设计的“过渡期”。我期待这本书能够为我提供一条清晰的学习路径，帮助我理解那些构成高等数学“骨架”的核心概念，例如集合论的基石、逻辑推理的规则，以及数学证明的艺术。我希望它能深入浅出地讲解如何构建一个严谨的数学证明，以及如何运用这些证明方法去解决实际问题。我尤其关注书中在介绍那些抽象的概念，比如“映射”、“关系”或者“代数结构”时，是否能够提供生动形象的例子和类比，来帮助我建立直观的理解，从而更容易地掌握这些复杂的数学工具。这本书不应该仅仅是公式的罗列，更应该是一种思维方式的启迪。我希望它能教会我如何用数学的语言去思考，如何去辨别数学命题的真伪，以及如何自信地去探索那些隐藏在数字和符号背后的数学奥秘。

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当我看到《Transition to Higher Mathematics》这本书时，我立刻联想到了自己在学习数学过程中经历过的几次重要的“跃升”。每一次的跃升都伴随着对现有知识的重构和对新概念的吸收，而这个过程充满了挑战，也充满了令人兴奋的发现。这本书的名字恰恰点出了这个关键的“过渡”时期，这个时期决定了一个学习者是否能够顺利地进入高等数学的殿堂。我预设这本书会为我提供一套系统性的方法论，教我如何去理解和接受那些高度抽象的数学概念，例如函数、极限、连续性等，以及它们是如何在更普遍的框架下被定义的。我期待书中能够深入探讨数学证明的艺术，教授我如何构建一个逻辑严密、无懈可击的证明，并且能够识别出那些容易被忽视的细节。我特别希望它能够通过一些经典的例子，来展示数学定理的诞生过程，以及这些定理如何推动了数学的进步。例如，关于“实数”的构造，或者“康托尔集合”的介绍，都可能是我非常感兴趣的内容。这本书不仅仅是关于知识的传递，更重要的是关于思维的启迪。我希望它能帮助我培养一种数学直觉，让我能够在看似复杂的问题中抓住核心，并找到解决问题的关键。这是一种能力的培养，一种能够让我受益终生的能力，而不仅仅是掌握一些公式和定理。

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在我看来，《Transition to Higher Mathematics》这本书的书名就像是一个邀请函，邀请我去探索数学世界中那些更深邃、更抽象的领域。我一直以来都对数学的逻辑严谨性和它所能达到的思维高度充满向往，但也很清楚，从基础数学到高等数学的过渡，需要一套系统性的方法和清晰的理解。我预设这本书会详细阐述数学证明的构建方法，例如如何进行演绎推理，如何使用数学归纳法，以及如何识别证明中的关键步骤。我希望它能够清晰地解释集合论中的基本概念，如集合、子集、并集、交集等，以及这些概念如何构成更复杂数学对象的基石。同时，我也期待书中能介绍一些基础的数理逻辑，教会我如何准确地使用逻辑符号来表达数学思想，如何判断一个数学命题的真假。我尤其关注这本书在引入抽象概念时能否做到循序渐进，并且提供一些能够引发深度思考的例子，例如关于“无限”的悖论，或者关于“函数”的各种定义和性质。这本书对我而言，不仅仅是知识的传递，更是一种能力的培养——一种能够让我独立思考、严谨分析、并且自信地探索未知数学世界的“元能力”。

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这本书，从它的名字《Transition to Higher Mathematics》来看，就像是我学习数学道路上的一个重要的“里程碑”指示牌。我一直以来都对数学的精确性、普适性和内在的逻辑结构感到着迷，但总觉得在掌握了基础的代数和几何之后，有一扇更广阔的大门等待我推开，而那扇门后面，是更加抽象、更加深刻的数学世界。我期待这本书能够为我提供一把钥匙，一把能够解锁高等数学秘密的钥匙。它应该会详细讲解一些核心概念，比如如何理解“集合”和“元素”之间的关系，如何运用逻辑符号来表达数学命题，以及如何构建一个严谨的数学证明。我尤其看重这本书在介绍抽象概念时是否能够做到循序渐进，是否能够提供一些直观的类比或者形象的例子，来帮助我理解那些看起来非常抽象的数学结构，例如“映射”或者“同态”。我希望这本书不仅能教我“做什么”，更能教我“怎么想”。它应该能够培养我识别数学问题本质的能力，培养我用数学的思维去分析和解决问题的能力，从而让我能够更加自信地去探索数学的更深层次的奥秘。

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拿到《Transition to Higher Mathematics》这本书，我立刻感受到了它传递出的那种“启蒙”信号。我一直以来都对数学的逻辑严谨性和抽象美学抱有浓厚的兴趣，但清楚地知道，要真正领略高等数学的魅力，需要掌握一套不同于初等数学的思维工具和语言。这本书的书名，正是对我这样一个渴望升级数学“装备”的学习者的精准定位。我预想这本书会细致地讲解数学证明的构建过程，如何从基本公理和定义出发，通过一系列逻辑推导，最终得出定理。我期待它能深入浅出地介绍集合论、逻辑学、关系和函数等基础概念，并解释它们是如何在现代数学中扮演核心角色的。我特别希望书中能包含一些能够启发思考的例子，例如，关于“证明与真理”的关系，或者一些历史上著名的数学难题及其证明过程的简介。这不仅仅是关于知识的获取，更重要的是关于能力的培养。我希望这本书能够帮助我建立一种“数学直觉”，让我能够更好地理解抽象概念背后的数学思想，并且能够自信地运用这些概念去解决更复杂的问题，甚至去探索未知的数学领域。它将是我从一个数学学习者向一个数学探索者转变的重要桥梁。

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这本书的书名《Transition to Higher Mathematics》瞬间抓住了我的注意力，因为它精确地描绘了我目前在数学学习道路上所处的阶段。我一直对数学的逻辑严谨性和抽象之美深感着迷，但要从基础的解析几何和微积分转向更广泛、更深入的数学领域，确实需要一个清晰的指引。我期待这本书能够提供一个坚实的平台，帮助我理解那些构成高等数学基石的概念，比如集合论、逻辑学、关系和函数等。我希望它能详细阐述数学证明的写作规范和技巧，教会我如何构建一个严谨的证明，并且能够识别出证明中的关键步骤和潜在的陷阱。我尤其希望书中能够包含一些能够激发我深入思考的例子，比如关于“可数性”的讨论，或者关于“不可判定性”的一些初步介绍，这些都让我觉得非常有趣。这本书在我看来，不应该仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的培养。它应该能够教会我如何去“思考”数学，如何从直觉走向形式化的推理，以及如何用数学的语言去描述和分析世界。我希望它能为我打开一扇通往更广阔数学世界的大门，让我能够在这个世界里自由地探索和发现，并培养起一种对数学的持久热情。

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这本书，单看书名，就让我感受到一种强烈的求知欲。我知道，从我们熟悉的初等数学领域迈向高等数学，需要一个什么样的“过渡”，这其中涉及到思维方式的根本性转变，而不仅仅是知识量的增加。我一直以来都对数学的美丽和内在的逻辑性充满敬意，但同时也明白，要真正欣赏这种美，需要掌握一套全新的工具和视角。这本书，我想，就是为我这样的学习者量身定制的。它大概会带领我认识数学的“语言”，理解那些看似晦涩的符号和术语背后所蕴含的深刻意义。我期待它能详细解释什么是“严谨的数学定义”，以及如何从这些定义出发，通过逻辑推理得出结论。我设想书中会有大量的例子，这些例子不仅仅是为了说明一个概念，更是为了展示如何运用这些抽象的数学工具去解决问题，或者更进一步，去发现新的数学真理。例如，在介绍“拓扑学”或“抽象代数”这些领域时，我希望这本书能为我构建一个初步的认识框架，让我知道这些领域研究的是什么，它们的核心思想是什么，以及它们与其他数学分支的联系。我希望它能教会我如何“思考数学”，如何进行批判性分析，以及如何建立自己的数学模型。这不仅仅是为了通过考试，更是为了打开我对数学世界更深层次的认知，让我能够独立地去探索和理解那些更广阔的数学疆域。

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这本书的封面设计就吸引了我，它不像一些枯燥的数学教材那样单调，而是有一种现代感和一丝神秘感，让人忍不住想翻开一探究竟。我一直以来都对数学的严谨和抽象性感到着迷，但同时也很想了解那些能让我从基础的算术和代数跳跃到更深层次的数学概念的“桥梁”。这本书的名字——“Transition to Higher Mathematics”，恰恰点出了我一直以来渴望的那个学习阶段，那种从已经熟悉的工具箱升级到更先进、更精密的数学语言的转变。我预想这本书会为我揭示数学中那些看似高不可攀的概念是如何一步步构建起来的，它会如何解释集合论、逻辑、证明方法这些构筑整个高等数学大厦的基石。我很期待书中能够给出清晰的定义、生动的例子，甚至是历史上那些关键性突破的简要回顾，来帮助我理解这些抽象概念的意义和重要性。毕竟，理解“为什么”和“怎么做”同样重要，我希望这本书能在这两方面都给我带来深刻的启发。我更希望它能提供一些练习题，这些练习题不是简单的计算，而是能够锻炼我的逻辑思维和证明能力，让我能够真正地“上手”这些新的数学工具。我已经迫不及待地想知道，这本书将如何引导我进入那个充满未知的、更加广阔的数学世界，如何让我不再被那些复杂的符号和定义吓倒，而是能够自信地探索其中的奥秘。它会是我的数学学习旅程中的一次重要的阶梯，让我能够更加从容地攀登到新的高度。

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在我看来，《Transition to Higher Mathematics》这本书的书名本身就包含了极大的信息量，它预示着一次重要的学术旅程的开始，一次从已熟悉的水域进入更深邃的海洋的探索。我一直以来都对数学中那种独特的、严谨的逻辑体系以及它所能达到的抽象高度充满好奇。然而，我深知，从中学时代的数学学习直接过渡到大学高年级的数学研究，需要一个清晰的“过渡期”和一套有效的“导航系统”。我设想这本书将详细介绍构成高等数学大厦的“基石”——比如集合论中的基本概念、逻辑推理的规则、以及各种证明方法（如直接证明、反证法、数学归纳法等）的应用。我特别关注书中如何处理抽象概念的引入，是否能够做到由浅入深，并且通过生动的例子来帮助读者建立直观的理解。例如，当我听说过“群论”或者“环论”时，我希望能在这本书中找到关于这些抽象代数结构的初步介绍，了解它们的基本性质以及在数学中的重要性。更重要的是，我期望这本书能够培养我进行数学思考的能力，让我学会如何分析问题、构建模型、并用严谨的数学语言来表达我的想法。这是一种能力的提升，一种能够让我自信地面对未来更复杂的数学挑战的准备。

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初次拿到这本《Transition to Higher Mathematics》，我的第一感觉是它触及了一个非常重要的学习节点，一个许多数学爱好者在走出基础课程后会遇到的瓶颈。我一直以来都觉得，从高中到大学的数学学习，最核心的挑战之一就是数学语言的转换，从依赖具体例子和直观理解，转向抽象的定义、公理和严谨的证明。这本书的书名精准地捕捉到了这个过渡的本质。我设想这本书会详细阐述逻辑推理的规则，如何构建一个有效的数学证明，例如直接证明、反证法、数学归纳法等等，并且会提供大量的范例来展示这些方法的应用。我相信它会涵盖一些基本的集合论概念，比如集合运算、关系、函数，这些都是后续学习更高级数学分支的通用语言。我尤其关注的是这本书在介绍抽象概念时是否能够做到循序渐进，并且能够为我提供一种“思考方式”的引导，而不是仅仅罗列定理和公式。例如，当引入“群”或“环”这样的代数结构时，我希望作者能够解释清楚为什么需要这样的抽象，它们解决了什么问题，以及它们在数学中的普遍性。阅读这本书，我希望能够建立起一种对数学证明的直觉，能够识别出逻辑上的漏洞，并且能够自信地构建自己的证明。它应该不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的向导，带领我穿过那些看似杂乱无章的数学符号和概念，最终找到那条清晰的、通往更高级数学的道路。

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