Constructive Combinatorics (Undergraduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Dennis Stanton

出品人:

页数:196

译者:

出版时间:1986-05-15

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387963471

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 组合数学
• 图论
• 离散数学
• 数学组合学
• 计数原理
• 排列组合
• 数学
• 高等教育
• 本科生教材
• 组合优化

组合数学：构建与应用 作者： [此处可留空，或根据实际情况填写] 出版社： [此处可留空，或根据实际情况填写] ISBN： [此处可留空，或根据实际情况填写] --- 图书简介： 本书旨在为读者提供一个坚实且富有洞察力的组合数学基础，专注于其核心概念、结构和在更广阔数学领域中的应用。不同于侧重于特定主题或高级研究的著作，本书将组合学的基本思想——计数、结构、存在性证明和构造方法——置于教学的中心位置，力求使初学者能够系统地掌握这一迷人的学科。 核心内容与结构： 本书的叙事结构围绕组合数学的三个主要支柱展开：计数原理、图论基础以及组合结构的存在性与构造。 第一部分：离散世界的度量——计数原理 本部分是理解组合学的基石，重点在于建立精确、高效的计数方法体系。我们首先从皮亚诺的基本计数规则——乘法原理和加法原理——开始，这些看似基础的规则在处理复杂问题时展现出强大的威力。 接着，深入探讨排列与组合。我们详细分析了不重复与可重复情况下的排列与组合公式，并辅以大量的实际案例，例如从一集合中选择子集、字符串构造等。关键的章节将专注于二项式系数及其相关的恒等式，特别是二项式定理的推导和应用。读者将学习如何利用帕斯卡三角形的性质来解决依赖于路径计数和二元选择的问题。 更进一步，本书引入了容斥原理。这一强大工具被用于处理具有重叠属性的集合计数问题。我们将从简单的两个集合的并集计数开始，逐步扩展到任意多个集合的情况，并展示其在求解“错排问题”（Derangements）和特定排列限制问题中的经典应用。 最后，针对更复杂的计数场景，本书引入了生成函数（Generating Functions）。我们将生成函数视为一种“编码”序列信息的强大代数工具。通过代数运算（如加法、乘法、除法和求导/积分的离散对应物），我们可以从函数的封闭形式中提取出原始序列的系数，从而求解复杂的递推关系和计数问题。本书将详细介绍如何利用生成函数来解决硬币找零问题、卡特兰数（Catalan Numbers）的计数以及受限排列的计数。 第二部分：关系与网络——图论基础 图论是组合学的核心分支，它提供了一种语言来描述对象之间的关系。本部分构建了图论的基本框架，着重于其组合结构而非拓扑或分析特性。 我们从图的定义开始，区分无向图、有向图、带权图以及简单图。基础章节涵盖了图的表示（邻接矩阵与邻接表）以及基本概念，如度数、路径、环路、连通性。 重点探讨了特殊类型的图，包括二分图、完全图、正则图和平面图。在二分图的章节中，我们将详细分析匹配理论的组合意义，包括最大匹配的存在性证明，为后续在网络流和调度问题中的应用奠定基础。 关于图的遍历与结构，我们将深入研究欧拉路径与哈密顿回路的存在性条件（如欧拉定理和相关的充要条件），并探讨著名的图着色问题。图着色的组合解释（用最少颜色区分相邻节点）将被严格分析，并介绍韦尔奇-鲍威尔算法等构造性方法。 此外，树作为一种特殊的连通无环图，将获得充分的关注。我们将证明树的等价性质，并着重介绍最小生成树的概念，通过普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的组合构造过程，展示其在优化问题中的应用。 第三部分：结构的存在性与构造算法 本部分将前两部分的理论工具应用于证明组合结构的存在性，并探讨算法层面的构造方法。 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其推广形式是本部分的首要工具。尽管原理简洁，但其在证明某些结构“必须存在”方面的威力是巨大的。本书将展示如何运用它来证明数论和图论中的基本结论，例如在一个图中总存在具有相同度数的两个节点。 极值组合学（Extremal Combinatorics）是本部分的另一核心领域。我们将介绍图论中的极值问题，特别是图的密度。著名的图兰定理（Turán's Theorem）将被详细阐述和证明，它为我们提供了在不包含特定子图（如完全图 $K_r$）的情况下，图可以拥有的最大边数的精确度量。这体现了组合数学如何为复杂系统的结构设定边界。 在构造性方面，本书强调算法思维。除了前述的图算法外，还将介绍背包问题（Knapsack Problem）的动态规划解法，它本质上是一种结构化的计数与优化过程。我们将探讨系统生成器的构建，即如何系统地列举出满足特定属性的所有对象（如所有长度为 $n$ 的二进制串），确保不遗漏也不重复。 面向读者与教学方法： 本书的撰写风格旨在清晰、严谨且富于启发性。每一章节都以清晰的定义开始，随后是细致的定理证明，并穿插了大量的、精心设计的例题和习题。习题分为基础巩固型和概念挑战型，后者旨在引导学生将不同章节的知识点融合起来解决更宏大的问题。 本书适合作为大学本科数学专业、计算机科学专业（特别是离散结构课程）以及工程学领域对数学基础有深入要求的学生的教材。它避免了过多依赖高等代数或拓扑学的预备知识，而是专注于从基础逻辑和构造性思维出发，培养读者严密的组合推理能力。通过本书的学习，读者将能熟练运用组合数学的语言来分析和解决实际世界中涉及离散对象和有限结构的问题。

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