An Introduction to Invariants and Moduli pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Shigeru Mukai

出品人:

页数:524

译者:W. M. Oxbury

出版时间:2003-9-8

价格:USD 144.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521809061

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 数学
• 数学-AlgebraicGeometry
• 代数几何7
• 数学
• 代数几何
• 不变量
• 模空间
• 高等数学
• 拓扑学
• 复分析
• 几何学
• 数论
• 抽象代数

《代数几何中的几何不变量与模空间》 本书深入探索代数几何领域的核心概念：不变量与模空间。我们将穿越由代数方程定义的几何对象构成的迷人世界，揭示其内在的、不因坐标系选择而改变的性质——不变量，并学习如何系统地组织和研究这些具有相似几何结构的对象的集合——模空间。 第一部分：不变量理论的基石 本部分将为读者打下坚实的不变量理论基础。我们将从最基础的概念入手，逐步深入到抽象的代数结构。 群论入门与对称性: 不变量理论与群论密不可分。我们将介绍群、子群、陪集、正规子群、同态与同构等基本概念，并重点阐述群作用在集合上的意义。理解群作用是理解不变量产生的源头——对称性。我们将通过具体的例子，如多项式的根的置换群，来体会对称性如何引出不变量。 多项式环与理想: 代数几何的语言是多项式。我们将回顾多项式环的结构，特别是多变量多项式环。随后，我们将介绍理想的概念，它是多项式环中的一个重要子集，定义了代数簇的几何结构。我们将学习如何用理想来刻画几何对象，例如，一个代数簇可以看作是某个理想的零点集。 齐次坐标与射影空间: 为了统一处理无穷远点，我们将引入齐次坐标的概念，并构建射影空间。射影空间在研究代数曲线和曲面时尤为重要，它提供了一个完备的几何框架。我们将探讨射影空间中的代数簇，以及如何用齐次多项式来描述它们。 希尔伯特基定理: 这是一个里程碑式的定理，它表明了多项式环的每个理想都存在一个有限的基。我们将深入理解希尔伯特基定理的证明思路，并探讨其在不变量理论中的关键作用。它保证了我们可以用有限个多项式来描述一个代数簇，也意味着我们可以用有限个多项式来生成所有不变量。 不变量的定义与构造: 在有了群作用和希尔伯特基定理的铺垫后，我们将正式定义不变量。不变量是那些在群作用下保持不变的代数表达式。我们将学习几种构造不变量的方法，包括： 对称多项式: 对于一组变量，其所有置换下不变的多项式。我们将介绍基本对称多项式，并证明它们是所有对称多项式的生成元（牛顿定理）。 张量不变量: 通过引入张量以及张量代数，我们将探讨更广泛的不变量理论，包括张量的协变和逆变分量，以及如何通过合同（contraction）运算构造不变量。 商空间: 考虑群作用下的“等价类”，即在群作用下等价的点构成的集合。我们还将介绍商空间的概念，它是在特定意义下“消除了对称性”的空间，不变量可以看作是定义在商空间上的函数。 不变量的例子: 我们将通过大量的具体例子来加深理解。例如： 二次型的不变量: 研究形如 $ax^2 + bxy + cy^2$ 的二次型的行列式、迹等不变量。 平面曲线的雅可比矩阵: 探讨平面曲线的雅可比矩阵的秩等概念，以及与不变量的关系。 多项式的根: 研究多项式的根在置换群作用下的不变量，例如判别式。 第二部分：模空间的构建与几何 本部分将把不变量理论的思想升华，引入模空间这一抽象但强大的概念。模空间是研究具有相似几何结构的对象的“空间”，它本身也是一个几何对象。 模空间的引入: 什么是模空间？简单来说，它是一个参数空间，每个点代表着一类具有特定属性的几何对象。例如，所有椭圆的模空间。我们将探讨模空间的动机和必要性，为何我们需要一个“空间”来描述这些几何对象。 模空间的构造方法: 模空间的构造并非易事，我们将介绍几种主要的构造方法： 基于不变量的构造: 最直观的方法是使用不变量作为模空间的坐标。如果一组不变量能够唯一确定一个几何对象的同构类，那么这些不变量就可以构成模空间的坐标。我们将分析何时这种方法有效，以及其局限性。 商空间方法: 借助于群作用，我们可以尝试通过取“商”来获得模空间。然而，由于群作用可能不是自由的，简单的商空间可能存在奇异点。我们将介绍一些处理奇异点的方法，例如取“环面商”或“代数商”。 模堆（Moduli Stacks）: 在更一般的情况下，我们需要引入模堆的概念。模堆克服了模空间在处理非自由群作用和“自同构”问题上的不足。我们将介绍模堆的基本思想，以及它如何提供一个更完备的框架。 模空间的几何性质: 模空间一旦被构造出来，它本身就具有丰富的几何性质。我们将研究： 模空间的维度: 模空间的维度对应于其所代表的几何对象的“自由度”。例如，模曲线的维度是0，因为它们是固定的。 模空间的连通性: 模空间的连通性反映了不同类型的几何对象之间的联系。 模空间的紧化: 许多模空间是不紧的，这意味着它们“缺少”一些“无穷远”的点。我们将介绍紧化技术，例如“模曲线的模堆的紧化”，它允许我们研究退化的情况。 模空间的具体例子: 模曲线: 这是代数几何中最经典、研究最深入的模空间之一。我们将探讨模曲线 $mathcal{M}_g$ 的概念，它代表了所有亏格为 $g$ 的光滑射影曲线的同构类。我们将介绍它的维度、紧化过程（如Deligne-Mumford紧化），以及它在数论和拓扑学中的重要应用。 模空间的曲线: 模空间本身可以包含曲线，这些曲线上的点代表了一族具有某种性质的几何对象。例如，模曲线上的“拐点”可能对应于具有特定自同构的曲线。 模曲面的研究: 虽然比模曲线更复杂，我们也会触及模曲面的概念，介绍一些简单的例子，并讨论其研究的难点和方法。 模空间的应用: 模空间不仅仅是抽象的数学对象，它们在数学的许多分支中都有着深刻的应用： 代数几何: 模空间是理解和分类代数簇的强大工具。 数论: 许多数论问题，如椭圆曲线的模空间，与模空间有着密切的联系。 拓扑学: 模空间与弦理论、低维拓扑学等领域有着深远的联系。 物理学: 特别是在弦理论中，模空间扮演着至关重要的角色，它们通常被解释为物理系统的可能状态空间。 结论：不变量与模空间的联动 本书的最后，我们将重申不变量理论和模空间理论之间的紧密联系。不变量为构造模空间提供了“坐标”，而模空间则为我们研究不变量的整体性质提供了一个几何的视角。通过理解不变量的全局行为，我们可以更好地把握模空间的结构，反之亦然。 本书适合具有扎实代数基础（如抽象代数、线性代数）和初步代数几何知识（如概形论初步）的读者。我们将力求语言清晰，逻辑严谨，并通过丰富的例子来帮助读者理解这些抽象的概念。希望本书能为读者打开代数几何领域一扇通往深邃几何世界的大门。

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阅读体验方面，这本书的排版和符号使用策略值得商榷。虽然专业书籍的符号密度本来就高，但《An Introduction to Invariants and Moduli》似乎将所有重要的概念和符号都塞进了紧凑的段落中，没有充分利用空白区域来区分不同的思想流派或关键转折点。这使得在较长的证明中间歇性地回顾之前定义的符号时，需要耗费额外的精力去重新定位和识别。此外，书中所选取的例子似乎过于聚焦于某一特定的研究方向，对于想要了解该领域全貌的读者来说，可能显得视野略窄。例如，在讲解如何构造某个重要的模空间时，其对特征化理论的选择性呈现，使得读者难以察觉到其他可能更具普适性的替代方法。一本好的“导论”应该像一个全景地图，让读者看到主要的路径和岔路口。这本书更像是一份详细的、只针对一条特定路线的GPS导航记录，虽然精确，却缺乏宏观的地理概念。我期待在核心理论之外，能看到更多关于这些理论是如何被其他数学分支（如表示论或代数拓扑）所影响和启发的讨论。

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翻开这本书的内页，我立即注意到了作者在严谨性上所下的苦功。每一个定义、每一个引理都经过了极其细致的论证，逻辑链条几乎无懈可击，这在数学专著中是宝贵的品质。然而，这种过度的严谨性也带来了阅读上的阻力。我感觉自己像是在攀登一座由逻辑阶梯构成的摩天大楼，每一步都需要精确计算才能向上推进，缺乏了一点“呼吸”的空间。特别是涉及到一些高阶技巧，比如谱理论在模理论中的应用时，作者很少停下来对这些工具的几何意义进行宏观的描绘。我总是在想，这些复杂的代数构造究竟在空间中“画”出了什么图形？这本书似乎默认读者已经深刻理解了这些几何直觉，使得那些需要逐步建立直观理解的读者感到力不从心。如果能增加一些“思考题”来引导读者主动去探索这些概念的几何含义，而不是仅仅停留在符号操作层面，本书的教学效果可能会大大提升。目前的状态是，它成功地在数学上定义了“不变量”和“模”，但尚未完全成功地将这些概念“介绍”给一个全新的学习者。

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从内容广度上看，本书在某些经典领域覆盖得较为全面，但在当代研究的热点前沿却略显保守。对于“不变量”这一主题，它很好地梳理了经典代数几何中关于不变量理论的某些基石，但在现代几何中的复兴和应用，比如在弦论或奇点理论中的新发展，提及得比较少。这使得这本书在时效性上稍显不足。它更像是一部对经典理论体系的权威总结，而不是一部引领读者展望未来研究方向的教科书。我更希望一本“导论”不仅能教我“是什么”，还能激发我去探索“接下来会是什么”。这本书在数学的精确性上无可挑剔，但作为一本面向入门者的教材，它在“激发兴趣”和“提供广阔视野”这两个关键维度上，表现得相对平淡。它提供了一把精密的钥匙去开启一扇特定的门，但没有告诉我这扇门后面还有哪些广阔的殿堂等待探索。对于渴望了解学科脉络和前沿动态的读者而言，可能会感到信息略显陈旧或局限。

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这本书的难度曲线相当陡峭，它更像是对一个已经有代数几何基础的研究生而言，深入理解模论深层结构的参考书，而非一本“导论”。对于那些希望通过它来打下坚实基础的新手来说，这本书的挑战性主要来自于其对“背景知识”的预设程度过高。作者似乎假设读者已经熟练掌握了概括性代数、范畴论的基础，并且对代数簇和概形的概念有非常成熟的理解。当涉及环、模与几何对象之间的对应关系时，这种跳跃感尤为明显。我个人花了大量时间在查阅其他资料来填补这些“跳空”之处。举个例子，在引入某个特定模空间时，作者并没有详细论证为什么选择这个特定的“拟范畴”（pre-scheme）结构就能恰当地捕捉到我们想要的几何形变信息，这其中缺失的洞察力是学习者最需要的。如果作者能用一到两页的篇幅，用更具叙事性的语言，描绘出“为什么我们需要模空间”这一动机，而不是直接跳入其技术细节，那么这本书的导引价值会翻倍。

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这本《An Introduction to Invariants and Moduli》的封面设计简洁而专业，初读时，我对其内容充满了期待，希望这是一本能带领我深入代数几何核心领域的向导。然而，实际阅读后，我发现这本书在构建概念的连贯性上存在一些挑战。作者似乎更倾向于直接呈现复杂的数学结构，而不是花足够的时间来铺垫读者可能需要的预备知识。对于一个初涉代数几何领域，或者希望巩固基础知识的读者来说，这种处理方式无疑增加了理解的门槛。书中的某些章节，特别是关于模空间构造的部分，进展得过于迅猛，许多关键的定义和定理之间的联系需要读者自行在脑海中重新搭建。我期望看到更多的类比和直观的几何解释，但这些似乎被数学的严谨性所取代。例如，在讨论某个特定模空间上的经典例子时，如果能穿插一些早期代数几何中关于曲线或曲面的直观图像，哪怕是简短的脚注，都会极大地帮助非专业背景的读者建立起抽象概念与具体实例之间的桥梁。总而言之，这本书更像是一份为已经具备扎实代数基础的进阶学生准备的精炼笔记，而不是一本面向广泛读者的“导论”。它要求读者有很强的自主学习和信息整合能力。

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有的定理证明实在忒扯了……叙述展开的忒慢，适合懒人。

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有的定理证明实在忒扯了……叙述展开的忒慢，适合懒人。

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Strongart# 关于代数几何不变量理论与moduli的入门书，开始讲得很初等，但怎么那么麻烦啊，到后面moduli的部分就晕了，以后再找类似的书相互参照吧。

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有的定理证明实在忒扯了……叙述展开的忒慢，适合懒人。

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有的定理证明实在忒扯了……叙述展开的忒慢，适合懒人。