具体描述
《21世纪高等学校规划教材•数值计算与最优化原理:MATLAB实现》力求清晰准确，条理分明。概念和方法的引入深入浅出，通俗易懂，阅读《21世纪高等学校规划教材•数值计算与最优化原理:MATLAB实现》只需具备高等数学和线性代数的基本知识即可。
《21世纪高等学校规划教材•数值计算与最优化原理:MATLAB实现》不仅介绍了与现代科学计算有关的数值计算方法，阐明了散值算法的基本理论和方法，以及这些散值算法在计算机上实现时的一些问题，还介绍了常用的最优化理论和方法。内容包括MATLAB入门介绍、数值计算的误差分析、插值、数值积分和数值微分、快速傅里叶变换及应用'求根与非线性方程的数值解法、数据拟合与函数逼近、线性方程组求解、特征系统、常微分方程初值问题的数值解法和最优化原理等十一章。各章内容具有一定的相对独立，可根据需要进行取舍，同时对每种方法都配有适当的例题和习题。
好的，这是一本介绍数值计算与最优化原理的图书的简介，该书侧重于理论阐述与实际应用相结合，但内容不涉及MATLAB的具体实现： --- 《数值计算与最优化原理》 内容简介 本书系统性地梳理了现代科学与工程领域中不可或缺的两个核心分支：数值计算方法与最优化理论。全书旨在为读者提供坚实的理论基础、深刻的数学洞察力以及解决实际问题的工具集。我们专注于揭示算法背后的数学机理、收敛性分析以及误差控制策略，而非依赖于特定软件平台的具体编程实现。 本书共分为四个主要部分，结构清晰，层层递进，力求构建一个完整而严谨的知识体系。 第一部分：线性代数基础与方程求解 本部分是整个数值计算的基石。我们从线性方程组的求解问题出发，深入探讨了直接法和迭代法的原理与特性。 首先，我们详尽分析了高斯消元法、LU分解、Cholesky分解等直接解法。重点在于矩阵的三角化过程、计算复杂度的评估以及这些分解形式在后续问题中的应用潜力。误差分析贯穿始终，特别是关于数值稳定性的讨论，阐述了病态矩阵的特性及其对求解结果的灾难性影响。 接着，我们转向迭代法，这是处理大规模稀疏线性系统的关键。对雅可比迭代（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel）的收敛条件进行了严格的数学推导，并引入了更高效的加速技术，如残差计算和松弛因子（SOR方法）的引入。对于更复杂的系统，我们探讨了Krylov子空间方法的理论基础，例如共轭梯度法（CG）的构造原理及其在对称正定系统中的最优性保证。 第二部分：非线性方程与插值逼近 本部分聚焦于处理不具备解析解的函数方程和数据拟合问题。 在非线性单方程求解方面，本书详细比较了牛顿法、割线法（Secant Method）和不动点迭代的内在机制。对于牛顿法的局部二次收敛性，我们进行了严谨的证明，并探讨了如何通过选择合适的初始点来保证全局收敛性。此外，不动点迭代的收敛性判据——拉格朗日中值定理的应用被深入解析。 随后，我们转向多维非线性方程组的求解，这是实际工程中常见的挑战。布罗伊登法（Broyden's Method）作为拟牛顿法的代表，其构造思想和收敛特性被详细阐述，它在不要求精确计算Hessian矩阵的情况下，实现了接近牛顿法的效率。 插值理论部分，我们从插值误差的数学表达出发，探讨了拉格朗日插值多项式的构造及其Runge现象，揭示了等节点选择的局限性。为了克服高次插值的波动问题，我们引入了分段插值，特别是三次样条插值。样条函数不仅要求在节点处精确拟合数据，还要求满足一定的光滑性（一阶和二阶导数的连续性），这些条件如何转化为一组线性代数方程组的求解过程被清晰地展示。 第三部分：函数逼近与数值积分 本部分深入探讨了如何用易于处理的函数（如多项式或三角函数）来近似复杂函数，并发展了计算定积分的数值技术。 在函数逼近方面，最小二乘法是核心。我们从最小二乘意义下的多项式拟合出发，推导了正规方程组的建立过程。特别地，对于具有代数正交性的基函数（如Legendre多项式），我们阐述了如何简化最小二乘问题的求解，避免了病态矩阵的产生。 数值积分是微积分在计算科学中的直接应用。本书系统性地介绍了牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式，包括梯形法则和辛普森法则，并推导了它们的代数精度与余项表达式。为了提高效率，我们重点分析了复合积分方法的构造，以及高斯求积（Gaussian Quadrature）的原理。高斯求积通过巧妙选择积分节点和权重，实现了远超同等节点数的代数精度，其正交多项式理论基础（如勒让德多项式或切比雪夫多项式）被详尽论述。 第四部分：最优化原理与算法 本部分转向寻找函数的极小值或极大值问题，这是运筹学、机器学习和控制理论的基础。 我们首先区分了约束优化和无约束优化。在无约束优化中，我们详细分析了优化算法的“路线图”：线搜索的策略（如Armijo条件、Wolfe条件）保证了函数值的单调下降，而步长的选择策略则决定了算法的效率。梯度下降法（Gradient Descent）的收敛速度分析及其几何意义是重点。 对于拟牛顿法，如DFP和BFGS方法，本书解释了它们如何通过更新近似Hessian矩阵（或其逆矩阵）来模仿牛顿法的二阶收敛特性，同时避免了高昂的Hessian矩阵计算成本。 约束优化部分，本书聚焦于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。我们从拉格朗日乘子法出发，推导了KKT条件的必要性和（在凸优化情况下）充分性。对于不等式约束，对偶问题的引入及其重要性被清晰地解释。最后，我们探讨了可行域上的优化算法，例如投影梯度法和序列二次规划（SQP）的基本思想，后者被视为解决一般非线性约束问题的强大工具。 全书特色： 本书的编写遵循“理论先行，应用为辅”的原则。每一个重要算法的提出都伴随着严格的数学推导，特别是对收敛速度的定量分析和数值稳定性的定性讨论。读者将学习到如何从数学模型出发，设计出高效、可靠的数值方法，理解不同算法适用的问题类型及其局限性，从而在面对复杂的工程和科学问题时，能够做出合理的数值方法选择。本书适合作为高等数学、线性代数、优化理论等课程的进阶教材，或供从事科学计算和工程优化领域的研究人员和工程师参考。 ---
作者简介
目录信息
第1章 MATLAB入门(1)
1．1 MATLAB的打开及命令介绍(1)
1．2 MATLAB数据类型及运算(6)
1．3 分支结构(9)
1．4 循环结构for/end和while/end(12)
1．5 数据的输入与输出(16)
1．6 数组变量(18)
1．7 MATLAB特有的数字特征(28)
1．8 MATLAB的数学函数(30)
1．9 功能函数(32)
1．10 M文件(34)
1.10.1 脚本文件(34)
1.10.2 函数文件(36)
1．11 用M文件开发程序(37)
1．12 如何编写函数(39)
1．13 保存和载入数据(40)
1．14 硬拷贝(42)
习题1(43)
第2章 误差(45)
2．1 误差的来源与分类(45)
2.1.1 模型误差(45)
2.1.2 测量误差(45)
2.1.3 截断误差(45)
2.1.4 舍入误差(46)
2．2 误差的基本概念(46)
2.2.1 (绝对)误差与(绝对)误差限(46)
2.2.2 相对误差与相对误差限(47)
2.2.3 有效数字(47)
2.2.4 数值计算中误差估计(48)
2．3 数值计算中应注意的几个原则(49)
2.3.1 关于数值稳定性的算法(49)
2.3.2 注意避免两个相近数的相减(51)
2.3.3 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值(51)
2.3.4 防止大数吃掉小数(52)
2.3.5 简化计算步骤，减少运算次数(52)
习题2(53)
第3章 多项式与插值(55)
3．1 插值问题与插值多项式(55)
3．2 Lagrange插值(57)
3.2.1 线性插值与二次插值(57)
3.2.2 (57)
3.2.3 插值余项与误差估计(58)
3．3 均差与Newton插值公式(63)
3.3.1 均差及其性质(63)
3.3.2 (64)
3．4 差分与Newton前后插值公式(66)
3.4.1 差分及其性质(66)
3.4.2 等距节点插值公式(68)
3．5 Hermite插值(71)
3.6 分段低次插值(74)
3.6.1 多项式插值的收敛性问题(74)
3.6.2 分段线性插值(75)
3.6.3 分段三次(76)
3．7 三次样条插值(77)
3.7.1 三次样条函数(77)
3.7.2 弯矩方程(78)
2.7.3 三次样条插值收敛性(81)
3．8 正交多项式(81)
3.8.1 内积与正交多项式(81)
3.8.2 (83)
3.8.3 (85)
3.8.4 其他正交多项式(86)
习题3(87)
第4章 数值积分与数值微分(89)
4．1 求积公式(89)
4．2 NewtonCotes型求积公式(90)
4.2.1 插值型求积公式(90)
4.2.2 (91)
4.2.3 梯形法(91)
4．3 复合求积公式(94)
4.3.1 复合梯形公式与变步长梯形公式(95)
4.3.2 复合(97)
4.3.3 复合(100)
4．4 Romberg求积公式(101)
4.4.1 (101)
4.4.2 (103)
4．5 Gauss求积公式(104)
4.5.1 (104)
4.5.2 (104)
4.5.3 复合(107)
4.5.4 (107)
4.5.5 (108)
4．6 多重积分(109)
4．7 数值微分(111)
4.7.1 向前差分(111)
4.7.2 向后差分(113)
4.7.3 中心差分(113)
4.7.4 (115)
习题4(116)
第5章 快速傅里叶变换(120)
5．0 引言(120)
5．1 离散样本数据的傅里叶变换(123)
5．2 快速傅里叶变换(FFT)(124)
5.2.1 (127)
5.2.2 其他(131)
习题5(132)
第6章 方程求根(133)
6．1 方程求根与二分法(133)
6.1.1 引言(133)
6.1.2 二分法(134)
6．2 迭代法及其收敛性(136)
6.2.1 不动点迭代法(136)
6.2.2 局部收敛性与收敛阶(139)
6．3 (142)
6．4 Newton迭代法(146)
6.4.1 (146)
6.4.2 (149)
6.4.3 重根情形(150)
6.4.4 离散(151)
6.4.5 解非线性方程组的(153)
习题6(154)
第7章 数据拟合和函数逼近(156)
7．1 拟合和逼近的概念(156)
7．2 数据拟合(157)
7.2.1 最小二乘函数拟合(157)
7.2.2 多项式函数拟合(159)
7.2.3 非线性曲线拟合(165)
7．3 最佳平方逼近(168)
7.3.1 函数的最佳平方逼近(168)
7.3.2 最佳平方逼近多项式(169)
7．4 最佳一致逼近(175)
习题7(177)
第8章 线性方程组的数值解法(180)
8．1 解线性方程组的直接法(181)
8.1.1 (181)
8.1.2 矩阵的分解(190)
8.1.3 行列式和逆矩阵的计算(196)
8．2 解线性方程组的迭代法(199)
8.2.1 (199)
8.2.2 (201)
8.2.3 逐次超松驰迭代法(203)
8.2.4 共轭斜量法(205)
8．3 求线性方程组的最小二乘解的数值方法(211)
8.3.1 线性方程组的最小二乘解(211)
8.3.2 法方程组(212)
8.3.3 直交分解(214)
习题8(225)
第9章 特征系统(230)
9．0 引言(230)
9.0.1 定义和基本事实(230)
9.0.2 左特征向量和右特征向量(231)
9.0.3 矩阵的对角化(232)
9．1 对称矩阵的Jacobi变换(234)
9．2 Hermite矩阵(237)
9．3 将对称矩阵简化为三对角形式：Givens约化和
Householder约化(238)
9.3.1 (238)
9.3.2 Householder方法(238)
9．4 三对角矩阵的特征值和特征向量(241)
9.4.1 特征多项式的赋值(241)
9.4.2 (241)
9.4.3 具有隐含位移的(244)
9．5 将一般矩阵化为Hessenberg形式(245)
9.5.1 配平(246)
9.5.2 约化成(246)
9．6 幂法和反幂法(248)
9.6.1 幂法(249)
9.6.2 反幂法(252)
9．7 用MATLAB解特征问题(255)
习题9(257)
第10章 常微分方程的数值解法(259)
10．1 一阶ODE问题(259)
10．2 离散化方法(260)
10.2.1 差商法(261)
10.2.2 (262)
10.2.3 数值积分法(264)
10．3 单步法(265)
10.3.1 (265)
10.3.2 改进的(267)
10.3.3 (272)
10.3.4 自适应RungeKutta方法(277)
10．4 线性多步法(280)
10.4.1 Adams方法(281)
10.4.2 预测校正方法(286)
10.4.3 (289)
10．5 相容性、收敛性和稳定性分析(294)
10.5.1 相容性(294)
10.5.2 收敛性(294)
10.5.3 绝对稳定性(295)
10．6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法(297)
10．7 刚性方程(300)
10．8 边值问题(302)
习题10(309)
第11章 最优化原理(313)
11．1 线性规划(313)
11.1.1 线性规划问题的数学形式(313)
11.1.2 线性规划的基本概念及其基本原理(315)
11.1.3 单纯形法(318)
11.1.4 线性规划问题的对偶理论(323)
11.1.5 线性规划问题的求解(323)
11．2 非线性规划(324)
11.2.1 基本概念(324)
11.2.2 非线性规划的基本迭代格式(325)
11.2.3 凸函数、凸规划(327)
11.2.4 非线性规划的求解(327)
11.2.5 一维搜索方法(328)
11.2.6 无约束极值问题的解法(331)
11.2.7 求函数的极小值和函数的零点(338)
11.2.8 约束极值问题(339)
11．3 最小二乘法及多目标优化(341)
11.3.1 最小二乘法(341)
11.3.2 多目标规划问题(346)
11．4 整数线性规划问题及其解法(350)
11.4.1 概论(350)
11.4.2 分枝定界法(351)
11.4.3 01型整数规划(353)
11.4.4 蒙特卡洛法(随机取样法)(357)
11.4.5 整数规划的计算机解法(359)
11．5 动态规划(359)
习题11(368)
附 录(373)
附录A 矩阵运算的MATLAB实现(373)
附录B 二维图形的绘制(386)
附录C 三维图形绘制(407)
参考文献(422)
· · · · · · (收起)
1．1 MATLAB的打开及命令介绍(1)
1．2 MATLAB数据类型及运算(6)
1．3 分支结构(9)
1．4 循环结构for/end和while/end(12)
1．5 数据的输入与输出(16)
1．6 数组变量(18)
1．7 MATLAB特有的数字特征(28)
1．8 MATLAB的数学函数(30)
1．9 功能函数(32)
1．10 M文件(34)
1.10.1 脚本文件(34)
1.10.2 函数文件(36)
1．11 用M文件开发程序(37)
1．12 如何编写函数(39)
1．13 保存和载入数据(40)
1．14 硬拷贝(42)
习题1(43)
第2章 误差(45)
2．1 误差的来源与分类(45)
2.1.1 模型误差(45)
2.1.2 测量误差(45)
2.1.3 截断误差(45)
2.1.4 舍入误差(46)
2．2 误差的基本概念(46)
2.2.1 (绝对)误差与(绝对)误差限(46)
2.2.2 相对误差与相对误差限(47)
2.2.3 有效数字(47)
2.2.4 数值计算中误差估计(48)
2．3 数值计算中应注意的几个原则(49)
2.3.1 关于数值稳定性的算法(49)
2.3.2 注意避免两个相近数的相减(51)
2.3.3 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值(51)
2.3.4 防止大数吃掉小数(52)
2.3.5 简化计算步骤，减少运算次数(52)
习题2(53)
第3章 多项式与插值(55)
3．1 插值问题与插值多项式(55)
3．2 Lagrange插值(57)
3.2.1 线性插值与二次插值(57)
3.2.2 (57)
3.2.3 插值余项与误差估计(58)
3．3 均差与Newton插值公式(63)
3.3.1 均差及其性质(63)
3.3.2 (64)
3．4 差分与Newton前后插值公式(66)
3.4.1 差分及其性质(66)
3.4.2 等距节点插值公式(68)
3．5 Hermite插值(71)
3.6 分段低次插值(74)
3.6.1 多项式插值的收敛性问题(74)
3.6.2 分段线性插值(75)
3.6.3 分段三次(76)
3．7 三次样条插值(77)
3.7.1 三次样条函数(77)
3.7.2 弯矩方程(78)
2.7.3 三次样条插值收敛性(81)
3．8 正交多项式(81)
3.8.1 内积与正交多项式(81)
3.8.2 (83)
3.8.3 (85)
3.8.4 其他正交多项式(86)
习题3(87)
第4章 数值积分与数值微分(89)
4．1 求积公式(89)
4．2 NewtonCotes型求积公式(90)
4.2.1 插值型求积公式(90)
4.2.2 (91)
4.2.3 梯形法(91)
4．3 复合求积公式(94)
4.3.1 复合梯形公式与变步长梯形公式(95)
4.3.2 复合(97)
4.3.3 复合(100)
4．4 Romberg求积公式(101)
4.4.1 (101)
4.4.2 (103)
4．5 Gauss求积公式(104)
4.5.1 (104)
4.5.2 (104)
4.5.3 复合(107)
4.5.4 (107)
4.5.5 (108)
4．6 多重积分(109)
4．7 数值微分(111)
4.7.1 向前差分(111)
4.7.2 向后差分(113)
4.7.3 中心差分(113)
4.7.4 (115)
习题4(116)
第5章 快速傅里叶变换(120)
5．0 引言(120)
5．1 离散样本数据的傅里叶变换(123)
5．2 快速傅里叶变换(FFT)(124)
5.2.1 (127)
5.2.2 其他(131)
习题5(132)
第6章 方程求根(133)
6．1 方程求根与二分法(133)
6.1.1 引言(133)
6.1.2 二分法(134)
6．2 迭代法及其收敛性(136)
6.2.1 不动点迭代法(136)
6.2.2 局部收敛性与收敛阶(139)
6．3 (142)
6．4 Newton迭代法(146)
6.4.1 (146)
6.4.2 (149)
6.4.3 重根情形(150)
6.4.4 离散(151)
6.4.5 解非线性方程组的(153)
习题6(154)
第7章 数据拟合和函数逼近(156)
7．1 拟合和逼近的概念(156)
7．2 数据拟合(157)
7.2.1 最小二乘函数拟合(157)
7.2.2 多项式函数拟合(159)
7.2.3 非线性曲线拟合(165)
7．3 最佳平方逼近(168)
7.3.1 函数的最佳平方逼近(168)
7.3.2 最佳平方逼近多项式(169)
7．4 最佳一致逼近(175)
习题7(177)
第8章 线性方程组的数值解法(180)
8．1 解线性方程组的直接法(181)
8.1.1 (181)
8.1.2 矩阵的分解(190)
8.1.3 行列式和逆矩阵的计算(196)
8．2 解线性方程组的迭代法(199)
8.2.1 (199)
8.2.2 (201)
8.2.3 逐次超松驰迭代法(203)
8.2.4 共轭斜量法(205)
8．3 求线性方程组的最小二乘解的数值方法(211)
8.3.1 线性方程组的最小二乘解(211)
8.3.2 法方程组(212)
8.3.3 直交分解(214)
习题8(225)
第9章 特征系统(230)
9．0 引言(230)
9.0.1 定义和基本事实(230)
9.0.2 左特征向量和右特征向量(231)
9.0.3 矩阵的对角化(232)
9．1 对称矩阵的Jacobi变换(234)
9．2 Hermite矩阵(237)
9．3 将对称矩阵简化为三对角形式：Givens约化和
Householder约化(238)
9.3.1 (238)
9.3.2 Householder方法(238)
9．4 三对角矩阵的特征值和特征向量(241)
9.4.1 特征多项式的赋值(241)
9.4.2 (241)
9.4.3 具有隐含位移的(244)
9．5 将一般矩阵化为Hessenberg形式(245)
9.5.1 配平(246)
9.5.2 约化成(246)
9．6 幂法和反幂法(248)
9.6.1 幂法(249)
9.6.2 反幂法(252)
9．7 用MATLAB解特征问题(255)
习题9(257)
第10章 常微分方程的数值解法(259)
10．1 一阶ODE问题(259)
10．2 离散化方法(260)
10.2.1 差商法(261)
10.2.2 (262)
10.2.3 数值积分法(264)
10．3 单步法(265)
10.3.1 (265)
10.3.2 改进的(267)
10.3.3 (272)
10.3.4 自适应RungeKutta方法(277)
10．4 线性多步法(280)
10.4.1 Adams方法(281)
10.4.2 预测校正方法(286)
10.4.3 (289)
10．5 相容性、收敛性和稳定性分析(294)
10.5.1 相容性(294)
10.5.2 收敛性(294)
10.5.3 绝对稳定性(295)
10．6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法(297)
10．7 刚性方程(300)
10．8 边值问题(302)
习题10(309)
第11章 最优化原理(313)
11．1 线性规划(313)
11.1.1 线性规划问题的数学形式(313)
11.1.2 线性规划的基本概念及其基本原理(315)
11.1.3 单纯形法(318)
11.1.4 线性规划问题的对偶理论(323)
11.1.5 线性规划问题的求解(323)
11．2 非线性规划(324)
11.2.1 基本概念(324)
11.2.2 非线性规划的基本迭代格式(325)
11.2.3 凸函数、凸规划(327)
11.2.4 非线性规划的求解(327)
11.2.5 一维搜索方法(328)
11.2.6 无约束极值问题的解法(331)
11.2.7 求函数的极小值和函数的零点(338)
11.2.8 约束极值问题(339)
11．3 最小二乘法及多目标优化(341)
11.3.1 最小二乘法(341)
11.3.2 多目标规划问题(346)
11．4 整数线性规划问题及其解法(350)
11.4.1 概论(350)
11.4.2 分枝定界法(351)
11.4.3 01型整数规划(353)
11.4.4 蒙特卡洛法(随机取样法)(357)
11.4.5 整数规划的计算机解法(359)
11．5 动态规划(359)
习题11(368)
附 录(373)
附录A 矩阵运算的MATLAB实现(373)
附录B 二维图形的绘制(386)
附录C 三维图形绘制(407)
参考文献(422)
· · · · · · (收起)
读后感
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