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出版者:浙江教育

作者:胡建军

出品人:

页数:102

译者:

出版时间:2007-10-01

价格:9.00元

装帧:

isbn号码:9787533871956

丛书系列:

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探寻数学之美：当代高等数学前沿导论 导读： 本书旨在为广大数学爱好者、高校学生及科研人员提供一个全面、深入且富有启发性的当代高等数学知识框架。我们致力于超越传统教材的界限，将数学的抽象美感与现实世界的复杂挑战紧密结合，展现现代数学的活力与广阔前景。全书内容精炼，逻辑严谨，力求在有限的篇幅内涵盖多个关键且交叉的数学分支，引导读者建立起坚实的理论基础和开阔的学术视野。 第一部分：分析学的深化与拓宽 (Analysis Deep Dive) 本部分聚焦于传统分析学在现代数学语境下的发展与延伸，特别关注泛函分析和测度论在解决高级问题中的核心作用。 第一章：勒贝格测度与积分理论的重构 (Reconstruction of Lebesgue Measure and Integration) 本章从集合论的基础出发，系统阐述了 $sigma$-代数、测度空间的概念。我们详细剖析了勒贝格可测函数的性质及其积分的定义与收敛定理（如单调收敛定理、优控收敛定理）。重点讨论了测度论在概率论和调和分析中的基石地位。不同于侧重计算的初级积分理论，本章强调测度的几何意义和函数空间的拓扑结构，为后续泛函分析的学习奠定严格基础。引入了紧凑性、完备性等概念，为理解希尔伯特空间打下基础。 第二章：Banach空间与函数空间的拓扑结构 (Topological Structure of Banach Spaces and Function Spaces) 深入探讨线性赋范空间（Normed Linear Spaces）及其完备化——Banach空间。本章的核心是三大基本定理：开映射定理、闭图像定理和均匀有界原理（Baire范畴定理的应用）。这些定理是处理无限维线性算子问题的关键工具。我们不仅讲解了这些定理的证明，更通过傅里叶分析中的例子，展示它们在确定函数序列收敛性与函数自身性质之间的关系时的威力。此外，还对Sobolev空间进行了初步介绍，预示了偏微分方程理论对更强光滑性要求的满足。 第三章：算子理论的初步探索 (Preliminary Exploration of Operator Theory) 从Banach空间到算子，我们将视野转向线性算子在函数空间上的作用。本章首先聚焦于有界线性算子，探讨其谱的概念。通过研究谱半径公式和算子的有界性，为理解量子力学中的希尔伯特空间结构做好铺垫。对于紧算子的讨论将贯穿本章，阐述其在谱理论中的特殊地位，及其与有限维空间特征值问题的联系。这一部分旨在培养读者从几何和拓扑角度理解代数运算的能力。 第二部分：代数结构与几何的交织 (Interplay of Algebraic Structures and Geometry) 本部分将代数概念提升到更高的抽象层次，并探索代数与几何、拓扑的深刻联系。 第四章：群论的高级应用：表示论基础 (Advanced Applications of Group Theory: Foundations of Representation Theory) 超越对有限群基本性质的讨论，本章着重于群在线性空间上的作用，即群表示。我们详细阐述了酉表示、可约与不可约表示的概念，以及Schur引理的强大作用。通过矩阵群（如 $SU(2), U(n)$）的实例，展示了表示论在粒子物理和晶体学中的实际应用。理解表示论有助于将抽象的群结构“具象化”为矩阵运算，是现代理论物理和代数几何的桥梁。 第五章：环与域的现代视角：Galois理论的复习与拓展 (Modern View of Rings and Fields: Review and Extension of Galois Theory) 本章重温了域扩张、伽罗瓦群的核心思想，但重点放在代数几何和代数数论中的应用。讨论了域的完备化概念（p-adic数），并简要介绍了Artin-Schreier理论在无限伽罗瓦群结构分析中的作用。强调了环作为“广义数字系统”的地位，特别是交换代数中对理想、完备化和诺特环性质的研究，这是理解现代数论的关键工具。 第六章：微分几何的黎曼框架 (The Riemannian Framework of Differential Geometry) 从欧几里得空间进入到流形的世界。本章以微分流形为基本研究对象，系统介绍切空间、张量场和微分形式。核心在于黎曼度量张量的引入，这使得我们能够在非线性空间中定义长度、角度和曲率。我们将重点解析Levi-Civita联络和黎曼曲率张量，它们是刻画流形局部几何性质的代数不变量。对爱因斯坦场方程中几何语言的简要讨论，将强化读者对该理论重要性的认识。 第三部分：离散结构的精确建模 (Precise Modeling of Discrete Structures) 本部分转向处理复杂系统中的离散数学结构，聚焦于图论的深度分析与组合优化。 第七章：极端组合与Ramsey理论 (Extremal Combinatorics and Ramsey Theory) 本章超越基础的计数原理，深入探讨了在限制条件下，结构必须具备的某些性质。图论中的Turán定理是本章的核心，它给出了保证图中存在特定子图所需的最小边数。随后，我们将引入Ramsey数及其不可避免性原理，展示“完全的无序是不可能的”这一深刻命题。本章培养的是对“存在性”的精确把握能力，而非仅仅是“构造性”的寻找。 第八章：算法复杂性与计算模型 (Algorithmic Complexity and Computational Models) 本章将数学与计算机科学的交叉点推向极致。我们详细分析了Turing机模型、Church-Turing论题，并严格界定了P类问题和NP类问题。重点讨论了NP完全性问题（如SAT、Clique问题），并从数学角度探讨了P $ eq$ NP问题的理论意义——即数学直觉与机械化求解能力之间的根本鸿沟。这部分内容要求读者具备严密的逻辑推理能力，以理解判定性理论的边界。 结语：数学的未来视野 全书最终汇聚于现代数学的几个前沿交叉点：拓扑场论中的代数拓扑工具、随机过程在金融模型中的应用，以及数论在密码学中的安全保障。本书的编排逻辑是：从严格的分析基础出发，过渡到更高抽象的代数几何结构，最后回归到对复杂离散系统的精确建模，力求构建一个全面、立体、相互关联的现代数学知识体系。它不是知识的堆砌，而是思维训练的蓝图。

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