《俄羅斯數學教材選譯》序
中文版序言
第7版和第6版序言
第5版和第3版序言
第2版序言
第1版序言摘錄
第一章 一些通用的數學概念與記號
§1. 邏輯符號
1. 聯詞與括號
2. 關於證明的附注
3. 某些專門記號
4. 最後的附注
習題
§2. 集閤及其基本運算
1. 集閤(集)的概念
2. 包含關係
3. 最簡單的集閤運算
習題
§3. 函數
1. 函數(映射)的概念
2. 映射的簡單分類
3. 函數的復閤與互逆映射
4. 作為關係的函數. 函數的圖像
習題
§4. 某些補充
1. 集閤的勢(基數類)
2. 公理化集閤論
3. 關於數學命題的結構及其集閤論語言錶述的附注
習題
第二章 實數
§1. 實數集的公理係統和某些一般性質
1. 實數集的定義
2. 實數的某些一般的代數性質
3. 完備性公理與數集的上確界(下確界)的存在性
§2. 最重要的實數類和實數運算方麵的一些計算問題
1. 自然數與數學歸納原理
2. 有理數與無理數
3. 阿基米德原理
4. 實數集的幾何解釋與實數運算方麵的一些計算問題
習題
§3. 關於實數集完備性的一些基本引理
1. 閉區間套引理(柯西–康托爾原理)
2. 有限覆蓋引理(博雷爾–勒貝格原理)
3. 極限點引理(波爾查諾–魏爾斯特拉斯原理)
習題
§4. 可數集與不可數集
1. 可數集
2. 連續統的勢
習題
第三章 極限
§1. 序列的極限
1. 定義和例子
2. 數列極限的性質
3. 數列極限的存在問題
4.級數的初步知識
習題
§2. 函數的極限
1. 定義和例子
2. 函數極限的性質
3. 函數極限的一般定義(基上的極限)
4. 函數極限的存在問題
習題
第四章 連續函數
§1. 基本定義和實例
1. 函數在一個點的連續性
2. 間斷點
§2. 連續函數的性質
1. 局部性質
2. 連續函數的整體性質
習題
第五章 微分學
§1. 可微函數
1. 問題和引言
2. 在一點處可微的函數
3. 切綫. 導數和微分的幾何意義
4. 坐標係的作用
5. 例題
習題
§2. 基本的微分法則
1. 微分運算和算術運算
2. 復閤函數的微分運算
3. 反函數的微分運算
4. 基本初等函數導數錶
5. 最簡單的隱函數的微分運算
6. 高階導數
習題
§3. 微分學的基本定理
1. 費馬引理和羅爾定理
2. 關於有限增量的拉格朗日定理和柯西定理
3. 泰勒公式
習題
§4. 用微分學方法研究函數
1. 函數單調的條件
2. 函數具有內極值點的條件
3. 函數凸的條件
4. 洛必達法則
5. 函數圖像的畫法
習題
§5. 復數. 初等函數之間的相互聯係
1. 復數
2. C 中的收斂性與復數項級數
3. 歐拉公式以及初等函數之間的相互聯係
4. 函數的冪級數錶示和解析性
5. 復數域C 的代數封閉性
習題
§6. 微分學在自然科學問題中的應用實例
1. 變質量物體的運動
2. 氣壓公式
3. 放射性衰變、鏈式反應和原子反應堆
4. 大氣中的落體
5. 再談數e 和函數ex
6. 振動
習題
§7. 原函數
1. 原函數與不定積分
2. 求原函數的一些基本的一般方法
3. 有理函數的原函數
4. 形如∫R(cos x,sin x)dx 的原函數
5. 形如∫R(x,y(x))dx 的原函數
習題
第六章 積分
§1. 積分的定義和可積函數集的描述
1. 問題和啓發性思考
2. 黎曼積分的定義
3. 可積函數集
習題
§2. 積分的綫性、可加性和單調性
1. 積分是空間R[a,b]上的綫性函數
2. 積分是積分區間的可加函數
3. 積分的估計,積分的單調性,中值定理
習題
§3. 積分與導數
1. 積分與原函數
2. 牛頓–萊布尼茨公式
3. 定積分的分部積分法和泰勒公式
4. 定積分中的變量代換
5. 例題
習題
§4. 積分的一些應用
1. 有嚮區間的可加函數與積分
2. 道路的長度
3. 麯邊梯形的麵積
4. 鏇轉體的體積
5. 功與能
習題
§5. 反常積分
1. 反常積分的定義、例題和基本性質
2. 對反常積分收斂性的研究
3. 具有多個奇異點的反常積分
習題
第七章 多元函數及其極限與連續性
§1. 空間Rm和它的重要子空間
1. 集閤Rm和其中的距離
2. Rm中的開集與閉集
3. Rm中的緊集
習題
§2. 多元函數的極限與連續性
1. 函數的極限
2. 多元函數的連續性和連續函數的性質
習題
第八章 多元函數微分學
§1. Rm 中的嚮量結構
1. Rm 是嚮量空間
2. 綫性映射L:Rm→Rn
3. Rm 中的範數
4. Rm 中的歐幾裏得結構
§2. 多元函數的微分
1. 多元函數在一點的可微性及其微分
2. 實值函數的微分與偏導數
3. 映射微分的坐標形式.雅可比矩陣
4. 函數在一點的連續性、偏導數和可微性
§3. 基本微分法則
1. 微分運算的綫性性質
2. 復閤映射的微分運算
3. 逆映射的微分運算
習題
§4. 多元實值函數微分學的基本內容
1. 中值定理
2. 多元函數可微性的充分條件
3. 高階偏導數
4. 泰勒公式
5. 多元函數的極值
6. 與多元函數有關的某些幾何概念
習題
§5. 隱函數定理
1. 問題的提法與啓發性思考
2. 隱函數定理的最簡單情形
3. 嚮依賴關係F(x1,• • • ,xm,y)= 0的推廣
4. 隱函數定理
習題
§6. 隱函數定理的一些推論
1. 反函數定理
2. 光滑映射的局部正則形式
3. 函數的相關性
4. 局部分解微分同胚為最簡微分同胚的復閤
5. 莫爾斯引理
習題
§7. Rn中的麯麵和條件極值理論
1. Rn中的k維麯麵
2. 切空間
3. 條件極值
習題
單元測試題
考試大綱
附錄一麵嚮一年級學生的數學分析引言
附錄二初論方程的數值解法
附錄三初論勒讓德變換
附錄四初論黎曼{斯蒂爾切斯積分、函數和廣義函數
附錄五歐拉{麥剋勞林公式
附錄六再論隱函數定理
參考文獻
名詞索引
人名譯名對照錶
譯後記
· · · · · · (收起)