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出版者:

作者:戴尼罗夫

出品人:

页数:307

译者:

出版时间:2008-3

价格:39.00元

装帧:平装

isbn号码:9787506292023

丛书系列:

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• 代数几何
• 数学
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• 射影几何

代数几何的宏伟殿堂：从经典到现代的探索之旅 本书《代数曲面代数流形和概型》将带领读者踏上一段穿越代数几何核心概念的深度旅程。代数几何，一门研究代数方程组的几何性质的分支学科，以其抽象的魅力和丰富的结构，在数学的诸多领域中扮演着至关重要的角色。从数论到拓扑学，从微分几何到理论物理，代数几何的语言和工具无处不在。本书旨在构建一个清晰而严谨的理论框架，使读者能够逐步掌握代数几何的核心思想，并为进一步深入研究打下坚实的基础。 第一卷：代数曲面的经典之美 代数几何的起源可以追溯到对代数曲线和曲面几何性质的直观理解。本书的开篇，我们将从代数曲面这一经典而迷人的研究对象入手。代数曲面是在三维空间中由一个三次代数方程所定义的几何对象。它们是代数几何中最先被系统研究的对象之一，其丰富的结构和分类问题吸引了无数数学家的目光。 我们将首先回顾代数曲线的理论基础，包括射影平面上的代数曲线、奇异点、几何亏格与算术亏格等基本概念。在此基础上，我们将引申到代数曲面，探讨射影空间 $mathbb{P}^3$ 中的代数曲面。本书将重点关注非奇异代数曲面的分类问题，这是代数几何中最具挑战性和最富成果的研究领域之一。我们将介绍一些核心工具和不变量，如典范丛、正则微分形、Picard群等，并阐述它们在曲面分类中的作用。 在这一部分，我们将深入探讨一些重要的代数曲面类型，例如： 二次曲面： 这是最简单的一类代数曲面，包括椭球面、双曲抛物面、抛物面等。我们将分析它们的射影不变量和代数几何性质。 三次曲面： 这一类曲面具有更丰富的结构，例如著名的Cayley三面体。我们将探讨三次曲面上的直线以及它们与射影不变量的关系。 有理曲面： 这是指可以被参数化的曲面，它们在代数几何中扮演着基础性的角色。我们将研究有理曲面的性质，并了解如何通过Blow-up等操作来构造和分析它们。 K3曲面： K3曲面是一类重要的代数曲面，它们具有零的典范丛，并且其Picard群是自由阿贝尔群。我们将介绍K3曲面的基本性质，以及它们在弦理论等领域中的应用。 Abel曲面（Toric曲面）： 这类曲面是通过代数环面（torus）的商构造而来。我们将探讨它们的群论性质以及它们与复微分几何的联系。 除了对具体曲面类型的分类，本书还将深入研究一些代数曲面上的重要概念，包括： Divisors（除子）： 我们将学习如何定义和操纵曲面上的除子，以及如何通过除子的线性等价性来研究曲面的几何性质。 Line Bundles（线丛）和Vector Bundles（向量丛）： 这是代数几何中描述几何对象上“切线”或“切线类”的工具。我们将介绍它们的定义、性质以及在曲面研究中的应用。 Singularities（奇异点）： 虽然我们主要关注非奇异曲面，但理解奇异点的产生机制和分类对于深入理解代数几何至关重要。我们将简要介绍一些常见的奇异点类型及其代数和几何特征。 Minimal Model Program (MMP) 的初步概念： MMP是现代代数几何的核心工具之一，用于将代数簇（包括曲面）“化简”为更基本的模型。我们将初步介绍MMP的思想，为后续章节的概型理论打下铺垫。 通过对代数曲面这一经典对象的深入研究，读者将初步领略到代数几何的抽象美学和严谨逻辑，并为理解更复杂的代数几何结构做好准备。 第二卷：代数流形与抽象的飞跃 从具体代数曲面的研究，我们将自然地进入更抽象的代数流形（Algebraic Varieties）的领域。代数流形是代数几何研究的核心对象，它们是在代数闭域上由代数方程组定义的几何对象。这种抽象化使得代数几何能够处理更广泛、更一般的情况，并且能够利用更强大的代数工具。 本书将从代数几何的基本语言——交换代数——出发。我们将介绍以下核心概念： 环（Rings）和理想（Ideals）： 学习环论的基础知识，理解理想的性质以及它们与几何对象的对应关系。 交换代数中的主定理： 学习Hilbert基定理、Nullstellensatz（零点定理）等，它们是连接代数和几何的桥梁。 代数簇的定义： 将抽象的代数结构转化为几何对象。我们将介绍仿射代数簇（Affine Algebraic Varieties）和射影代数簇（Projective Algebraic Varieties）的定义，以及它们之间的联系。 几何化和代数化： 理解几何性质（如连通性、维度）如何对应于代数性质（如环的整环性、理想的性质），反之亦然。 维度理论： 学习如何定义和计算代数簇的维度，这是描述几何对象“大小”的关键不变量。 奇异点与光滑点： 深入研究代数簇上的奇异点，了解它们的判别方法和几何意义。 切空间和正切丛： 学习定义代数簇上的切空间，并推广到正切丛的概念，这是研究流形局部性质的关键工具。 函数域（Function Fields）： 对于代数曲线和曲面，函数域是理解其代数几何性质的重要视角。我们将介绍函数域的概念及其与代数簇的对应关系。 在掌握了代数流形的基本概念后，我们将进一步探讨一些更高级的主题，例如： Birational Geometry（双有理几何）： 双有理几何研究的是代数簇在双有理等价下的性质。双有理等价可以看作是通过有限次的“Blow-up”和“Blow-down”操作实现的。我们将介绍双有理映射、双有理等价类以及它们在代数流形分类中的重要作用。 Morphisms of Varieties（代数簇的态射）： 学习代数簇之间的映射（态射）的定义、性质以及它们如何保持代数几何的结构。 Complete Varieties（完备簇）和Proper Varieties（真簇）： 这些是描述代数簇“边界”行为的重要概念，它们在代数几何中有广泛的应用。 通过代数流形的抽象化，我们得以进入一个更广阔的数学视野，并为理解更现代的代数几何框架——概型理论——奠定坚实的基础。 第三卷：概型理论的现代图景 概型理论（Scheme Theory）是20世纪代数几何最重要的发展之一，它由Grothendieck及其合作者提出，极大地扩展了代数几何的研究范围，并统一了代数几何和数论。概型理论将代数几何从“点”的几何推广到“环”的几何，使得代数几何的工具能够被应用于研究整数和数域上的问题，从而打开了研究算术几何的新篇章。 本书的最后一卷将系统地介绍概型理论的核心思想和基本工具： 环论的进一步深化： 我们将需要更深入地理解交换代数中的各种概念，如局部化、模（Modules）、张量积、同调代数等。 概字的定义（Definition of Sheaves）： 概字是代数几何研究中不可或缺的工具。我们将学习概字的定义、性质，以及如何在空间（例如拓扑空间或代数簇）上定义和研究概字。 环概字（Ringed Spaces）： 将代数结构（环）与几何结构（空间）相结合，形成环概字。 概型的定义（Definition of Schemes）： 概型是最核心的概念。我们将学习概型的定义，即以（X, O_X）形式表示的空间，其中X是一个拓扑空间，O_X是一个环概字。我们将理解概型如何推广了代数簇的概念。 局部性质和全局性质： 概型理论的强大之处在于它能够同时处理局部和全局的性质。我们将学习如何利用局部性质（例如在仿射概型上的性质）来推断全局性质。 仿射概型（Affine Schemes）： 这是概型理论中最基本也是最重要的部分。我们将理解仿射概型Spec(A)如何对应于一个交换环A，并且Spec(A)上的点对应于A的素理想。 概型的态射（Morphisms of Schemes）： 学习概型之间的映射，以及它们如何保持代数和几何的结构。 概型的性质： 我们将学习如何定义和研究概型的各种性质，例如连通性、维度、平坦性、射影性等。 代数几何与数论的桥梁： 重点强调概型理论如何使得代数几何的工具能够被应用于研究数论问题。例如，研究整数上的代数簇（即在Z上的概型）可以深刻地揭示数域的算术性质。 一些重要的概型构造： 我们将介绍一些重要的概型构造，例如射影概型（Projective Schemes）、Grassmannian概型、Moduli概型等。 通过概型理论的学习，读者将能够理解现代代数几何的强大力量，并为进一步探索更前沿的数学领域，如算术几何、代数拓扑、弦理论等，打下坚实的基础。 本书力求在严谨性和可读性之间取得平衡，通过清晰的逻辑、详细的证明和丰富的例子，引导读者逐步深入理解代数几何的精妙之处。无论您是数学专业的学生、研究人员，还是对数学怀有浓厚兴趣的爱好者，相信本书都能为您带来深刻的启发和收获。

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对于一个渴望从“会用”代数工具到“理解”代数工具深层含义的研究生来说，这本书提供了极佳的视角。我注意到，作者在介绍某些构造时，习惯性地引用了构造者的原始工作或关键的灵感来源，这种历史的视角帮助我理解为什么某些概念是以那样一种看似绕弯子的方式被发明出来的。例如，在论述代数空间（Algebraic Spaces）的必要性时，作者没有简单地断言它们比概型更具操作性，而是通过一个失败的尝试（某个特定情形下概型的局限性）来自然地引出代数空间的定义，这种教学法的效果远胜于生硬的定义灌输。这本书的深度和广度要求读者有一定的代数基础，但回报是丰厚的——它能让你从一个更高的维度去理解整个代数几何的版图。它不是一本简单的教科书，它更像是一部艺术品，将最纯粹的逻辑美学与最复杂的几何结构编织在一起，让人在阅读过程中，不断体验到发现真理的喜悦。

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这本书的排版和印刷质量确实一流，这在专业学术著作中常常被忽视，但对于长时间阅读来说却至关重要。纸张的质感和字体的清晰度，使得长时间沉浸在复杂的数学公式中也不会感到眼睛疲劳。但更重要的是内容上的扎实。我尝试着将书中的一些定理和证明与我正在阅读的其他前沿论文进行交叉对比，发现这本书的某些证明路径更加清晰、更具启发性。尤其是在讲解完备性理论（Completeness Theory）与模空间（Moduli Spaces）的构造时，作者提供了一种非常清晰的逻辑主线，梳理了从Hilbert方案到更精细的堆（Stack）理论的发展脉络。许多教科书往往把模空间视为一个黑箱，直接抛出定义，而此书则花费了大量的篇幅，细致地论证了为什么需要引入更广义的“概型”概念来捕捉所有可能的形变。这对于理解现代几何学的研究方向至关重要。它不是一本可以快速翻阅的“工具书”，而更像是一本需要细嚼慢咽的“思想指南”，每一次重读都会有新的感悟。

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说实话，当我第一次接触到这本书的目录时，心中是既期待又忐忑的。期待是因为这方面的综合性教材实在不多，而忐忑则是因为“代数曲面”到“概型”的跨度极大，处理不好很容易显得顾此失彼，抓不住重点。然而，这本书的编排策略却出乎我的意料。它非常巧妙地利用了经典代数几何中的例子，作为引入抽象概型理论的跳板。比如，书中在讨论射影空间上的向量丛时，并没有直接跳到范畴论的语言，而是先用经典的坐标系下的描述来铺垫，然后再逐步抽象化，引入概形的概念。这种“由浅入深、由具体到抽象”的教学方式，极大地降低了初学者的入门门槛。我特别欣赏作者在处理特征0和特征p域上的差异时所表现出的细致。这种对细节的关注，使得全书的论述既保持了高度的严谨性，又兼顾了读者的实际接受能力。读完几章后，我感觉自己对Fano流形和Calabi-Yau流形的代数结构有了更深刻的理解，不再仅仅停留在拓扑性质的层面，而是开始用更底层的代数语言去审视它们。

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坦白说，我对代数几何的接触不算短，但总觉得在“黎曼-洛赫定理”和“Hodge理论”的深层联系上总有一层迷雾未散。这本书在专门章节对这些经典理论进行了重新审视，但视角完全基于概型和层上同调的语言。作者没有回避技术细节，反而将其作为展示现代理论优越性的绝佳载体。通过引入局部上同调（Local Cohomology）的概念，书中清晰地展示了如何统一处理一些在经典框架下看似独立的现象。我感觉最大的收获在于，它提供了一套统一的“语言体系”，使得原本分散在不同分支（如微分几何、代数拓扑）中的工具，能够在代数几何的框架下实现有机的整合。这种整合带来的强大威力，是阅读之前无法想象的。书中对特定例子，比如椭圆曲线的模空间，处理得非常细致，不仅给出了构造，还讨论了其在数论中的一些隐秘联系，这无疑拓宽了数学交叉研究的可能性。

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这本《代数曲面代数流形和概型》的出现，对于深耕于代数几何领域的学者来说，无疑是一场及时雨。我初翻此书时，就被其严谨的逻辑框架和清晰的论证思路所深深吸引。它不仅仅是对既有知识的系统性梳理，更像是一次对现代代数几何核心概念的深度巡礼。书中对概型理论的阐述，尤其是在基础拓扑结构向更抽象的代数描述过渡时，处理得极为精妙。作者似乎有一种魔力，能将那些原本晦涩难懂的抽象概念，通过巧妙的类比和层层递进的解释，变得触手可及。特别是涉及到Sheaf理论和上同调的应用部分，作者并未止步于简单的公式堆砌，而是深入挖掘了这些工具在解决具体几何问题时的内在机理，这对于我这样的进阶学习者而言，提供了宝贵的洞察力。阅读过程中，我常常需要停下来，细细品味那些看似简单的定义背后所蕴含的丰富几何意义。它迫使我重新审视自己对这些概念的理解深度，无疑极大地提升了我的研究视野。这本书的价值，在于它成功搭建了一座连接经典代数几何与现代抽象理论的坚实桥梁，让读者得以在严密的代数语言中，重新领略几何的美妙与力量。

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