Algebraic Geometry 1 Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:V.I. Danilov

出品人:

页数:314

译者:V.N. Shokurov

出版时间:2009-7-11

价格:USD 189.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540519959

丛书系列:

图书标签:

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代数几何：从曲线到范畴的蜕变 本书旨在为读者提供一个严谨且富有洞察力的代数几何入门。代数几何作为数学中最具活力和影响力的分支之一，它将代数（特别是交换代数）的工具应用于研究几何对象，揭示了它们深刻的结构和关系。本书将带领读者从最直观的代数曲线出发，逐步深入到抽象且强大的代数簇和概形理论，最终理解现代代数几何的基石。 第一部分：代数曲线的几何魅力 我们从代数曲线这一代数几何中最基本、也最富魅力的对象开始。曲线，从我们孩提时代就熟悉的圆形、抛物线，到更复杂的方程所定义的几何形状，一直是几何学研究的核心。在代数几何的视角下，曲线不再仅仅是点的集合，而是由多项式方程定义的精确结构。 平面代数曲线：我们将从最直观的二维平面上的曲线入手，即由一个或多个多项式方程定义的点的集合。我们会学习如何描述这些曲线的性质，例如： 奇异点：理解曲线上的“尖角”、“自交点”等特殊点，它们揭示了曲线在局部结构的复杂性。我们将学习如何识别和分类这些奇异点，并理解它们对曲线全局性质的影响。 交点数：不仅仅是简单地判断两条曲线是否相交，我们将深入研究贝祖定理，它以一种深刻而简洁的方式量化了代数曲线的交点数量，展示了代数与几何的精妙结合。 亏格：亏格是代数曲线最重要的几何不变量之一，它衡量了曲线的“洞”的数量，决定了曲线的拓扑结构。我们将学习如何计算亏格，并理解它在分类和研究曲线时的核心作用。 曲线的嵌入与变换：我们将探索如何将曲线嵌入到更高的维度空间中，以及不同坐标系下的描述。同时，我们也会研究代数变换如何作用于曲线，以及这些变换如何保持或改变曲线的性质。 射影平面上的曲线：为了更好地研究曲线的全局性质，消除平行线在无穷远点相交的不便，我们将引入射影平面。在射影平面中，两条直线总会在一点相交，这使得几何分析更加统一和优雅。我们将学习如何将平面曲线提升到射影平面，并重新审视之前讨论的性质。 第二部分：从曲线到簇的飞跃 代数簇是代数几何研究的核心对象，它们是代数几何理论的自然推广。一个代数簇可以看作是多个代数方程组的公共解集。与曲线相比，簇可以存在于任意维度，且其结构更加丰富和复杂。 代数簇的定义与构造：我们将精确地定义代数簇，并学习如何从理想（多项式环的子集）出发构造相应的簇。我们将理解多项式环的理想与代数簇之间的紧密对应关系，这是代数几何的核心思想之一。 代数簇的性质： 维度：与我们熟悉的几何空间维度类似，代数簇也有维度，它描述了簇的“自由度”。我们将学习如何定义和计算簇的维度。 不可约性：我们将区分可约簇（可以分解为更小簇的并集）和不可约簇（无法分解）。不可约性是研究簇性质的基础。 光滑性：类似于曲线的光滑性，簇也可以在某些点上是光滑的，而在另一些点上可能存在奇异点。我们将深入理解簇的奇异性，以及如何通过代数工具来分析它们。 多项式映射与同态：我们将研究代数簇之间的映射，这些映射由多项式定义。我们将理解这些映射的性质，例如它们的核、像，以及它们如何诱导出簇之间的代数结构。 第三部分：超越“点”的抽象——概形理论 概形理论是现代代数几何的精髓，它极大地扩展了代数几何的研究范围，将研究对象从“点的集合”提升到“环的谱”。概形理论是一种高度抽象但极其强大的工具，它使得代数几何能够处理更加广泛的数学对象，并与数论、拓扑学等领域建立深刻联系。 环的谱：我们将从交换代数中的“环”出发，引入“环的谱”这一概念。环的谱不是我们通常意义上的几何空间，而是由环的素理想构成的集合。我们将学习如何给环的谱赋予一个拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。 概形：一个概形是这样一个对象：它局部上看起来像一个环的谱，并且具有特定的性质。我们将理解概形如何由“环层”在空间上“粘合”而成。这意味着我们不再仅仅关注点，而是关注点附近“局部环”的代数结构。 概形的意义与应用： 统一视角：概形理论提供了一个统一的框架，可以将各种几何对象（代数簇、流形、甚至数域）都看作是某种概形。这使得我们可以用一套统一的语言和工具来研究它们。 数论的几何化：概形理论在数论中有着革命性的应用。例如，我们可以将整数环看作一个概形，从而用几何的工具来研究数论问题，如费马大定理的证明就离不开概形理论。 抽象代数的研究：概形理论也反过来促进了交换代数的研究，它使得代数家能够从几何直觉出发，提出和解决抽象的代数问题。 代数簇的推广：如果一个环的谱对应于一个代数簇，那么对于一般的环，其谱对应的对象就是一般的概形。这意味着概形理论比代数簇理论更加普遍。 学习路径与展望 本书的写作逻辑是从具体到抽象，从直观到形式。我们从读者相对熟悉的代数曲线出发，逐步建立对代数簇的理解，最后通过概形理论的引入，展现代数几何的宏伟图景。 本书并非旨在提供一套完整的、包含所有细节的百科全书式的论述，而是希望能够为读者构建一个坚实的理论框架，培养读者的抽象思维能力和解决问题的能力。通过对本书的学习，读者将能够： 掌握描述和分析代数曲线的基本工具和概念。 理解代数簇的定义、性质以及它们在几何研究中的作用。 领略概形理论的抽象之美，并初步理解其在现代数学中的核心地位。 为进一步深入学习代数几何的更高级主题打下坚实的基础。 代数几何是一门需要耐心和细致的学科。本书中的许多概念和证明需要读者反复琢磨和练习。我们鼓励读者积极思考，尝试解决书中的练习题，并与其他学习者交流讨论。我们相信，通过这条从具体到抽象的探索之路，读者将能够深刻体会到代数几何的魅力，并发现它在数学各个领域所展现出的强大力量。

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这本书的排版和装帧倒是挺用心的，纸张质量不错，看起来确实像一本有分量的学术专著。然而，内容上的深度和广度并不成正比。它试图覆盖“代数曲线、代数流形和簇”这几个宏大的主题，但给每个主题分配的篇幅都显得捉襟见肘。比如，在讲代数曲线时，涉及到的经典结果，如黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem），虽然被提及了，但证明过程极其跳跃，很多关键的引理直接就这么摆在那里，没有给出详细的推导。这让我感觉作者只是在罗列事实，而不是在引导读者进行数学思维的构建。如果你是想通过这本书来真正掌握这些概念的来龙去脉，恐怕会大失所望。我更倾向于将其视为一本“索引”，列出了你需要知道的名词，但真正需要理解其内在逻辑的部分，全靠读者自己去脑补或者去翻阅其他更可靠的资料。这种“只给出结论，不展示过程”的叙事方式，在基础数学教育中是非常不可取的。

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这本书的书名听起来就很硬核，光是“代数几何”这几个字就让人望而生畏。我本来以为它会是一本标准的教材，深入浅出地讲解一些基础概念，结果完全不是那么回事。拿到书翻开目录，第一眼就被那些生僻的术语和复杂的符号搞得晕头转向。感觉作者完全没有站在初学者的角度去思考，直接把读者扔进了最前沿的研究领域。比如，他对莫迪贝空间（Moduli Spaces）的介绍，简直是跳过了所有必要的铺垫，直接开始讨论高级的构造和性质。对于一个只想了解代数几何基本框架的人来说，这本书简直是灾难性的。它更像是一本给专业研究人员准备的参考手册，而不是面向更广泛读者的入门读物。我花了大量时间试图去理解其中一个关于向量丛的章节，但总觉得每走一步都需要先去查阅其他领域的知识，阅读体验极其不连贯。这本书的编写风格实在是太过于“自我中心”，作者似乎只对某个非常狭窄的领域有兴趣，而对读者的接受能力和学习曲线毫无概念。

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读这本书的过程，就像是在攀登一座陡峭的山峰，沿途的风景或许壮丽，但每一步都充满了艰辛。我特别关注了关于“概形”（Schemes）的部分，这部分通常是代数几何现代化的核心标志。这本书对概形理论的阐述，非常依赖于预设的范畴论知识，这对于习惯了经典代数几何语言的读者来说，是一个巨大的认知障碍。它几乎没有提供任何“直觉性”的解释，而是直接用抽象的语言构建起整个理论的框架。我试着去想象一个完全没有接触过概形的新手拿到这本书会是什么感受——估计会立即关上封面，转而去寻找那些更注重几何直觉解释的著作。这本书的优点或许在于其高度的数学严谨性，但这种严谨是以牺牲可读性为代价的。对我个人而言，我更希望看到的是，作者能够用稍微柔和一点的方式，将这些复杂的结构与我们熟悉的代数对象建立起桥梁，而不是直接要求读者跳入深水区。

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这本书的习题部分简直是作者的“恶作剧”。它们要么是过于简单，只是让你代入公式验证一下，要么是直接变成了需要一篇完整论文才能解决的研究型问题。我尝试做了几道中间难度的练习，发现它们往往要求你整合好几个不相干的章节中的复杂技巧。比如，一个关于奇点的局部性质的习题，你可能需要同时运用到上同调理论、环论的知识，甚至可能需要用到一些微分几何的工具。这种设计明显是为了筛选出已经具备扎实背景的研究生或者博士生。作为一名希望通过自学来提升的爱好者，我感到非常受挫。一本好的教材，习题应该起到巩固知识、引导思考的作用，而不是成为新的知识点黑洞。这里的习题更像是作者对自身研究兴趣的一种投射，而不是对普通学习者友好的设计。

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整体来看，这本书的学术价值无疑是存在的，它汇集了作者对于代数几何中几个关键分支的深刻见解。然而，从教学工具的角度来评价，它无疑是失败的。它的语言风格过于冷峻和晦涩，缺乏必要的引导和类比。它更像是作者在对自己多年研究成果进行的一次高度浓缩和精炼的总结，而不是为下一代学习者准备的“阶梯”。那些试图通过它建立起对代数几何完整认知体系的读者，很可能会在初期就迷失方向，最终放弃。这本书更适合那些已经浸淫多年，需要一本权威的、高度提炼的参考书来查阅精确定义和定理的专家。对于非此领域背景的读者，我建议谨慎对待，因为它给人的感觉是“高高在上”，完全没有试图去降低理解的门槛，反而筑起了一道难以逾越的知识高墙。

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