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出版者:科学出版社

作者:肖箭

出品人:

页数:156

译者:

出版时间:2008-6

价格:36.00元

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isbn号码:9787030219466

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数学之美的探索：从微观到宏观的动力系统之旅 本书旨在引领读者踏上一段迷人的数学旅程，探索描述自然界和工程领域中瞬息万变现象的强大工具——常微分方程。我们将从最基本、最直观的概念入手，逐步深入，揭示这些方程背后精妙的数学结构，以及它们如何勾勒出宇宙万物的动态之美。 一、 初探动态之源：方程的诞生与初步认识 故事的开端，源于我们对“变化”的好奇。风的吹拂、水的流动、物体的运动，这些随时间发生的改变，究竟由何种规律支配？常微分方程正是我们观察和理解这些变化的语言。本书将从最简单的一阶常微分方程开始，例如 $y' = f(x, y)$，深入浅出地介绍其基本概念。我们将讨论什么是解，以及为何一个方程可能拥有无数个解，又是什么条件能够锁定唯一的“命运”。 我们不会止步于抽象的符号，而是会引入大量的实际例子。想象一下，一个简单的细菌种群增长模型，其增长速度直接与其当前数量成正比，这个直观的描述，如何转化为一个数学方程 $P'(t) = kP(t)$？又或者，一个冷却的物体，其温度下降的速度与它与周围环境的温差成正比，这又如何转化为 $T'(t) = -h(T(t) - T_{amb})$？这些贴近生活的例子，将帮助读者建立对常微分方程的直观感受，理解它们是如何从实际问题中孕育而生的。 本书将详尽介绍求解一阶常微分方程的各种基本方法。我们将从最容易理解的“变量可分离法”开始，例如 $dy/dx = f(x)g(y)$，通过简单的积分技巧，就能找到方程的解。接着，我们会学习“线性方程”的求解技巧，形如 $y' + p(x)y = q(x)$ 的方程，通过引入“积分因子”，可以将复杂的方程转化为一个简单的积分问题。此外，“恰当方程”以及通过“积分因子”的技巧，也将被详细阐述，让读者掌握处理多种一阶方程的通用策略。 二、 深入几何的画卷：相平面分析与定性理论 理解常微分方程的解不仅仅是找到一个数学公式，更在于理解这些解的整体行为。二阶常微分方程，例如 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$，其解的空间变得更加丰富多彩。为了直观地展现这些解的行为，我们将引入“相平面”的概念。在一个由 $y$ 和 $y'$ 构成的平面上，方程的解可以被看作是一条条运动的轨迹。这些轨迹的流向，能够告诉我们解的长期趋势，例如是趋于稳定，还是发散，抑或是周期性振荡。 本书将花费大量篇幅来阐述“定性理论”。即使我们无法找到一个方程的精确解析解，定性理论也能帮助我们了解解的性质。我们将深入探讨“平衡点”的概念，分析它们是“稳定”还是“不稳定”的。例如，一个受阻尼的弹簧振子，其平衡点是稳定的，无论如何扰动，它最终都会回到静止状态。而一个不稳定的平衡点，例如将一支铅笔尖立在桌面上，任何微小的扰动都会导致其倒下。 “极限环”的概念也将被引入，它们代表着一种稳定的周期性振荡。例如，生物体内的某些振荡现象，或者一些简单的电子电路，都可能表现出极限环的行为。我们将学习如何利用相平面分析来识别这些极限环，并理解其形成机制。此外，“分岔”现象，即当方程中的参数发生微小变化时，解的行为发生突然改变，也将是定性理论的重要研究内容。这些概念将帮助读者从更宏观、更深刻的角度去理解常微分方程所描述的动态系统。 三、 探索线性世界的秩序：线性常微分方程组与特征值分析 许多复杂的动态系统，都可以被近似地描述为由多个相互关联的一阶常微分方程组成的“线性常微分方程组”。例如，两个相互作用的种群模型，或者一个多自由度的机械系统，都可能被抽象为形如 $mathbf{x}'(t) = Amathbf{x}(t)$ 的方程组，其中 $mathbf{x}(t)$ 是一个向量，表示系统的状态，而 $A$ 是一个常数矩阵。 研究这类方程组的关键在于理解矩阵 $A$ 的“特征值”和“特征向量”。特征值决定了系统中各个分量的增长或衰减速率，而特征向量则指示了这些分量在运动过程中保持比例不变的方向。我们将详细介绍如何求解特征值和特征向量，并利用它们来构建方程组的通解。 本书将重点讲解“常系数线性齐次方程组”的求解方法。通过对矩阵 $A$ 进行“对角化”或“约当标准型”的变换，我们将能够系统地找到所有线性方程组的解。即便矩阵 $A$ 不可对角化，我们也能通过“广义特征向量”的概念，找到相应的解。 对于“常系数线性非齐次方程组”，即 $mathbf{x}'(t) = Amathbf{x}(t) + mathbf{f}(t)$，我们将学习如何结合齐次解和“特解”，找到完整的解。这通常涉及到“常数变易法”等技巧。理解线性方程组的解法，不仅有助于我们解决具体的工程和科学问题，更能为我们理解更复杂的非线性系统打下坚实的基础。 四、 走向现实的挑战：数值方法与模型构建 并非所有的常微分方程都能找到精确的解析解。在许多实际应用中，我们不得不依赖于“数值方法”来近似求解。本书将介绍几种最常用的数值求解方法，例如“欧拉法”和“龙格-库塔法”。我们将详细阐述这些方法的原理，分析它们的精度和收敛性，并探讨在实际计算中需要注意的问题。 通过数值模拟，我们可以观察到许多抽象方程在不同参数下的行为，从而验证理论模型的有效性，并对实际系统进行预测。本书将鼓励读者运用这些数值方法，去探索和理解一些未知的动态过程。 更重要的是，本书将引导读者思考如何将实际问题“模型化”。当面对一个复杂的物理、生物或经济现象时，我们如何从中提取出关键要素，并用常微分方程来描述它们之间的关系？我们将讨论模型构建的基本原则，例如“简化假设”的必要性，以及如何根据数据来“校准”和“优化”模型。 五、 展望未来：非线性世界的奇妙探索 虽然本书的重心在于常微分方程，但我们也将为读者打开一扇通往“非线性世界”的大门。我们将会初步触及一些简单的非线性方程，例如“Logistic方程”在种群动力学中的应用，以及“Lotka-Volterra方程”在捕食者-猎物模型中的重要作用。 我们将简要介绍非线性系统可能展现出的“混沌”现象，以及“分岔”如何导致系统的复杂化。尽管深入研究非线性动力学需要更高级的数学工具，但本书将为读者建立初步的概念，激发他们对这一迷人领域的进一步探索。 总结 《数学之美的探索：从微观到宏观的动力系统之旅》是一本旨在为读者构建扎实常微分方程理论基础的指南。我们从最基本的概念出发，逐步深入到相平面分析、线性方程组求解，并最终介绍了数值方法和模型构建的实践。本书将力求在严谨的数学推导与直观的物理图像之间找到完美的平衡，让读者在理解数学工具的同时，也能感受到数学在描述和理解我们所处世界中的强大力量。这趟旅程，将不仅仅是公式的堆砌，更是对宇宙动态规律的深刻洞察，是对数学之美的一次全身心的体验。

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坦率地讲，这本书在处理历史背景和理论发展脉络的叙述上，显得有些过于现代和抽象了。它似乎完全聚焦于“当下最有效”的解题方法和理论框架，而将那些曲折的、充满了先驱者智慧和失败尝试的历史路径完全略去了。在我看来，一个好的教程不仅要教人“怎么做”，还应该告诉人“为什么会是这样发展过来”。缺乏了这些上下文的铺垫，知识点似乎就成了孤立的真理，而不是人类认知不断试错和修正的结果。例如，当我们学习某个经典的解法时，如果能知道当初数学家们在面对某种困境时是如何一步步突破的，那种知识的重量感和感染力会强得多。这本书在保持简洁性的同时，也牺牲了相当一部分“人文关怀”，使得阅读体验少了那么一丝韵味，更偏向于工具书的冷峻。

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我对这本书的配套资源给予高度评价，这确实是当下许多传统教材所缺乏的优势。它不仅仅是一本印刷品，更像是一个多媒体学习生态系统的一部分。在线提供的互动练习平台非常出色，你输入答案后，系统能即时反馈错误类型，并给出针对性的提示，而不是简单地告诉你“错了，请重做”。此外，作者似乎还录制了一系列配套的视频讲解，专门针对书中那些最容易引起混淆的部分进行深入剖析。我特别喜欢那些视频中出现的“常见误区”环节，它们精准地击中了学习者在自我摸索时容易陷入的思维陷阱。这种线上线下紧密结合的学习模式，极大地增强了学习的主动性和反馈效率，使得知识点的吸收不再是单向的灌输，而是双向的互动过程。这无疑为现代数学教育提供了一个值得借鉴的范例。

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这本我最近翻阅的数学教材，虽然并非我通常涉猎的领域，但其行文的清晰度实在令人印象深刻。作者似乎非常擅长将那些通常被认为晦涩难懂的概念，以一种近乎讲故事的方式娓娓道来。例如，在介绍某些基础理论时，它并未直接堆砌复杂的公式，而是先构建了一个直观的物理或几何模型，让读者在脑海中“看到”了问题的本质。这种循序渐进的引导，极大地降低了初学者的心理门槛。我尤其欣赏的是其中穿插的大量实际应用案例，它们不仅仅是教科书式的公式代入，而是深入到了工程控制、经济波动等多个领域的具体情境中，让人不禁感叹数学工具的强大力量。书中的习题设计也颇具匠心，难度梯度设置得非常合理，从基础巩固到综合运用，层层递进，确保了知识的扎实掌握。总的来说，如果有人对这个领域有兴趣，但又担心被厚重的理论吓倒，这本书绝对是一个非常友好的起点。它不像是高高在上的学术专著，更像是身边一位耐心且博学的导师。

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这本书的排版和视觉设计倒是给我留下了极为深刻的印象，这在理工科教材中是比较少见的。它没有采用那种单调乏味的黑白印刷风格，而是巧妙地运用了色彩区分不同的数学对象和重要结论。比如，关键定义和定理总是用一种醒目的颜色框起来，而证明过程中涉及的辅助变量则采用另一种柔和的底色，这使得在快速浏览和重点回顾时效率倍增。更值得称赞的是，图表的质量极高，无论是函数图像的绘制还是流程图的示意，都精确且直观。我记得有一章讲解了某个迭代法的收敛性，配上的动态示意图，瞬间就让抽象的收敛过程变得具体可感，这比纯文字描述有效太多了。这种对用户体验的重视，让长时间的阅读也变得不那么枯燥乏味。看来，作者和出版方在图书的美学和实用性之间找到了一个非常成功的平衡点。

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老实说，这本书在某些深度上可能略显不足，它更像是一份精心打磨的“入门向导”，而非“登堂入室的终极指南”。对于那些已经积累了一定基础，希望钻研更深层次、更前沿理论的研究者而言，这本书提供的深度可能无法完全满足其求知欲。我发现某些关键定理的推导过程被简化得有些过快，虽然这对于普及知识是好事，但对于希望完全理解其数学根基的读者来说，可能会留下一些“为什么是这样”的疑问。例如，在处理某些特殊边界条件时，作者似乎默认读者可以自行补全中间的繁琐步骤，这一点在细节上处理得略显仓促。当然，这也不能完全怪罪于作者，毕竟要在一本“简明”的教程中面面俱到，本就是一项艰巨的任务。这本书的价值在于其出色的“概览”能力，让你快速建立起知识框架，但若想在学术道路上走得更远，可能还需要搭配其他更专业的参考资料进行互补。

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