矢量代数与射影几何 (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787311028664

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几何学的坚实基石：解析与结构的光辉（精装版） 一、 引言：穿越时空的数学对话 在数学的宏伟殿堂中，几何学始终占据着核心且引人入胜的地位。它不仅是测量和描绘世界的工具，更是洞察空间结构、抽象思维与逻辑推理的熔炉。本书《几何学的坚实基石：解析与结构的光辉》正是一部旨在带领读者深入理解几何学两大核心支柱——解析几何与欧几里得几何（广义上涉及结构性几何思想）的深度专著。我们摒弃了过于初级和表面的介绍，将重点聚焦于那些奠定现代数学物理学基础的关键概念、严谨的证明方法以及它们之间精妙的内在联系。 本书的结构设计，力求在严谨性与可读性之间找到一个完美的平衡点。我们相信，真正的理解来源于对原理的深刻把握，而非仅仅对公式的机械记忆。因此，本书的每一章都建立在清晰的逻辑链条之上，引导读者逐步构建起对空间几何概念的直观感受和代数工具的驾驭能力。 二、 第一部分：解析几何的代数化革命 (The Algebraic Revolution of Analytic Geometry) 解析几何，由笛卡尔和费马所开创，是数学史上一次伟大的飞跃，它成功地架起了几何直觉与代数演算之间的桥梁。本部分将深入探讨如何用坐标系来描述和研究几何对象，从而将复杂的几何问题转化为可操作的代数方程。 1. 基础构建与坐标系统的深度剖析： 我们首先回顾并深化对二维和三维笛卡尔坐标系（包括右手和左手系统）的理解。重点分析坐标变换（如平移、旋转）对点、向量和几何图形方程的影响。特别是，我们将详细阐述齐次坐标（Homogeneous Coordinates）的概念及其在射影变换中预示作用，尽管本书的核心聚焦于欧氏空间，但对齐次坐标的引入，是为后续更宏大结构做铺垫的必要准备。 2. 二次曲线与二次曲面的代数特征： 本部分的核心篇章将致力于对二次曲线（如椭圆、抛物线、双曲线）和二次曲面（如椭球体、双曲面、抛物面）进行详尽的代数分析。我们不仅仅停留在识别标准形式，更深入研究其判别式（Discriminant）的几何意义。读者将学习如何通过矩阵的特征值和特征向量，对二次型进行对角化处理，从而揭示曲面的真实几何形态，例如旋转主轴的确定过程，以及如何通过迹和行列式来判断截面的性质。 3. 微分几何的萌芽：曲线与曲面的局部性质： 在解析几何的框架下，我们引入微积分的工具来研究几何对象的“瞬时”属性。对于空间曲线，我们将详尽讨论参数化、弧长、切向量、法向量、主法线、副法线以及最核心的挠率（Torsion）和曲率（Curvature）。这些量如何通过 Frenet-Serret 标架（Frenet-Serret Frame）的演化来精确描述曲线在三维空间中的弯曲和扭转情况，是本部分的高潮之一。对于曲面，我们将初步介绍第一、第二基本形式，它们是衡量曲面内在几何特性的关键代数工具。 4. 高维空间的几何延伸： 解析几何的强大之处在于其向高维空间的自然延伸。本部分将探讨 $n$ 维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的点、向量、超平面（Hyperplane）的概念。读者将掌握如何利用内积（点积）来定义角度和正交性，以及如何使用向量积（在三维中）和更一般的张量概念来描述高维空间中的方向和体积（或超体积）。 三、 第二部分：结构性几何的逻辑探索 (Logical Explorations in Structural Geometry) 在解析几何用代数“描绘”空间的同时，结构性几何（广义上，此处侧重于古典几何的严谨性和逻辑结构）则关注空间的基本公理、变换群以及保持某些几何性质不变的操作。本书在此部分，着重于对欧氏几何体系的深入重构和对变换的抽象理解。 1. 欧氏几何的公理基础与非欧几何的对比： 我们从欧几里得体系的五个基本公设出发，深入探究平行公设的地位。通过对各种几何体系（如双曲几何、椭圆几何）的简要概述，读者能够更好地理解欧氏几何的独特性和其在经典物理学中的适用范围。重点在于理解“几何结构”是如何由其底层公理集决定的。 2. 几何变换的群论视角： 几何学可以被视为研究空间中保持某种结构不变的变换的学问。本部分引入变换群的概念。我们分类研究欧氏平面与三维空间中的刚体运动（Isometries）：平移、旋转、反射、滑移反射。读者将学习如何利用 $4 imes 4$ 变换矩阵来统一表示所有这些运动（包括透视变换的预备知识），并理解这些变换构成了欧氏群 $ ext{E}(n)$。群论的语言使得几何问题具有了更高的抽象性和普适性。 3. 空间形体的拓扑学前瞻（非正式引入）： 为了展示几何学的广阔边界，本部分将非正式地引入拓扑学的基本思想。我们将关注那些在连续形变下保持不变的性质，例如连通性、孔洞的数量（Genus）。虽然我们不会进行严格的拓扑学定义，但通过探讨球面、甜甜圈（环面）等简单对象的拓扑性质，可以帮助读者区分欧氏度量几何（关注距离和角度）与拓扑几何（关注伸缩和弯曲而不撕裂）的本质区别。 四、 综合与应用：理论的交汇点 本书的最后部分致力于展示解析几何和结构性几何思想的融合。通过具体的几何论证和计算，我们展示了如何运用代数工具（如向量空间理论）来解决经典的几何难题。我们将探讨正交性在不同几何体系中的地位，以及如何利用线性代数的方法来简洁地处理复杂的立体几何问题，例如计算多面体的体积、表面积以及其在不同投影下的成像关系。 本书面向的读者群体包括但不限于：数学、物理学、工程学专业的高年级本科生、研究生，以及所有希望系统、深入地重温和拓展其几何学基础的严肃学习者。它需要读者具备扎实的微积分和线性代数基础。我们力求通过严谨的推导、精选的例题和深入的讨论，为读者提供一个坚不可摧的几何学知识体系。

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我花了几个周末的时间啃完了这本书，坦率地说，阅读体验算不上畅快。这本书的文字风格过于学术化，缺乏必要的引导和类比，很多重要的定理和定义直接抛了出来，像一堵堵冰冷的墙。尤其是在处理矢量与坐标系转换的部分，作者似乎默认读者已经完全理解了所有相关的空间直觉，导致我在试图将抽象的代数表达与三维空间中的旋转、缩放联系起来时，频繁地需要查阅其他资料来建立直观的桥梁。举个例子，书中对齐次坐标的引入非常突兀，没有足够多的实例来展示它在解决“无穷远点”问题上的优雅之处。当我翻到关于二次曲线和二次曲面的章节时，发现内容介绍得十分简略，仅仅是列举了标准形式和一些基本性质，却没有深入探讨它们在射影平面上如何通过极线、极点等概念相互关联，这完全没有体现出射影几何的精髓所在——那种跨越了欧氏度量限制的统一性。我本期望能找到一本能够激发我对空间想象力的书，但这本书更像是一份详尽但略显枯燥的参考手册，它告诉你“是什么”，却很少告诉你“为什么如此构建”以及“它能做什么更酷的事情”。对于自学者而言，这无疑是一个不小的挑战，因为当你被困在某个概念的泥潭里时，书中提供的支持显得非常有限。

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从一个应用数学的角度来看，我对于这本书的实用性感到一丝失望。我希望这本书能够更好地连接理论与工程实践，特别是考虑到现代技术中，如计算机视觉、三维重建等领域对精确几何变换的依赖。书中对投影矩阵的介绍仅仅停留在理论推导层面，几乎没有提及如何将这些矩阵应用到实际的相机模型（如针孔模型）中去。例如，讲解消失点和地平线的概念时，本可以结合实际的透视图景进行分析，但书中却仅仅停留在抽象的交点运算上。此外，关于度量空间和射影空间的区别，这本书的处理也显得比较保守。它花了大量的篇幅来区分欧氏距离和仿射不变性，但在如何利用射影不变性来简化复杂的几何测量问题上，着墨甚少。我总感觉这本书在“代数”和“几何”之间架设了一座桥梁，但这桥梁的承重能力似乎不足，无法支撑起更复杂的实际应用场景的重量。它提供了一个坚实的地基，但上层建筑的蓝图却显得过于简单，没有展现出这个领域应有的广阔前景。

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这本书的装帧设计确实让人眼前一亮，平装本拿在手里很有分量，纸张的质量也相当不错，油墨清晰，排版紧凑，这在理工科教材中算是难得的用心了。然而，这种对物理形态的关注，似乎没有完全转移到对内容逻辑连贯性的雕琢上。我注意到书中对不同章节之间的过渡处理得较为生硬。例如，矢量代数部分的内容是扎实的，它详尽地阐述了内积、外积的几何意义，这部分内容读起来是顺畅的。但紧接着转向射影几何时，概念的跳跃性太强了，仿佛作者突然换了另一套思维模式在写作。射影变换的矩阵表示与其在经典几何中的投影操作之间的联系，在书中的论述是跳跃式的，我感觉自己像是在两个独立的课程之间来回奔波。更让人困惑的是，书中的习题设置。大量的计算题占据了篇幅，这些题目大多集中在矩阵的计算和基础公式的套用上，而真正考验几何直觉和综合运用能力的开放性或证明题却凤毛麟角。一本好的数学书应该能通过习题引导读者深入思考，但这里的习题更多的是对定义的机械重复验证，这使得学习过程显得机械化，削弱了对射影几何本身那种迷人魅力的感知。

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这本书的参考文献列表倒是相当丰富，涵盖了从十九世纪的经典著作到二十世纪中期的教材，这说明作者在知识的溯源上下了功夫。然而，这种对历史经典的偏爱，似乎也让全书的风格显得有些陈旧。书中引用的许多例子，比如对圆锥曲线的讨论，仍旧停留在古希腊几何学的传统视角，虽然这体现了历史的厚重感，但对于习惯了现代符号系统和更简洁表达方式的读者来说，阅读起来会有一种“跨越时代”的别扭感。比如，书中讨论到“理想点”的概念时，并没有明确指出它在无穷远处的统一性，而是通过一种略显含糊的方式来引入，这在严谨的数学论证中是需要极其小心处理的边界。总体来说，这本书是一部扎实但缺乏锐气的作品。它忠实地记录了经典代数与射影几何的知识体系，保证了内容的准确性和基础性，但它未能抓住机会，将这些古老的理论与当代数学和技术的前沿进行有效的对话，使其在知识的更新换代中，显得有些跟不上时代的步伐，像一本优秀的古董，却缺少了些许现代光泽。

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这本《矢量代数与射影几何 (平装)》的书籍，从拿到手的那一刻起，我就被它那略显复古的封面设计所吸引，那种沉甸甸的质感，仿佛预示着里面蕴含着坚实的数学理论。我本来是冲着“射影几何”这个名字来的，希望能找到一本既能深入浅出讲解射影变换，又能与现代计算机图形学有所关联的教材。然而，当我翻开第一章，引入的却是篇幅巨大的线性代数基础回顾，那些关于向量空间、基底、线性映射的讨论，虽然严谨，但对于已经掌握这些概念的我来说，显得有些冗余。书中对矢量运算的定义采用了非常经典的欧几里得几何视角，这对于初学者或许友好，但对于寻求更高抽象层次理解的读者来说，总觉得绕了一个圈子。更让我感到遗憾的是，书中对于射影几何的阐述，似乎停滞在了传统的平面几何框架内，对于射影空间、对偶性等核心概念的讨论深度略显不足。我期待看到更多关于射影不变量、二次型在射影几何中的应用，或者哪怕是一点点关于黎曼几何与射影几何交叉点的探讨，但这些都没有在书中找到。整体感觉，这本书更像是一本为数学系本科低年级学生准备的入门读物，它兢兢业业地完成了基础知识的铺陈，却在探索更深层次的数学美感和应用潜力方面显得有些保守和谨慎。最终，我不得不承认，它更像是对我已有知识体系的一次“温和的梳理”，而非一次“激动人心的探索”。

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