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出版者:Cambridge University Press

作者:Ian Stewart

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:1983-04-29

价格:USD 58.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521287630

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 复分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复变函数
• 数学教材
• 理工科

《数学的无限探索：微积分的深邃世界》 本书是一部旨在引领读者深入理解微积分核心概念的详尽指南。它不涉及复分析的领域，而是专注于实数域上连续性、变化率以及累积效应的奥秘。我们将一步步剖析那些塑造了现代科学与工程的基石原理，从直观的几何解释到严谨的代数证明，力求让读者在掌握核心知识的同时，也能领略数学的逻辑之美。 第一章：函数——描述变化的语言 本章我们将建立起对函数这一核心概念的深刻理解。通过丰富的实例，我们会探讨函数的定义、域、值域，以及它们如何描绘现实世界中的各种关系。从简单的线性关系到复杂的非线性模式，我们将学习如何通过代数表达式、图表和表格来分析和表示函数。本章的重点在于理解函数的映射思想，以及如何识别和分类不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数，为后续的学习打下坚实的基础。我们将着重于函数的可视化，强调图象在理解函数行为中的重要作用。 第二章：极限——逼近真理的旅程 极限是微积分的灵魂。本章将详细介绍极限的直观概念与严格定义。我们将通过数列的收敛性，以及函数在某一点附近的取值行为，来理解极限的含义。通过epsilon-delta定义，我们将带领读者领略数学的严谨之处，学习如何证明函数的极限存在。大量的图示和数值逼近方法将帮助读者直观地感受极限的“无限逼近”特性。我们将探讨极限的代数性质，包括和、差、积、商的极限法则，以及复合函数极限的求法。 第三章：连续性——函数行为的平滑性 连续性是函数行为的另一项关键属性。本章将基于极限的概念，对函数的连续性进行深入探讨。我们将学习如何判断一个函数在某一点是否连续，以及如何识别和分析区间上的连续性。我们将介绍连续函数的性质，例如介值定理和最大最小值定理，这些定理在数学和应用领域都扮演着至关重要的角色。本章还将涵盖不连续点的类型，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，并分析它们对函数行为的影响。 第四章：导数——瞬时变化率的衡量 导数是微积分的核心工具之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。本章将从切线的斜率出发，引出导数的定义，并详细介绍求导的方法。我们将学习基本函数的导数公式，以及导数的四则运算法则和链式法则。通过对导数几何意义的深入理解，我们将学习如何利用导数来分析函数的单调性、极值和凹凸性，从而绘制出函数的精确图像。我们将强调导数在解决优化问题中的应用，例如寻找最大值和最小值。 第五章：导数的应用——解决世界的工具 本章将拓展导数的应用范围，展示它在解决实际问题中的强大能力。我们将学习如何使用导数来解决优化问题，例如最大化利润或最小化成本。洛必达法则将为我们提供处理不定式极限的有力工具。我们还将探讨泰勒展开式，它能够将复杂的函数用多项式来近似，这在数值计算和函数逼近中具有广泛的应用。牛顿法将作为求解方程根的经典算法进行介绍。此外，本章还将涉及与导数相关的物理概念，如速度与加速度。 第六章：积分——累积效应的测量 积分是微积分的另一半，它用于计算函数的累积效应。本章将介绍定积分和不定积分的概念，以及它们之间的联系——牛顿-莱布尼茨公式。我们将学习定积分的几何意义，即曲线下面积的计算。通过不定积分的求解方法，我们将掌握求函数原函数的过程，并学习基本的积分技巧，如换元积分法和分部积分法。本章将重点阐述积分在计算面积、体积、曲线长度等几何问题中的应用。 第七章：积分的应用——描绘量变的宏图 本章将深入探讨积分在各个领域的广泛应用。我们将学习如何利用定积分计算不规则形状的面积和体积，以及如何计算曲线的长度。物理学中的工作、质心、转动惯量等概念也将通过积分得到清晰的阐释。概率论中的概率密度函数与累积分布函数的计算，也离不开积分的帮助。我们将接触到一些更高级的积分技术，如部分分式积分法。此外，本章还将探讨积分在近似计算中的作用。 第八章：级数——无限求和的艺术 级数是研究无穷多项之和的数学分支。本章将介绍级数的收敛性判别方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法以及交错级数判别法。我们将深入探讨幂级数，学习其收敛半径的确定以及在函数表示中的作用。麦克劳林级数和泰勒级数将作为重要的函数展开工具进行详细介绍，它们能够用多项式来逼近各种函数，为科学计算和理论研究提供了便利。本章还将简要介绍傅里叶级数及其在信号分析中的初步应用。 第九章：多变量函数——探索高维空间 在掌握了单变量函数的分析工具后，本章将视角转向多变量函数，带领读者进入高维空间的探索。我们将学习偏导数、方向导数和梯度等概念，理解函数在不同方向上的变化率。多元函数的极值问题，包括局部极值和条件极值，将通过海森矩阵等工具进行分析。重积分，包括二重积分和三重积分，将作为计算多维空间中体积、质量分布等物理量的基础。本章还将介绍线积分和面积分，它们是进一步理解向量分析和物理学中场论概念的铺垫。 第十章：微分方程——描述动态世界的规律 微分方程是用来描述变化率之间关系的方程，它们是现代科学和工程中不可或缺的工具。本章将介绍常见类型的微分方程，如一阶线性微分方程、可分离变量微分方程以及二阶线性常系数微分方程。我们将学习求解这些微分方程的解析方法，并讨论它们的初始条件和边值条件在确定唯一解中的作用。微分方程在描述物理现象，如衰变、增长、振动和电路分析等方面有着广泛的应用。本章将为读者提供理解和建模动态系统的基础。 本书致力于提供一个全面、深入且易于理解的微积分学习体验，旨在培养读者严谨的数学思维和解决问题的能力，为他们在更广泛的科学与工程领域学习和研究打下坚实的基础。

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我是一名研究生，正在进行一项与信号处理相关的研究，而复数分析是其中不可或缺的工具。我需要的不仅仅是理论知识，更重要的是能够将这些理论灵活运用到实际问题中的能力。我仔细翻阅了这本书的目录，发现其中包含了傅里叶变换、拉普拉斯变换等在信号处理领域至关重要的内容，这让我对接下来的深入学习充满了期待。我希望这本书的讲解能够紧密结合实际应用，通过具体的案例分析，展示复分析的强大解决问题的能力。例如，在求解微分方程、分析系统稳定性等方面，我希望作者能够提供清晰的推导过程和直观的解释。我倾向于那些能够帮助我建立起理论与实践之间桥梁的书籍，而不是仅仅停留在抽象的数学推导上。如果这本书能够为我的研究提供新的思路和有效的工具，那么它将是我手中宝贵的参考资料。

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作为一名初涉复数分析领域的学生，我对学习过程中的“卡顿感”深恶痛绝，常常因为一个概念的理解不透彻而导致后续内容的学习困难重重。这本书在这一点上给了我极大的信心。从我粗略翻阅的章节来看，作者似乎非常注重知识点的循序渐进，并没有一上来就抛出令人望而生畏的定理。我观察到其中有一些精心设计的习题，它们看起来不像是为了刁难学生而存在，而是为了引导读者主动思考，并通过练习巩固所学。我个人尤其喜欢那些“为什么”会这样的问题，而不是简单地“怎么做”。如果这本书能够很好地解释复分析背后的逻辑和直觉，而不是仅仅提供解题技巧，那将对我来说是巨大的福音。我也期待书中能够包含一些历史背景的介绍，了解这些伟大的数学思想是如何被发现和发展的，这往往能极大地提升学习的趣味性。希望它能成为我复分析学习道路上的得力助手，帮助我克服那些曾经让我头疼的难题，真正理解并掌握这门学科。

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这本书的封面设计就足够吸引人，简约大气，深蓝色的背景搭配金色的书名，透露着一种深邃与神秘感。拿到书的那一刻，厚重的手感便让人对接下来的阅读之旅充满期待。我一直对数学中的“复数”概念有着浓厚的兴趣，但总觉得教科书的讲解过于抽象，缺乏足够的直观性和应用性。这本书的出现，就像在一片混沌中点亮了一盏明灯，虽然我还没有来得及深入研读，但从目录和开篇的导言来看，它似乎有着将复杂概念化繁为简的魔力。我特别关注书中是否会从复数的几何意义入手，逐步讲解复数运算、函数性质，以及复分析中最核心的留数定理等内容。我希望这本书能用生动有趣的例子，比如在物理学、工程学中复分析的应用，来激发我进一步学习的兴趣。我倾向于那些能够在我脑海中构建出清晰图像的书籍，而不是仅仅罗列公式和定理。期待它能带我领略复数世界的奇妙，理解那些看似遥不可及的数学思想是如何巧妙地解决实际问题的。

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我是一名业余爱好者，对数学，尤其是那些能够与图形和几何联系起来的数学分支，有着近乎痴迷的喜爱。过去我曾尝试过阅读一些关于复分析的书籍，但往往因为缺乏足够的几何直观性而半途而废。这本书，单从其精美的排版和清晰的图示（虽然我尚未深入阅读，但从预览章节中可见端倪）来看，就让我眼前一亮。我期待这本书能够将复数和复函数在复平面上的几何解释阐述得淋漓尽致，例如黎曼曲面的概念，以及共形映射的奇妙之处。我希望它能像一位循循善诱的老师，用易于理解的语言和丰富的插图，引导我一步步探索复数世界的几何美学。我尤其好奇书中是否会探讨一些更高级的主题，比如解析延拓、调和函数以及它们在不同领域中的应用。如果这本书能让我感受到复分析的优雅和力量，那么我将毫不犹豫地将其推荐给所有对数学之美感兴趣的朋友。

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在我看来，一本优秀的数学书籍，除了严谨的逻辑和清晰的讲解外，还应该能够激发读者的求知欲，并培养其独立思考的能力。这本书从我初步的浏览来看，似乎具备这样的特质。我注意到书中并没有提供现成的答案，而是鼓励读者自己去探索和发现。我喜欢这种挑战，因为我知道，只有通过自己的努力，才能真正掌握知识。我期待书中能够提供一些开放性的问题，引导我去思考更深层次的数学概念，并鼓励我去尝试用不同的方法解决问题。我希望这本书能成为我学习复数分析过程中的良师益友，不仅传授知识，更能启发智慧。如果书中能够包含一些关于复分析发展史上的重要人物和里程碑式的发现，那么我将对这门学科产生更深刻的理解和更浓厚的兴趣。

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比较标准的复变教材。

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