具体描述
Motivated by some notorious open problems, such as the Jacobian conjecture and the tame generators problem, the subject of polynomial automorphisms has become a rapidly growing field of interest. This book, the first in the field, collects many of the results scattered throughout the literature. It introduces the reader to a fascinating subject and brings him to the forefront of research in this area. Some of the topics treated are invertibility criteria, face polynomials, the tame generators problem, the cancellation problem, exotic spaces, DNA for polynomial automorphisms, the Abhyankar-Moh theorem, stabilization methods, dynamical systems, the Markus-Yamabe conjecture, group actions, Hilbert's 14th problem, various linearization problems and the Jacobian conjecture. The work is essentially self-contained and aimed at the level of beginning graduate students. Exercises are included at the end of each section. At the end of the book there are appendices to cover used material from algebra, algebraic geometry, D-modules and GrAbner basis theory. A long list of ''strong'' examples and an extensive bibliography conclude the book.
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读后感
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用户评价
我读这本书的目的原本是希望通过它来理解多项式自同构在低维空间（如 $mathbb{C}^n$）中的经典分类问题，特别是针对 $ ext{Aut}(mathbb{C}^n)$ 的结构及其与线性群的关系。不幸的是，这本书的视角似乎更偏向于代数簇（可能是射影空间上的）的自同构，或者是在某个特定域（如有限域或函数域）上的多项式映射。书中对高维欧几里得空间中多项式映射的拓扑性质几乎没有提及，这使得它与我所关注的应用领域相去甚远。书中的语言风格极其保守和正式，几乎没有使用任何比喻或类比来辅助理解。每一个定理的证明都冗长而严密，虽然体现了作者对细节的极致追求，但却牺牲了读者的理解效率。我尝试去寻找一些历史背景的介绍，比如谁首先系统地研究了这一领域，哪些关键的猜想推动了它的发展，但这些“软性”的知识点也付诸阙如。这本书仿佛是从一个真空的数学宇宙中提炼出来的，完全脱离了学科发展的历史脉络和社会背景。
评分坦率地说，我对这本《多项式自同构》的阅读体验是充满困惑的。我原本以为会接触到关于代数簇的自同构、域扩张中的伽罗瓦群相关内容，或者至少是一些关于 Cremona 群或其子群的经典讨论。但这本书的着墨点似乎完全偏离了这些主流方向。我发现书中充斥着大量关于特定模空间上向量丛的局部形变理论的讨论，以及一些非常晦涩的范畴论在代数几何中的应用。这些内容本身当然具有其价值，但它们与“多项式自同构”这个标题的关联性需要更清晰的论证。这本书的叙事逻辑非常跳跃，从一个复杂的构造跳到另一个看似不相关的定理的证明，中间缺少必要的桥梁。它的排版和符号使用也显得有些过时，一些必要的图示或例子被完全省略，这对于理解高维或高次多项式的复杂变换是致命的缺陷。我试图从中寻找一些关于如何构造非平凡自同构的技巧性方法，或者是一些关于自同构群是否有限或无限的经典结果的现代视角，但这些核心问题似乎被淹没在过于细枝末节的计算和技术细节之中。它更像是一份技术报告的集合，而非一部连贯的学术著作。
评分我对这本书的整体评价是：它是一份高度专业化但极度缺乏亲和力的参考资料。我期待的“多项式自同构”是一个涵盖代数、几何与拓扑的宽泛领域，能看到如何将代数方法应用于几何问题，或者反过来用拓扑工具来识别自同构。然而，这本书的内容集中于一个非常狭窄的、可能只在作者的特定研究兴趣中至关重要的代数结构上。比如，书中花费了大量篇幅讨论了某个特定次数的多项式环在特定理想下的商环上的自同构计数问题，这个结果虽然精确，但对于理解更一般意义上的多项式自同构的本质似乎帮助不大。书末的参考文献列表虽然庞大，但多数引用的是年代久远的苏德文科学术语或高度专业的期刊，缺乏对当代主流研究的引用和讨论。这本书更像是一份“存档”，而非一份“导览”。如果不是为了完成某个特定、高度垂直的任务，我很难向任何非该领域极小众方向的同行推荐它作为学习资料。它的价值在于其内容的绝对的、无妥协的数学严谨性，但其代价是完全不可触及的可读性和广泛的适用性。
评分这本书给我的感觉是，它似乎是在特定时期内，针对一小撮研究人员快速积累的研究成果的汇总，缺乏长期的结构规划。其内容组织结构混乱，章节之间的过渡生硬得令人发指。例如，前一章还在讨论一个特定的代数环上的自由分解，下一章突然开始讨论某种几何对象的稳定子群的指标计算，两者之间没有明确的理论指引。我曾寄希望于它能提供一些关于如何使用计算代数工具（如 Gröbner 基）来研究多项式自同构的现代方法，或者至少能对当前研究的前沿热点——比如与动力系统或混沌理论相关的多项式映射——有所涉及。然而，书中几乎完全是纯粹的、偏向于经典代数拓扑和同调方法的论述，显得与当前数学发展的步伐有些脱节。更令人沮丧的是，书中的习题部分非常稀少，即便有，也大多是需要大量背景知识才能着手的证明题，缺乏帮助读者巩固基础概念的练习。这样的书，对于自学而言，几乎是灾难性的，它需要读者已经站在一个非常高的学术起点上，并且能够自行填补大量的知识空白。
评分这本《多项式自同构》的书籍，从书名上看，似乎是一本高度专业化，面向数学专业学生或研究人员的教材或专著。我带着对代数几何和域论交叉领域的浓厚兴趣翻开了它，期望能深入了解多项式自同构群的结构、性质及其在不同数学分支中的应用。然而，当我开始阅读时，我发现这本书的实际内容与我的预期产生了显著的偏差。它并未如我所期待的那样，提供一个系统性的、从基础到前沿的对多项式自同构的全面综述。相反，它似乎更像是一系列高度聚焦于某一特定技术或某一特定代数结构（也许是某个环上的自同构）的论文汇编，缺乏必要的上下文铺垫和宏观结构。对于非该领域的专家而言，阅读起来极为吃力，因为许多关键概念的引入显得突兀且缺乏详细的定义和直观的解释。例如，书中对于某些群作用的描述，虽然数学上是严谨的，但却完全忽略了读者可能需要的几何直观或应用场景的提示，使得抽象的符号推导显得索然无味且难以记忆。整体而言，这本书的深度足够，但广度和可读性却远低于一本优秀的专业教材应有的水准。它更像是为已经完全熟悉该领域术语和背景知识的同行准备的参考手册，而不是为渴望学习或拓展知识边界的读者准备的入门读物。
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