Numerical Methods for Least Squares Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Ake Bjõrck

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:1996-12-01

价格:USD 74.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780898713602

丛书系列:

图书标签:

• LSQ
• 优化
• Ref.
• 数值方法
• 最小二乘法
• 数值分析
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• 工程数学
• 数据拟合
• 误差分析

《数值分析导论：算法与理论》 本书是一本全面而深入的数值分析教材，旨在为读者提供理解和应用现代数值方法所需的扎实理论基础和实践技能。它涵盖了数值分析的核心领域，从最基本的算术误差分析到复杂的非线性方程组求解，为读者构建了一个逻辑清晰的学习路径。 内容概览： 第一部分：误差、函数逼近与插值 引论：计算的本质与误差的根源 我们从计算的精确性问题开始，探讨计算机如何表示实数，以及由此产生的舍入误差。 分析截断误差的来源，例如泰勒级数展开的截断，并介绍衡量误差的相对误差和绝对误差概念。 讲解病态问题（ill-conditioned problems）的概念，以及它们如何放大误差，并介绍条件数的计算和解释。 介绍一些基本的误差传播规律，为后续的算法分析奠定基础。 函数逼近与多项式插值 探讨如何用简单的函数（主要是多项式）来逼近复杂的函数，介绍最佳逼近的概念（如最小二乘逼近，尽管本书不详述其具体算法）。 深入讲解多项式插值的理论，包括拉格朗日插值多项式、牛顿插值公式及其性质。 分析插值多项式的误差界，并探讨分段多项式插值（如分段线性插值）的优点。 引入埃尔米特插值，允许同时匹配函数值和导数值，并分析其在数值微分中的应用。 初步介绍样条插值（如三次样条），它能提供更平滑的插值曲线，是工程和图形学中的重要工具。 第二部分：方程求根与线性系统求解 非线性方程的求根方法 介绍一系列求解单变量非线性方程 $f(x) = 0$ 的迭代算法。 讲解二分法（bisection method）的原理、收敛性和局限性。 详细阐述不动点迭代法（fixed-point iteration），包括其收敛条件和收敛速度。 深入分析牛顿法（Newton's method），讨论其二次收敛性，并分析其在导数不可用或计算困难时可能遇到的问题。 讲解割线法（secant method）作为牛顿法的一种近似，以及它在实际应用中的优势。 介绍其他稳健的求根算法，如布伦特法（Brent's method），它结合了二分法、割线法和插值法的优点，能确保收敛并提供良好的效率。 线性方程组的直接解法 处理形如 $Ax = b$ 的线性方程组，这是科学计算中最基本也是最重要的任务之一。 详细讲解高斯消元法（Gaussian elimination）的原理、步骤和计算复杂度。 分析高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）及其与高斯消元法的区别。 深入介绍LU分解（LU decomposition），包括Doolittle和Crout分解，以及它们如何加速求解多个右端向量的方程组。 讨论Cholesky分解，适用于对称正定矩阵，并分析其计算效率。 分析矩阵求逆的数值稳定性问题，并说明为何通常避免直接求逆。 探讨数值稳定性问题，如主元选择（pivoting）的必要性，包括部分主元法和全主元法，以减小舍入误差的影响。 线性方程组的迭代解法 当矩阵规模很大时，直接解法可能计算量过大或内存不足，迭代法成为更优的选择。 介绍雅可比迭代法（Jacobi method）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method）的原理、收敛条件（如对角占优矩阵）及其收敛速度。 讲解逐次超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR），它通过引入松弛因子来加速收敛。 讨论预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG），这是求解大规模稀疏对称正定线性系统的最有效方法之一。 介绍广义最小残差法（Generalized Minimal Residual, GMRES）和双共轭梯度稳定法（Biconjugate Gradient Stabilized, BiCGSTAB）等方法，用于求解非对称或不可逆的线性系统。 第三部分：数值积分与微分，以及常微分方程的数值解 数值积分 探讨如何用数值方法计算定积分 $int_a^b f(x) dx$。 介绍梯形法则（trapezoidal rule）和辛普森法则（Simpson's rule）及其高阶变体，分析它们的误差公式。 讲解复合梯形法则和复合辛普森法则，它们能通过分割区间来提高精度。 介绍高斯-勒让德求积公式（Gaussian quadrature），它能以最少的函数评估次数获得很高的精度。 探讨自适应求积方法（adaptive quadrature），它们根据被积函数的局部行为动态调整积分步长。 数值微分 研究如何通过离散数据点估计函数的导数。 推导基于泰勒级数的前向差分、后向差分和中心差分公式，并分析其误差。 探讨如何使用高阶差分公式来提高数值微分的精度。 讨论数值微分对噪声敏感的问题，以及如何通过平滑技术来缓解。 常微分方程的数值解 处理初值问题（Initial Value Problems, IVPs），如 $y' = f(x, y), y(x_0) = y_0$。 介绍欧拉法（Euler's method），包括前向和后向欧拉法，分析其一阶精度和局限性。 详细讲解改进欧拉法（Improved Euler method）和龙格-库塔法（Runge-Kutta methods），特别是经典的四阶龙格-库塔法（RK4），它们具有更高的精度和更好的稳定性。 讨论多步法（multistep methods），如亚当斯-巴什弗特定系数法（Adams-Bashforth and Adams-Moulton methods），它们利用先前步骤的信息来计算当前步。 分析数值方法的截断误差和全局误差，以及步长的选择对精度和稳定性的影响。 引入常微分方程边值问题（Boundary Value Problems, BVPs）的数值解方法，如打靶法（shooting method）和有限差分法（finite difference method）。 第四部分：特征值问题与矩阵分解 特征值与特征向量的计算 研究求解矩阵的特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors），即 $Ax = lambda x$。 讲解幂法（power method）及其变种（如反幂法）用于计算最大或最小模的特征值和对应特征向量。 介绍QR算法，它是计算所有特征值最重要和最常用的算法之一，并讲解其收敛原理。 讨论约化为Hessenberg形式（Hessenberg reduction）的重要性，以提高QR算法的效率。 探讨对称矩阵的特殊性质及其简化算法。 奇异值分解（SVD） 虽然本书不直接深入讨论最小二乘问题，但SVD是理解许多数值方法（包括广义逆和低秩逼近）的基础。 介绍奇异值分解的概念及其重要性，即任何实数矩阵都可以分解为 $A = U Sigma V^T$。 讲解SVD的几何意义和在数据降维、噪声消除等方面的应用潜力。 总结： 《数值分析导论：算法与理论》以其严谨的数学推导、清晰的算法描述和丰富的理论分析，为学习者提供了一个坚实的基础。本书注重算法的原理、收敛性分析以及在实际计算中可能遇到的问题，而非仅仅罗列公式。通过对误差分析、插值、方程求解、线性系统、积分微分以及常微分方程求解等关键领域的深入探讨，读者将能够理解并自信地应用数值方法来解决各种科学与工程问题。本书是数学、计算机科学、工程学等领域学生以及需要利用数值方法进行研究的专业人士的宝贵资源。

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这本《数值方法与最小二乘问题》的书简直是为我这种需要扎实理解优化理论和实际应用的人量身定做的。我第一次翻开它时，就被其清晰的逻辑结构所吸引。作者没有急于深入复杂的算法，而是花了大量篇幅来构建严谨的数学基础，让我对最小二乘问题的几何意义和统计学背景有了全新的认识。特别是关于病态问题（ill-posed problems）的讨论，分析得极其透彻，远超我之前读过的任何教材。书中对QR分解、SVD等核心分解技术的阐述，既有理论深度，又结合了实际的数值稳定性考量，让人感觉非常受用。对于工程实践者来说，理解“为什么”比仅仅知道“怎么做”更重要，这本书在这方面做得非常出色。它不只是教你公式，而是培养你的“数值直觉”。我尤其欣赏它在算法选择和比较上的客观性，它没有偏袒某一种方法，而是详细列举了不同方法的适用场景、计算成本和误差分析，这对于在资源有限的计算环境中做出最优决策至关重要。总而言之，这是一本能让你从“会用”提升到“精通”的里程碑式的著作，我强烈推荐给所有从事数据拟合、信号处理或大规模系统建模的研究人员。

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这本书给我的感受是，它对“计算可行性”有着近乎偏执的关注。许多教科书在描述算法时，往往只关注渐近收敛速度，却忽略了在实际计算机上运行时的内存占用和浮点运算次数。然而，这本《数值方法与最小二乘问题》却在每一部分都嵌入了对计算复杂度的严格分析。例如，在讨论非线性最小二乘时，它对于线搜索策略的选择，不仅评估了其收敛速度，还详细比较了Armijo准则和Goldstein条件在实际迭代次数上的差异。这种“工程师思维”渗透在全书中，使得它读起来非常“实用”。对于那些需要开发高性能求解器的研究人员来说，这本书提供的算法细节和数值稳定性警告是无价之宝。我尝试用书中推荐的一种基于迭代重加权（Iteratively Reweighted Least Squares, IRLS）的算法解决了一个非高斯噪声环境下的拟合问题，结果发现其收敛速度和鲁棒性远超我原先使用的标准L-M算法。这本书的价值在于，它教会你如何选择和调优那些看似相似的数值工具，从而榨取出最大的性能。

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读完这本关于最小二乘问题的专著，我最大的感受是，作者在讲解高阶数值技巧时，始终保持着一种罕见的清晰度和耐心。这本书的深度，尤其体现在它对迭代优化方法的处理上——从经典的牛顿法和高斯-牛顿法，到更现代、更具鲁棒性的信赖域方法（Trust Region Methods），每一种算法的收敛性分析都做到了层层递进，毫无含糊之处。我特别关注了书中关于大规模稀疏最小二乘问题的处理章节，那些关于预处理技术（如预条件子）的介绍，简直是教科书级别的范例。它不仅描述了这些技术的原理，还深入探讨了如何设计有效的预条件子来加速收敛，这对于处理动辄上百万变量的实际工业问题至关重要。很多书籍在处理大型问题时会草草带过，但这本则将重点放在了如何保持数值稳定性和计算效率的平衡上。如果你正在寻找一本不仅仅停留在理论层面，而是真正能指导你在复杂优化场景下“落地生根”的书籍，那么这本书绝对是你的首选。它的排版和图示也极其精良，帮助理解那些抽象的向量空间操作。

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如果用一个词来形容这本书的特点，那就是“全面而深刻”。它不仅仅是一本关于如何解最小二乘问题的指南，更是一部关于优化理论如何与数值计算交织在一起的深度解析。我特别欣赏作者对约束最小二乘问题（Constrained Least Squares）的处理，那部分内容详尽地覆盖了KKT条件的应用以及如何将这些约束有效地融入到求解框架中，这在许多标准数值分析书籍中往往是一笔带过的内容。此外，它对随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）在最小二乘背景下的应用和偏差分析也进行了探讨，这显示了作者对当前机器学习领域热点的紧密关注。这本书的行文风格成熟稳健，用词精准，几乎没有歧义，这对于理解那些细微的数学差异至关重要。它不是一本“速成”读物，它需要读者投入时间去消化，但你所付出的每一分钟，都会转化为对该领域更深层次的理解和更强健的问题解决能力。对于任何希望在优化和数据科学领域达到专业水平的人来说，这本书是不可或缺的基石。

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坦白说，一开始我对这本厚厚的书心存敬畏，担心它过于学术化以至于脱离实际。然而，这本书成功地架起了一座连接纯数学理论与实际工程应用的坚实桥梁。它对误差传播和敏感性分析的讨论尤为精彩，让我深刻理解了数据质量对最终解稳定性的决定性影响。作者并没有回避最小二乘问题中固有的不确定性，反而将其视为设计稳健算法的驱动力。我特别喜欢它对正则化方法的详尽介绍，特别是Tikhonov正则化和Lasso/Ridge回归在不同应用场景下的权衡。书中的案例研究部分，虽然篇幅不算多，但都极具代表性，它们展示了如何将书中学到的理论工具应用于图像重建或统计回归等具体场景。从读者的角度来看，这本书的难度曲线设置得非常巧妙，基础部分易于入门，但随着深入，它提供的洞察力会让你感觉自己的知识体系得到了极大的拓展。它不是那种读完一遍就能掌握的书，更像是可以放在案头，随时查阅和反思的工具箱。

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