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页数:154

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出版时间:2008-6

价格:14.00元

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isbn号码:9787811025545

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《微积分精要与应用》 本书旨在为读者构建坚实的微积分理论基础，并清晰展现其在各学科领域的广泛应用。内容涵盖极限、连续性、导数、积分及其相关概念，并在此基础上深入探讨级数、多元函数微积分以及微分方程等核心主题。 第一部分：单变量微积分 极限与连续性： 我们将从直观的图示和严谨的定义出发，深入理解极限的概念，探索函数的局部行为。 epsilon-delta 语言将得到充分讲解，帮助读者掌握极限的严格证明方法。连续性作为函数性质的基石，我们将对其进行细致的剖析，包括介值定理和最值定理，并分析不连续点的类型及性质。 导数： 导数是描述变化率的强大工具。本书将从几何角度解释导数作为切线斜率的意义，并从物理角度阐释其作为瞬时速度的含义。我们将系统讲解微分法则，包括幂法则、乘积法则、商法则和链式法则，并提供大量实例帮助读者熟练掌握。导数的应用部分将是重头戏，包括但不限于： 函数分析： 利用导数判断函数的单调性、凹凸性，寻找极值点，绘制函数图像，深刻理解函数的全局特征。 优化问题： 解决实际生活中的各种优化问题，例如最大化收益、最小化成本、寻找最短路径等。 相关变化率： 分析两个或多个变量之间相互影响的变化规律。 牛顿法： 介绍一种高效的数值方法，用于求解方程的近似根。 积分： 积分是微积分的另一核心概念，它能够计算面积、体积、弧长等。我们将从黎曼和的定义出发，严谨地引入定积分的概念，并阐释微积分基本定理，揭示导数与积分之间的深刻联系。不定积分的计算技巧将得到系统讲解，包括换元积分法、分部积分法等。积分的应用也将广泛展开： 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长。 物理应用： 计算功、质心、平均值等。 概率与统计： 描述概率密度函数、累积分布函数，计算期望值和方差。 级数： 本部分将介绍数列与级数的基本概念，包括收敛与发散的判别准则。我们将重点讲解泰勒级数与麦克劳林级数，展示如何用多项式逼近复杂函数，并阐述其在数值计算和函数近似中的重要作用。 第二部分：多元微积分 多元函数： 我们将把微积分的概念推广到二维和三维空间。偏导数和方向导数将帮助我们理解多元函数在不同方向上的变化率。梯度将作为指向函数增长最快方向的向量，在优化问题中扮演关键角色。 重积分： 二重积分与三重积分将用于计算区域的面积、体积以及更复杂的物理量。我们还将学习如何利用换元法（如极坐标、柱坐标、球坐标）简化积分计算。 向量微积分： 本部分将引入向量场、散度、旋度等概念，并深入探讨格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，这些公式是连接线积分、面积分和体积分的桥梁，在电磁学、流体力学等领域有极其广泛的应用。 第三部分：微分方程初步 一阶微分方程： 本部分将介绍可分离变量方程、线性一阶微分方程、全微分方程等基本类型，并讲解求解这些方程的常用方法。 二阶线性微分方程： 我们将重点讲解常系数齐次与非齐次二阶线性微分方程的求解方法，包括特征方程法、待定系数法和常数变易法。 本书的特色在于： 循序渐进的结构： 从单变量微积分的基础概念出发，逐步过渡到更为复杂的多元微积分和微分方程，确保读者能够扎实掌握每个阶段的知识。 理论与实践并重： 在讲解抽象理论的同时，辅以大量来自物理、工程、经济、生物等不同领域的实例，帮助读者理解微积分的实际应用价值。 强调概念理解： 我们不满足于机械的计算技巧，而是致力于帮助读者深入理解每一个概念背后的几何意义和物理背景，培养独立思考和解决问题的能力。 丰富的练习题： 每章都配有不同难度和类型的练习题，包括概念题、计算题和应用题，以巩固所学知识，提升解题能力。 清晰的图示说明： 大量精心设计的图示将帮助读者直观地理解抽象的数学概念，例如函数图像、曲面、向量场等。 《微积分精要与应用》是献给所有希望深入理解数学语言、掌握解决复杂问题工具的读者的一本实用指南。无论您是理工科专业的学生，还是对数学有浓厚兴趣的自学者，本书都将为您开启通往更广阔知识领域的大门。

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这本书的装帧质量，用一个比较老派的词来说，叫“皮实耐用”。我把它放在书包里，跟水杯、充电宝各种摩擦碰撞，封面也没有出现明显的折痕或掉页的现象，这对于需要频繁翻阅和带着去图书馆啃上几个小时的学生来说，是一个非常实际的优点。内容上，我个人对它对“反例”的重视程度印象深刻。在讲解一些基本定理的适用范围时，它总会附带一个小小的“反例警示”模块。例如，在涉及中值定理的讨论中，它没有停留在定理本身的叙述，而是列举了几个函数图像虽然连续可微，但在特定区间上却不满足定理前提条件的“构造性案例”。这种对“边界条件”的强调，极大地提高了我的解题安全系数，让我不敢轻易地在题目条件不完全满足时套用公式，培养了一种对数学逻辑的敬畏心。这种严谨性，远超出了普通练习册的范畴。

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这本书的封面设计得非常朴实，那种略带磨砂质感的纸张，拿在手里有种沉甸甸的踏实感，让人一眼就能感觉到它不是那种哗众取宠的“速成宝典”，更像是一位陪伴你走过漫长学习旅程的老朋友。我刚开始接触微积分的时候，那感觉就像是面对一座陡峭的山峰，公式和概念像密集的藤蔓一样缠绕着我，让人无从下手。翻开这本训练册，最先映入眼帘的是那些结构清晰的章节划分，它不像教科书那样堆砌理论，而是直接切入核心的计算模块。每一章的开头都会有一小段文字，用非常口语化的方式解释这个知识点在实际应用中扮演的角色，这对我这种“重理解，轻背诵”的学习者来说简直是救星。尤其是那些关于极限的题目，它没有一上来就抛出复杂的$epsilon-delta$定义，而是用一系列由易到难的数列极限例子作为引子，让你在反复的练习中自然而然地体会到“趋近”的精髓。我尤其欣赏它对“陷阱”题目的标注，那些看似简单却暗藏玄机的变体，作者都用醒目的颜色和细致的文字解析了错误发生的思维路径，这比单纯给出正确答案的价值要高得多。

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作为一名即将面临毕业设计挑战的学生，我发现这本书在“从理论到实践”的过渡上做得相当到位，尽管它本身不是应用数学专著。它的特点在于，它不满足于你仅仅算出那个“漂亮”的最终答案，它更关注你得出这个答案的过程中所涉及的数学思维的严谨性。比如在处理级数收敛性判定时，它会刻意设计一些使用比值判别法很棘手，但使用根值判别法或积分判别法却能豁然开朗的题目组合。这种精心设计的题目群组，迫使我们必须灵活切换分析工具，而不是依赖某一个“万能钥匙”。我记得有一次我在解一个涉及傅里叶级数展开的例题时，卡在了那个三角函数的积分上，书后的答案解析部分并没有直接给出积分的数值，而是提示我回顾一下某个特定的正交性关系。这个提示极其精妙，它没有直接告诉我答案，而是将我带回了更底层的数学原理层面去思考，这种“引导式学习”远比直接给出解析来得有效，让我有一种“茅塞顿开”的成就感。

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我发现这本书的作者对于那些“易错点”的捕捉能力简直达到了“偏执”的程度。很多时候，我们学习高等数学，经常会因为一些细微的符号处理或定义边界的模糊而失分，这本书就像一个经验丰富的老教师，提前预判了学生会在哪里犯错。例如，在涉及三重积分的坐标变换时，不仅仅是给出了雅可比行列式的计算，它还特别在旁注中强调了在哪些情况下（比如区域对称性缺失或变换方向不一致时）需要取行列式的绝对值，并且给出了一个需要取绝对值的具体几何场景作为对照。这套练习册给我的感觉是，它不只是让你“会做题”，而是让你“懂得为什么这样做”。那些章节末尾的“自测回顾”环节，设计得像是一张知识点密度极高的“诊断清单”，做完之后，你立刻就能清楚地知道自己对该章知识的掌握程度是“熟练”、“理解”还是“模糊”，为下一阶段的复习指明了方向，非常高效实用。

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说实话，我原本对市面上大多数的“同步训练”类书籍持保留态度，总觉得它们不过是把课本后面的例题换个顺序重新排列一下，敷衍了事。然而，这本书完全颠覆了我的看法。它的巧妙之处在于对“同步”二字的精准把握。它不是简单地跟随教材的章节顺序，而是深度研究了不同高校教学进度的细微差别。比如，在讲解完定积分的基本概念后，它紧接着就安排了一组关于曲率和弧长计算的综合应用题，这些题目在很多教材的初级阶段是不会出现的，但却是期末考试中考察综合应用能力的关键点。更让我感到惊喜的是它的“错题本潜力”。这本书的排版非常人性化，题号和题干之间留有足够的空白区域，方便我用不同颜色的笔做批注和推导过程的简写。我发现，有些题目，即便是做对了，我也会因为思路不够简洁而重新写一遍解题步骤，而这本书的留白设计完美地适应了这种“精益求精”的需求。对于那些抽象的、几何意义不明显的多元函数求偏导数问题，它还附带了一些非常简短的几何解释，虽然篇幅很小，但却起到了“点睛”的作用，让原本冰冷的代数运算忽然有了画面感。

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