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页数:359

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出版时间:2008-12

价格:36.00元

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isbn号码:9787302179030

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• 最优化方法
• 数学
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• 凸优化
• 非线性规划
• 梯度下降
• 约束优化
• 启发式算法

《数值计算基础与前沿》 内容简介 《数值计算基础与前沿》是一本全面深入探讨现代数值计算理论、方法与应用的学术专著。本书旨在为读者提供一个扎实而广阔的数值计算知识体系，覆盖从经典算法的原理推导到新兴技术的研究进展，是数学、计算机科学、工程技术以及相关交叉学科研究人员、高年级本科生及研究生的理想读物。 全书共分为四个主要部分，逻辑清晰，层层递进。 第一部分：数值计算的基本理论与核心方法 本部分是全书的基石，系统梳理了数值计算领域最 fundamental 的概念、工具和核心算法。 误差分析与数值稳定性： 详细介绍计算机表示数的精度限制，深入剖析舍入误差、截断误差的来源与传播机制。重点讲解了数值算法的稳定性概念，区分了良态问题与病态问题，并提供了评估和提高算法稳定性的各种技术，如残差分析、条件数分析等。这部分为后续学习所有数值方法提供了必要的理论支撑，理解误差和稳定性是保证计算结果可靠性的关键。 线性方程组的求解： 涵盖了直接法和迭代法两大类。直接法部分，详细讲解了高斯消元法（包括 LU 分解）、Crout 分解、Cholesky 分解等，并深入分析了其计算复杂度、数值稳定性和在稀疏矩阵上的改进。迭代法部分，重点介绍了雅可比法、高斯-赛德尔法、SOR（逐次超松弛）法等经典迭代格式，探讨了它们的收敛性条件、收敛速度，并阐述了预条件技术在加速迭代收敛中的重要作用。此外，还涉及了共轭梯度法等高级迭代方法。 非线性方程组的求解： 介绍了单变量非线性方程的求解方法，如二分法、牛顿法（及其变种，如割线法、拟牛顿法），分析了它们的收敛阶、收敛域和实际应用中的注意事项。对于多变量非线性方程组，则重点讲解了牛顿法及其在大型、稀疏系统上的求解策略，以及全局化收敛技术（如阻尼牛顿法）。 插值与逼近： 探讨了多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值），详细分析了 Runge 现象及其避免方法（如分段多项式插值，样条插值）。接着，深入介绍了函数逼近的理论，包括最小二乘逼近、最佳逼近等，并讨论了正交多项式（如勒让德多项式、切比雪夫多项式）在逼近问题中的应用。 数值积分与微分： 详述了数值积分的各种方法，如梯形法则、辛普森法则、牛顿-科特斯公式，并对其误差进行深入分析。重点介绍了高斯积分方法，揭示其高精度特性。在数值微分方面，讨论了有限差分法及其阶数的选择，以及提高精度的方法。 第二部分：矩阵计算与特征值问题 矩阵计算在科学计算和工程应用中占据核心地位，本部分将重点关注矩阵相关问题的数值求解。 矩阵的特征值与特征向量： 介绍了求特征值问题的基本概念，包括幂法、反幂法、位移法等迭代方法，以及 QR 算法（及其变种）在精确求解特征值问题中的威力。对于对称矩阵和托普利兹矩阵等特殊结构矩阵，将介绍更高效的算法。 稀疏矩阵的计算： 随着大数据时代的到来，稀疏矩阵的计算变得尤为重要。本部分详细讨论了稀疏矩阵的存储格式（如压缩行存储 CSR、压缩列存储 CSC、三对角线存储等）以及它们对算法效率的影响。重点讲解了稀疏线性方程组的直接求解方法（如稀疏 LU 分解、超节点）和迭代求解方法（如预条件共轭梯度法）。 矩阵分解与应用： 深入讲解了奇异值分解（SVD）的理论及其在降维、去噪、推荐系统等领域的广泛应用。此外，还介绍了 QR 分解、Cholesky 分解等在求解线性最小二乘问题、行列式计算等方面的作用。 第三部分：常微分方程与偏微分方程的数值解法 科学和工程中的许多问题最终归结为求解微分方程。本部分系统介绍常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值求解方法。 常微分方程（ODE）的数值解法： 涵盖了欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等显式方法，并详细分析了它们的截断误差和稳定性。重点介绍了隐式方法（如后向欧拉法）及其在处理刚性方程组时的优势。此外，还讨论了多步法，如 Adams–Bashdown 方法，以及自适应步长控制技术。 偏微分方程（PDE）的数值解法： 介绍了有限差分法（FDM）在求解一维、二维和三维 PDE 中的应用，包括抛物型、双曲型和椭圆型方程。详细讲解了显式和隐式差分格式，并分析了它们的稳定性和收敛性。此外，本部分还将介绍有限元法（FEM）的基本思想、单元划分、形函数插值以及组装方程组的过程，并展示其在处理复杂几何形状和边界条件方面的强大能力。对有限体积法（FVM）的原理及其在流体力学等领域的应用也进行阐述。 第四部分：前沿数值计算技术与应用 本部分聚焦于当前数值计算领域的研究热点和前沿方向，以及这些技术在实际问题中的应用。 高性能计算与并行算法： 探讨了如何将数值算法移植到多核 CPU、GPU 等并行计算平台上，介绍 MPI、OpenMP、CUDA 等并行编程模型。讨论了数据并行、任务并行等策略，以及分布式内存和共享内存架构下的并行算法设计原则。 机器学习中的数值计算： 深入探讨了数值计算在现代机器学习中的关键作用，如梯度下降及其各种优化变种（Adam, RMSprop 等）背后的数值算法原理，以及矩阵运算、特征值分解在降维（PCA）、主成分回归等模型中的应用。还介绍了数值方法在深度学习模型训练、数据预处理等环节中的不可或缺性。 不确定性量化与随机微分方程： 介绍了蒙特卡罗方法及其在随机模拟、不确定性量化中的应用，包括各种抽样技术和方差缩减方法。重点探讨了随机微分方程（SDE）的数值解法，如 Euler–Maruyama 方法，以及其在金融建模、物理模拟等领域的应用。 其他新兴领域： 简要介绍了一些其他活跃的研究方向，如计算几何中的数值算法、科学计算的可视化、数学软件库的设计与实现（如 LAPACK, BLAS, SciPy, MATLAB 等）以及智能算法在数值计算中的辅助作用。 本书特色： 理论与实践并重： 本书在深入阐述理论概念的同时，也提供了大量的算法伪代码和伪代码实现建议，鼓励读者动手实践。 循序渐进的难度： 从基础概念到前沿技术，内容组织合理，适合不同层次的读者。 广泛的应用背景： 结合了物理、工程、金融、计算机科学等多个领域的实际问题，展现数值计算的强大生命力。 注重算法的实现细节： 关注算法在实际计算中的效率、稳定性和精度问题，提供实用的工程建议。 丰富的参考文献： 提供了进一步学习和研究的线索。 《数值计算基础与前沿》将帮助读者深刻理解数值计算的“为什么”和“怎么做”，掌握解决复杂科学计算问题的有力工具，为他们在各自的研究和工程领域取得突破奠定坚实的数学和计算基础。

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从阅读体验上讲，这本书给我带来了一种非常扎实的“沉浸感”，它不像某些学术著作那样冰冷和疏离，反而带有一种老派工程师的严谨和热情。我尝试着跟着书中的案例，自己动手用代码复现了几个经典的优化模型。令我惊叹的是，即使是对于那些看似简单的例子，作者也给出了非常细致的参数敏感性分析。比如，当初始猜测值稍微偏离最优解一定范围时，算法收敛的速度和最终结果会发生怎样的连锁反应。这种对细节的执着，体现了作者对方法论的深刻理解，而不是仅仅停留在表面公式的罗列。这种注重“鲁棒性”的讲解方式，对我后续进行实际工程应用至关重要。在我看来，一本好的技术书籍，不仅要告诉你“怎么做”，更要告诉你“在什么条件下这样做是可靠的”。这本书在这方面做得非常到位，它通过大量的反例和边界条件的探讨，教会了读者敬畏和审慎。每次我准备应用某个优化算法时，我都会不自觉地回想起书中的某个小章节，那里面可能就藏着我需要的“避坑指南”。

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坦白说，这本书的阅读难度曲线是陡峭的，但回报也是巨大的。它不是那种可以让你在周末轻松消遣的书籍，它需要你投入时间去思考、去演算，甚至需要你时不时停下来，去回顾前几章的内容，以确保对当前概念的掌握是稳固的。我感觉自己像是在攀登一座技术高峰，每爬升一段，视野就开阔一分，但同时也会感到体力的消耗。书中对非线性优化中“鞍点”和“悬崖”现象的描绘尤其生动，它用图形化的方式展示了梯度下降法在遇到不平坦地形时的挣扎。这让我理解了为什么在实际问题中，单纯依赖一阶导数信息是多么的脆弱。书中后续介绍的牛顿法和拟牛顿法，就像是为迷失的登山者配备了更精密的导航设备，能更有效地探测地形，规避陷阱。这本书的价值在于，它不仅传授了工具，更培养了一种批判性思维，让你在面对任何新的优化挑战时，都能从第一性原理出发，审慎地选择最恰当的工具箱里的“器械”，而不是盲目套用已知的公式。

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这本书真是令人大开眼界，对于我这种对复杂系统感兴趣的初学者来说，它简直就是一座宝库。我记得刚开始翻阅的时候，那些数学符号和公式着实让我有些望而却步，感觉自己像是站在一座宏伟但布满迷雾的大教堂前，不知该如何迈出第一步。然而，作者的叙述方式非常巧妙，他没有一上来就抛出那些让人头皮发麻的定理，而是先用一系列生动的现实生活中的例子来铺垫。比如，书中关于资源分配的讨论，不再是枯燥的线性规划表格，而是将我们日常生活中遇到的“如何以最少成本完成最多任务”的困境，一步步解构成了清晰的数学模型。我尤其欣赏其中关于迭代过程的描述，作者仿佛化身为一位耐心的向导，一步步带领我们走过每一步的优化路径，让我清晰地看到了“局部最优”如何逐步逼近那个我们梦寐以求的“全局最优”。那种豁然开朗的感觉，真的比解出一道难题还要过瘾。读完前半部分，我甚至开始尝试用这种思维去分析我自己的工作流程，虽然结果不尽完美，但思维模式的转变，才是这本书带给我最大的财富。它不是一本让你看完就能成为专家的教科书，而更像是一把钥匙，打开了你理解世界运行底层逻辑的一扇门。

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这本书的结构安排非常具有逻辑层次感，它不像一本拼盘式的知识集合，更像是一部层层递进的史诗。开篇宏大叙事，将优化理论置于整个科学和工程的背景之下，让你理解它为何重要，它解决了哪些人类历史上的难题。然后，它逐步深入，从基础的凸优化理论，过渡到非凸问题的处理，再到动态系统的优化。最让我受益的是关于“对偶理论”的章节。以前我觉得对偶问题只是一个数学技巧，用来简化计算，但书中通过经济学的边际成本解释，将对偶变量的意义阐述得淋漓尽致——它们代表了资源的稀缺性和边际价值。这种跨学科的解释，极大地增强了理论的直观性和说服力。它不再是空中楼阁，而是与我们日常经济活动的底层逻辑紧密相连。这种深刻的洞察力，让我对该领域产生了更深层次的敬意，也让我意识到，真正的优化大师，一定是那些能将数学工具与现实世界深刻洞察完美结合的人。

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说实话，这本书的深度绝对不是盖的，它挑战了我对“效率”这个词的传统认知。我原本以为优化无非就是算得更快、用得更省，但这本书拓展了我的视野，让我意识到优化更是一种关于“选择”的艺术。书中对启发式算法的探讨部分，简直是为我量身定做的。在处理那些计算量庞大到令人绝望的问题时，传统的精确求解方法往往会因为时间限制而束手无策，而这本书提供了一套“足够好”的解决方案。我特别喜欢其中关于“模拟退火”的阐述，那种将“随机性”融入确定性决策过程的哲学意味，让我深思。它不是让你去相信运气，而是教你如何科学地利用不确定性来跳出陷入僵局的“局部最优解”。这种处理高维复杂问题的视角，与我过去接触的任何工具书都有着本质的区别。它不再关注于单一的计算技巧，而是构建了一个宏观的决策框架。这本书的排版和图示设计也值得称赞，虽然内容艰深，但配合恰到好处的图表，使得那些抽象的收敛曲线和解空间搜索过程变得相对直观，这对于非纯数学背景的读者来说，无疑降低了理解门槛，让我们可以将更多的精力集中在理解其背后的思想上，而不是被符号所困扰。

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我琢磨着先看完前四章！然后等有时间再把一下的扫完！

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