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出版者:Prentice Hall

作者:Winfried Karl Grassmann

出品人:

页数:750

译者:

出版时间:1995

价格:USD 115

装帧:Paperback

isbn号码:9780135012062

丛书系列:

图书标签:

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《逻辑学与离散数学》：洞悉思维的奥秘与计算的基石 内容梗概： 本书致力于为读者提供一个坚实的逻辑推理基础，并深入探索离散数学的核心概念。我们将从最基本的逻辑命题和推理规则出发，逐步构建起严谨的思维框架。随后，本书将带领读者穿越组合数学的奇妙世界，探索计数、排列、组合的精妙之处，理解图论在描述和分析网络结构中的强大力量，并涉足集合论的基础知识，为理解更复杂的数学结构奠定基石。此外，书中还将触及关系、函数等核心离散结构，以及它们在计算机科学、工程学和各类建模问题中的广泛应用。 详细内容介绍： 第一部分：逻辑的艺术与严谨 命题逻辑： 本章将剖析命题的本质，学习如何将日常语言中的陈述转化为形式化的命题。我们将掌握命题的联结词（如“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“当且仅当”），并理解真值表在判断复合命题真伪时的关键作用。重点将放在逻辑等价、蕴含关系以及重言式、矛盾式和可满足式的概念上，使读者能够精确地辨析逻辑关系，避免模糊和谬误。 谓词逻辑： 在命题逻辑的基础上，本章将引入量词（全称量词“∀”和存在量词“∃”），从而能够表达更丰富、更具普遍性的陈述。我们将学习如何将带有变量的谓词表达式转化为具有明确意义的语句，并掌握量词的辖域以及量词的等价关系。这部分内容将为理解数学证明和程序逻辑打下坚实基础。 证明方法： 逻辑推理的核心在于证明。本章将系统介绍多种经典的证明技巧，包括直接证明、间接证明（反证法、逆否证法）、数学归纳法以及构造性证明和非构造性证明。读者将通过大量的实例学习如何运用这些方法来论证命题的真伪，培养严谨的数学思维和解决问题的能力。 第二部分：离散数学的广阔天地 集合论基础： 集合是构建数学大厦的基石。本章将介绍集合的基本概念，如元素、子集、空集、全集等。我们将学习集合之间的运算，包括并集、交集、差集和补集，并探索它们之间的各种性质和定理。笛卡尔积的概念也将被引入，为理解关系和函数打下基础。 关系与函数： 关系描述了集合元素之间的联系，而函数则是特殊的关系。本章将深入研究关系的类型，如自反关系、对称关系、反对称关系、传递关系等，并重点介绍等价关系和偏序关系。随后，我们将聚焦于函数的定义、性质（如单射、满射、双射），以及函数的复合和逆函数，这些概念在算法分析和数据结构中至关重要。 组合数学： 组合数学研究有限集合的计数和结构。本章将涵盖排列、组合的基本公式，以及它们在不同情境下的应用，例如如何计算从一组元素中选择若干元素的不同方式。二项式定理、容斥原理以及鸽巢原理等经典计数工具也将被详细讲解，帮助读者解决复杂的计数问题。 图论入门： 图是一种强大的数学模型，用于表示对象及其之间的连接关系。本章将介绍图的基本概念，如顶点、边、度、路径、连通性等。我们将探索不同类型的图（如无向图、有向图、加权图），并学习一些重要的图算法，例如求最短路径的Dijkstra算法和求解最小生成树的Prim算法。图论在网络分析、社交网络研究、物流优化等领域有着广泛的应用。 数论基础（选讲）： 尽管重点在于逻辑和离散数学，本书也会简要介绍数论中的基础概念，如整除性、模运算、素数、最大公约数和最小公倍数。这些概念在密码学、编码理论等领域扮演着重要角色，为读者提供更广阔的视野。 本书特色： 本书以清晰的语言、丰富的实例和循序渐进的教学方法，旨在帮助读者构建起坚实的逻辑思维能力和扎实的离散数学基础。书中穿插了大量练习题，涵盖了从基础概念的理解到复杂问题的解决，鼓励读者主动思考和实践。此外，本书还强调了逻辑和离散数学在计算机科学、工程学、经济学等众多领域中的实际应用，帮助读者认识到这些抽象概念的强大力量和现实意义。无论您是数学专业的学生，还是希望提升逻辑思维能力和解决问题能力的各领域从业者，本书都将是您不可或缺的学习伙伴。

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这本书的排版风格极其简洁，几乎可以说是“反时尚”的设计，白纸黑字，没有任何花哨的插图或彩页，这让我一度怀疑自己是不是买到了盗版或者陈旧的版本。然而，一旦沉下心来阅读，我发现这种极简主义反而帮助我集中了注意力，没有多余的视觉干扰。我购买它的初衷是想在学习编译原理之前，把形式语言和自动机理论的部分过一遍，毕竟那块总让我感觉云里雾里。这本书在这方面的讲解，可以说是**教科书级别的严谨**。它对形式语言的层次划分，以及从有限自动机到下推自动机的每一步演进，都给出了非常清晰的数学证明和模型构建过程。我特别喜欢作者处理证明题的方式，他们倾向于提供完整且可追溯的推导步骤，而不是直接跳到结论，这对于培养严谨的数学思维至关重要。虽然有些读者可能会觉得这种深入挖掘证明过程有些“拖沓”，但我恰恰认为这是它的核心价值所在——它不仅仅告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么是这样”。在学习过程中，我发现自己需要频繁地查阅前面的章节来巩固某个引理或定义，这侧面印证了这本书结构上的高度关联性和内在的连贯性。它要求读者必须按部就班，不能跳读，否则很容易在某个抽象的逻辑节点上迷失方向。对于那些追求理论深度和证明完整性的读者，这本书无疑是极佳的选择。

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这本书的封面设计得相当朴实，乍一看会让人觉得它可能是一本年代久远的教科书，没什么吸引力。我是在一位教授的推荐下购入的，主要目的是想系统梳理一下离散数学的基础知识，因为在后续的算法学习中，这些概念总是时不时地冒出来，让我感到力不从心。初翻起来，内容确实很扎实，像是把一本厚厚的参考书浓缩了精华。作者在集合论和逻辑推理部分的处理上显得格外细致，特别是对那些容易混淆的符号和定义，给出了不少带着生活气息的例子来辅助理解，这对于我这种偏爱直观解释的学习者来说，是件好事。我特别欣赏它在基础概念讲解完毕后，迅速衔接到实际应用场景的过渡方式，而不是单纯地堆砌理论公式。比如，在讲解图论的时候，它不仅仅停留于树和环的定义，而是立马将这些概念与网络拓扑结构联系起来，让我感觉自己不是在啃枯燥的数学，而是在学习一种解决实际问题的工具。不过，坦白说，对于那些已经对这些领域有深入了解的人来说，这本书的前半部分可能会显得有些冗余，但对于初学者或者需要温故知新的人，它的详尽程度恰到好处，就像一位耐心且不厌其烦的导师，一步步地为你搭建起坚实的知识框架。总的来说，它更像是一本“工具箱”而非“速查手册”，需要你投入时间去细细研读，才能真正体会到它内在的逻辑脉络和实用价值。

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说实话，这本书的引进和翻译质量着实让人捏了一把汗，毕竟涉及大量的数学术语和逻辑符号的精确对应，稍有不慎就会产生歧义。幸运的是，这本书的译者显然对领域有着深刻的理解。我主要关注的是它在组合数学部分的阐述。我一直觉得组合数学是最考验直觉和技巧的领域之一，很多计数问题常常让人陷入无从下手的困境。这本书处理计数原理时，采取了一种自下而上、层层递进的策略，从最基本的排列组合开始，然后巧妙地引入容斥原理，最后才过渡到更复杂的生成函数。最让我眼前一亮的是，它在介绍生成函数时，没有把它仅仅当作一个计算工具，而是深入探讨了它在解决递推关系中的本质作用，将其与幂级数展开的性质紧密结合。我记得书里有一个关于帽子问题的例子，作者不仅给出了标准解法，还用生成函数的方法进行了验证，这种多角度的审视，极大地拓宽了我对同一问题的不同解题视角的认知。唯一的遗憾是，书中对一些前沿或交叉领域的应用案例介绍得相对保守，更多聚焦于经典问题的解决，如果能增加一些现代密码学或数据结构优化中的应用实例，想必会更受关注高效应用的新一代读者喜爱。

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我购买这本书并非为了应付考试，而是出于一种“学术洁癖”，希望将自己关于计算机科学基础的知识图谱补齐。这本书的优点在于其内容组织上的**模块化和独立性**。虽然它涵盖了从基础逻辑到离散结构的大量主题，但每个章节似乎都能相对独立地作为一本小册子来阅读和学习。比如，我花了整整一个周末专门钻研了关系和函数那一章，这本书对于偏序关系、等价关系以及它们在特定代数结构中的表现，提供了令人印象深刻的清晰度。它不仅仅是罗列了定义，而是通过大量精心构造的反例和正例，来**打磨读者的直觉**，让你能立刻分辨出哪些操作会破坏某种关系。这种教学设计非常适合那些需要利用离散数学知识来设计数据库模式或进行形式化验证的人。然而，我必须指出，这本书的**难度曲线非常陡峭**。如果读者没有扎实的代数预备知识，直接从头阅读可能会感到吃力，特别是进入到布尔代数和格论的部分时，抽象层次的跳跃感会非常明显，这时就非常考验读者的自我调节和回顾能力了。它不提供“速成”的捷径，它提供的只是一条需要步步为营、不断回顾的羊肠小道。

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这本书在我书架上的位置已经很久了，但直到最近我才开始系统地把它从头到尾读完。它给我的整体感觉是**极其内敛且自洽**，像一个自给自足的数学世界。我主要对它的证明理论部分感兴趣，想看看它如何处理归纳法和递归的严谨性。这本书对数学归纳法的讲解，尤其是在基础步骤（Base Case）和归纳步骤（Inductive Step）的论证逻辑上，做了非常细致的剖析，甚至讨论了超限归纳法的基本概念。最让我感到耳目一新的是，它在讲解递归关系时，非常自然地引入了数学归纳法作为验证解的工具，这种“用一门工具来验证另一门工具”的做法，体现了数学内部的和谐统一性。在语言风格上，这本书非常**克制**，几乎没有多余的形容词或劝导性话语，所有的信息都以最简洁、最直接的方式呈现出来，这对于习惯了口语化教学的当代学生来说，可能需要一个适应期。它要求你必须带着自己的思考去“填补空白”，而不是被动地接受信息。总而言之，这是一本需要投入情感和专注力的书，它不会主动讨好读者，但它所蕴含的知识深度和逻辑骨架，足以支撑起对离散数学深入研究的雄心。

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