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isbn号码:9787504525925

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《代数几何基础：从线性空间到代数簇》 本书简介 本书旨在为高等数学、物理学以及计算机科学等领域的学生和研究人员提供一套扎实且深入的代数几何基础知识。我们聚焦于现代代数几何的核心概念，构建起连接抽象代数结构与具体几何对象的桥梁。全书结构严谨，论证详实，力求在保持数学严密性的同时，提供清晰直观的几何解释。 第一部分：预备知识与基础结构 本书首先回顾了读者应具备的代数基础，并引入了代数几何中至关重要的工具。 第一章：环、域与模 我们从更广阔的视角审视了交换环的结构，超越了多项式环的基本范畴。重点讨论了理想的性质，特别是素理想和极大理想在描述几何对象（如局部化）中的作用。详细分析了诺特环的概念及其在代数几何中的重要性——作为定义良性代数空间的代数条件。模论部分，我们深入探讨了有限生成模的结构定理，并将其应用于理解向量空间的推广，为后续的向量丛理论打下基础。 第二章：概形论的萌芽——局部化与层 本章着手构建代数几何的语言。我们详细阐述了环的局部化构造，解释了如何从一个全局的代数对象（环）过渡到描述其“局部行为”的结构。在此基础上，引入了拓扑空间的概念，并构建了最基本的代数拓扑结构——Zariski拓扑。随后，我们引入了预层和层（Sheaves）的概念，特别是结构层 $mathcal{O}_X$。我们详细讨论了层在描述函数局部性质上的优越性，并严格定义了预层、层、层映射以及纤维积等基本操作，为概形和方案的定义做足了准备。 第二部分：方案的构造与性质 这是本书的核心部分，我们将正式引入方案（Scheme）的概念，这是现代代数几何的基石。 第三章：环谱与方案 我们从阿蒂亚-金斯伯格的谱概念出发，系统地构造了环谱 $mathrm{Spec}(R)$。我们详细分析了 $mathrm{Spec}(R)$ 上的 Zariski 拓扑、不可约闭子集与素理想之间的对应关系，以及典范层 $mathcal{O}_{mathrm{Spec}(R)}$ 的构造。在此基础上，本书超越了经典代数几何，引入了“方案”的严格定义，将 $mathrm{Spec}(R)$ 推广到更一般的结构。我们详细讨论了从环到方案的函子性，并分析了不同类型的环（如整环、Noether环、离散赋值环）所对应的方案所具有的几何特性。 第四章：态射与几何变换 方案之间的态射是代数几何中的“连续映射”。本章专注于定义和分析方案之间的态射 $f: X o Y$。我们通过研究诱导的环同态 $f^: mathcal{O}_Y o f_mathcal{O}_X$ 来刻画态射的性质。详细讨论了闭浸入、开浸入、同构、谱态射（与环的局部化有关）以及闭点态射等重要类型。通过考察这些态射对 Zariski 拓扑和结构的保持或改变，读者可以建立起代数操作与几何变换之间的直观联系。 第五章：局部性质与完备性 几何对象的局部性质往往比全局性质更容易研究。本章将聚焦于方案的局部化，特别是“完备化”的概念。我们详细分析了理想 $I$ 对应的完备化 $mathrm{Spec}(R)^wedge$ 与 $V(I)$ 的局部化 $X_I$ 之间的关系，并阐述了完备化在研究奇点附近的结构时的不可替代性。此外，我们引入了相切空间的概念，并将其代数化为 $mathrm{Ext}^1$ 的计算，这是研究奇点化简的先决条件。 第三部分：簇与维度理论 本部分将焦点从抽象方案转移到更具“几何实体感”的代数簇，并引入了至关重要的维度概念。 第六章：代数簇与射影空间 我们回顾了经典代数几何中的概念——仿射空间 $mathbb{A}^n_k$ 上的代数集（即仿射簇），并将其提升为方案的特例。随后，我们详细构建了射影空间 $mathbb{P}^n_k$ 及其上的相应概念。我们深入研究了齐次坐标、齐次理想与射影簇之间的对应关系，并定义了射影簇上的结构层。本章强调了射影空间在处理无穷远点和完成代数图景上的优势。 第七章：维度与正则性 维度是几何对象的首要不变量。本书提供了几种等价的维度定义，包括 Krull 维度、拓扑维度和基于零维空间的定义，并证明了它们在诺特定拟代数簇上的等价性。我们详细讨论了高度（Height）的概念，并利用升链条件证明了维度公式。最后，我们引入了正则性（Regularity）的概念，通过考察局部环的正则性定义了正则点，并讨论了正则性如何与代数上更优美的性质（如光滑性）相关联。 第八章：因子与李代数 本章探讨了如何量化代数簇上的“自交”或“接触”程度。我们引入了除数（Divisors）的概念，区分了卡蒂埃因子（Cartier Divisors）和阿贝尔因子（Weil Divisors），并分析了它们在光滑流形上的等价性。我们还探讨了函数域 $K(X)$ 上的性质，并简要介绍了李代数在某些特定情形下（如微分算子）如何帮助我们理解奇点的局部结构。 附录：同调代数的初步应用 附录简要介绍了上同调（Cohomology）的基础概念，特别是对 $H^0$ 和 $H^1$ 的直观解释，展示了这些工具如何在更高级的代数几何中应用于向量丛的分解和模空间的形貌研究。 本书特色： 1. 严谨的现代视角： 全书以“方案”为基础语言，而非停留在经典代数集合的层面。 2. 几何直觉的强调： 每一项抽象定义后，都配有详尽的几何背景解释，帮助读者理解为何如此构造。 3. 逐步深入： 从环论过渡到层论，再到方案，知识点层层递进，逻辑链条完整清晰。 本书适合作为高等代数、微分几何或理论物理专业研究生阶段的教材或核心参考书。阅读本书需要具备扎实的抽象代数基础知识。

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（评价二） 我是一位刚入职的初中数学教师，在备课过程中常常感到力不从心，特别是如何让枯燥的数学变得生动有趣，一直是我面临的巨大挑战。《数学教学大纲》这本书，真的为我打开了一扇新的大门。它不仅仅是罗列知识点，更重要的是，它深入剖析了数学的本质魅力，以及如何将这份魅力传递给学生。书中关于“数学的语言”和“数学的思想”的阐述，让我认识到，我们教给学生的不仅仅是公式和定理，更是用一种严谨而富有逻辑的方式去思考世界。我特别喜欢它举例说明如何通过生活中的情境来引入数学概念，比如在讲解概率时，作者并没有直接抛出公式，而是从抽奖、天气预报等孩子们熟悉的场景入手，让抽象的概念变得鲜活起来。此外，书中关于数学史的穿插介绍，也让我了解到许多伟大数学家探索真理的艰辛历程，这无疑会增加课堂的趣味性，激发学生的好奇心。总的来说，这本书为我提供了一种全新的教学视角，让我更加自信地去探索如何激发学生的数学学习兴趣。

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（评价一） 这本《数学教学大纲》简直是教育工作者的福音！我是一名高中数学老师，常年奔波于教材、教案、学生辅导之间，总觉得时间不够用。阅读这本书的过程，就像突然拥有了一个能够拨云见日的助手。它没有提供一套死板的教学模板，而是提供了一种深入浅出的思维框架，让我能够从宏观上审视整个数学课程体系。书中关于课程设计理念的阐述，特别是如何将抽象的数学概念与学生的认知发展阶段相结合，给我留下了深刻的印象。举例来说，它详细分析了不同年级学生在理解函数概念时的普遍难点，并提供了循序渐进的教学策略，这让我恍然大悟，之前许多教学上的瓶颈似乎迎刃而解。而且，这本书的语言风格非常务实，没有空泛的理论说教，而是充满了可操作性的建议。我尤其欣赏它在评估学生学习成果方面提出的多元化思路，摆脱了单一的考试分数至上，而是强调对学生数学思维能力、解决问题能力的考察。读完后，我感觉自己对数学教学的理解层次得到了极大的提升，不再是零散的知识点堆砌，而是有了一个完整、系统的教学蓝图。

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（评价三） 我是一名从事数学教育研究多年的学者，一直致力于探索更有效的数学教学模式。《数学教学大纲》这本书，虽然视角更偏向实践操作，但其理论深度和前瞻性依然令我赞叹。它对数学课程标准中核心素养的解读，以及如何将这些素养融入日常教学，进行得非常透彻。我尤其欣赏书中对“数学建模”和“数学推理”能力培养的重视，这正是当前教育改革所强调的关键点。作者在书中提出的“问题驱动式”学习方法，通过引导学生主动发现问题、分析问题、解决问题，来构建自身的数学知识体系，这一点非常有启发性。我认真研究了书中关于如何设计探究性学习任务的案例，发现这些案例的设计不仅能有效提升学生的思维能力，更能培养他们合作学习和沟通交流的能力。这本书的价值在于，它能够帮助一线教师将宏观的教育理念落地，转化为具体的教学实践，从而推动整个数学教育水平的提升。

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（评价四） 作为一位家长，我一直希望我的孩子能够真正理解数学，而不是死记硬背。《数学教学大纲》这本书，让我对如何引导孩子学习数学有了更清晰的认识。书中关于“数学思维的培养”的论述，让我意识到，比起分数，更重要的是让孩子学会如何思考。我被书中关于“数学游戏化”的建议所吸引，例如通过一些简单的益智游戏来锻炼孩子的逻辑思维和空间想象能力，这比传统的练习册有趣得多。而且，书中还提供了很多家长可以参与的家庭数学活动建议，这让我觉得，学习数学不再是学校的专利，家庭也可以扮演重要的角色。它也帮助我理解了孩子在学习过程中可能遇到的困难，并提供了相应的支持策略，让我知道如何更有效地与老师沟通，共同帮助孩子。总而言之，这本书让我从一个家长的角度，对孩子的数学学习过程有了更全面的理解和更科学的引导方法。

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（评价五） 我是一位长期关注教育发展的独立评论员，最近有幸阅读了《数学教学大纲》一书，深感其在当前数学教育改革浪潮中的重要意义。本书并非一本简单的教学指南，而是对数学教育理念的一次系统性梳理和创新性探索。作者在书中对“以学生为中心”的教学模式进行了深入的阐释，强调了在教学过程中，教师的角色应该是引导者而非灌输者。书中对于如何构建一个鼓励学生提问、质疑、独立思考的学习环境，提供了大量切实可行的建议。我尤其对其关于“数学的跨学科应用”的论述印象深刻，它揭示了数学在科学、技术、工程、艺术等各个领域中的广泛联系，有助于打破学科壁垒，拓宽学生的视野。这本书的价值在于，它不仅为教师提供了方法论上的指导，更重要的是，它激发了教育工作者对数学教育本质的思考，推动了数学教育向更人性化、更个性化的方向发展。

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