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isbn号码:9787563312047

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《几何基础：从欧几里得到黎曼》 内容简介 第一部分：欧氏几何的严谨基石 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的几何学知识体系，从最基础的公理出发，逐步深入到现代数学中的复杂几何结构。我们从古希腊的辉煌遗产——欧几里得几何——开始。 第一章：公理体系的构建与逻辑推理 本章详述了欧几里得几何的五个基本公设及其推论。重点分析了“平行公设”的历史地位及其在数学逻辑中的核心作用。我们将深入探讨如何通过严谨的演绎推理，从一组不证自明的公理出发，构建出关于点、线、面、角、三角形等基本概念的完整理论。内容涵盖了全等性判定（SSS, SAS, ASA等）的严格证明，以及多边形内角和定理的多种证明路径。此外，我们还会探讨几何证明中的“反证法”和“构造法”等重要论证工具的应用。 第二章：平面几何的精妙构造 聚焦于二维平面内的几何现象。本章详细阐述了圆的性质，包括圆心角、圆周角的关系，切线的性质，以及圆的内接与外切多边形。对相似三角形的判定及其应用进行了深入剖析，特别强调了相似比在求解长度、面积和体积比例中的作用。此外，本章引入了更高级的平面几何工具，如欧拉线、九点圆等重要定理的起源和性质推导。 第三章：立体几何与空间想象力 将视角提升到三维空间。本章系统介绍了点、线、面在空间中的相互位置关系（平行、相交、垂直）。详细讨论了各种基本立体，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体的定义、性质及其表面积和体积的计算公式的推导过程。重点讲解了三视图（正投影）的原理及其在工程和建筑中的应用，培养读者构建和操作空间图形的能力。对线面角、二面角的精确测量和计算方法进行了详细的演示。 第二部分：非欧几何的革命性突破 随着数学的发展，人们开始质疑欧几里得几何的绝对性。本部分将带领读者探索平行公设被否定的结果——非欧几何，理解几何学的多样性。 第四章：罗巴切夫斯基几何的“发散世界” 本章详细介绍了罗巴切夫斯基（或称双曲）几何的公理体系，其中平行公设被替换为“过直线外一点有无数条平行线”。我们将探讨双曲空间中的基本性质，例如三角形内角和恒小于180度。通过庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）等模型来可视化这种“负曲率”的空间，观察其与欧氏几何中直线、角度和距离概念的根本差异。 第五章：黎曼几何的“封闭宇宙” 本章转向具有“正曲率”的黎曼几何，特别是球面几何。阐述了球面几何的公理结构，其中平行线概念被彻底取代（任何两条“直线”——即大圆——必相交）。分析了球面三角形的特性（内角和大于180度），并探讨了其在地理学和天文学中的实际应用，如航海中的最短路径问题。 第三部分：解析几何与现代桥梁 为了实现几何学与代数学的有效结合，本部分将介绍解析几何，它是连接几何直观与代数运算的强大工具。 第六章：笛卡尔坐标系的建立与应用 从笛卡尔坐标系的建立开始，系统介绍如何用代数方程来表示几何图形。深入分析直线、圆、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的代数方程，以及它们在平面上的精确描述。本章重点在于理解如何通过坐标变换（如平移和旋转）来简化复杂曲线的方程，并引入向量的概念来简化空间几何的计算。 第七章：空间解析几何与二次曲面 将解析几何扩展到三维空间。介绍空间直角坐标系，并详细讨论空间直线和平面的方程表示法（点法式、一般式）。本章的重点在于二次曲面——如椭球面、抛物面、双曲面等——的分类、标准方程及其几何性质的代数刻画。理解如何利用微积分的初步知识，如斜率和曲率，来分析几何对象的局部特性。 第四部分：微分几何的初步探索 本书的最后部分，是通向现代几何学的门户，介绍如何使用微积分工具来研究弯曲的空间。 第八章：曲线与曲面的微积分 本章引入了空间曲线的弧长参数化、切向量和法向量的概念。随后过渡到曲面的研究，重点介绍曲面的第一基本形式和第二基本形式。深入探讨高斯曲率的概念，理解曲率如何量化空间弯曲的程度，并阐述高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的深刻意义——即曲率可以通过内蕴方式（不依赖于嵌入空间）来测量。 结语 通过对欧氏几何、非欧几何、解析几何和微分几何的循序渐进的探讨，《几何基础》不仅为读者提供了应对高等数学和理论物理所需的几何素养，更重要的是，它揭示了数学抽象思维的强大力量，展示了人类如何通过逻辑和想象力构建和理解我们所处的空间结构。本书适合所有对几何学有浓厚兴趣，并希望建立系统化、深入理解的理工科学生和研究人员。

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这本书的装帧质量，说实话，远远超出了我对同类教材的预期。纸张选择了非常厚实的铜版纸，手感温润，即使用力书写或涂画，也不会有墨水洇开的烦恼，这对于那些喜欢在书本上做笔记的孩子来说简直是福音。封面设计采用了UV工艺，使得书名和主视觉图案在光线下能呈现出微妙的立体光泽感，拿在手里很有分量，给人一种“这是一本值得珍藏的书”的直观感受。侧边书脊部分的印刷也非常平整，即便是经常翻阅，也不会出现松散或脱胶的现象，可见其装订工艺是相当考究的。我特地观察了它的装订线，即便是跨页的大图展示，也能做到画面平铺无折痕，这对保护视觉体验非常重要。整体来看，这本书的耐用度和美观度达到了一个很高的水平，即便是学期结束，也完全可以作为孩子的学习资料妥善保存，而不是被束之高阁或直接丢弃。这种对实体书品质的坚持，在如今电子阅读普及的时代，显得尤为可贵。

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这本书的插图设计真是令人眼前一亮，色彩的搭配既活泼又不失稳重，尤其是那些几何图形的展示，立体感十足，让人一眼就能抓住重点。我记得有几页讲解分数和小数的转换时，用了一个很有创意的“乐高积木”模型来比喻，一下子就把抽象的概念变得直观易懂了。作者显然非常懂得如何与处于这个年龄段的孩子沟通，语言风格幽默风趣，不像传统的教科书那样枯燥乏味，读起来更像是在听一个有趣的数学故事会。配套的练习册部分设计得也非常巧妙，不再是简单重复的计算题，而是加入了大量需要动脑筋的“数学侦探”类型的题目，鼓励孩子们去探索和发现数学规律，而不是死记硬背公式。这种引导式的教学方法，让我家孩子在不知不觉中就对数学产生了浓厚的兴趣，愿意主动去挑战那些看起来有点难度的部分。而且，书中的排版布局非常清晰，重点信息加粗或用不同颜色标出，即便是视力不太好的孩子也能轻松阅读，可见出版方在细节处理上是下了大功夫的。总体来说，这是一本能真正点燃孩子学习热情的优秀启蒙读物。

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这本书的配套学习资源，特别是其在线互动模块，给我留下了极其深刻的印象，它真正实现了线上线下的无缝衔接。书本封底提供了一个专属的二维码，扫码后可以进入一个针对该教材的互动学习平台。平台上的小测验设计得非常具有挑战性，但同时又提供了即时反馈和详细的错误解析，比书本后面的习题答案要丰富得多。更棒的是，平台内置了一个“虚拟实验室”，孩子们可以通过拖拽的方式模拟一些几何体的切割和组合，直观地观察体积和表面积的变化，这对于理解立体几何的初步概念是无价的资源。而且，这些互动练习的时间是可控的，家长可以设置每天的学习时长上限，避免孩子过度沉迷于屏幕。这种多媒体的辅助学习，极大地增强了学习的沉浸感和探索欲，让枯燥的练习环节变成了一场有趣的探索游戏，真正做到了与时俱进，让传统教材焕发了新的生命力。

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从一个教育工作者的角度来看，这本书在“跨学科融合”方面做得非常出色，远不止于单纯的数学技能训练。它巧妙地将数学知识与生活场景、简单的科学现象联系起来，让数学不再是一个孤立的学科符号。例如，在讲解面积和周长时，书中配有绘制自家花园布局的活动页，鼓励孩子测量、计算，并将结果应用到实际规划中；还有一些关于时间分配的题目，融入了健康作息和运动计划的元素。这种将数学“工具化”的展示方式，极大地提升了学习的实用价值和趣味性。孩子不再是被动地接受知识点，而是主动地去运用所学知识解决实际问题。此外，书中对一些数学历史小知识的点缀也很有意思，虽然占比不大，但足以激发孩子们对数学起源的好奇心。这种潜移默化的教育方式，培养的不仅是计算能力，更是解决问题的思维模式和对周围世界的好奇心。

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我必须要赞扬一下这本书在逻辑构建上的严谨性，这对于打下坚实的数学基础至关重要。虽然面向的是初学者，但它在引入新概念时，每一步的过渡都经过了深思熟虑，环环相扣，没有留下任何逻辑上的跳跃点让读者感到困惑。比如在讲解基础的加减法运算时，它首先回顾了数位的概念，然后才引入进位和借位的复杂操作，每一步都建立在之前学过的知识之上，稳扎稳打，令人信服。我尤其欣赏它在引入“量”的概念时所采用的对比方法，通过实物和图形的对照，让孩子们对“多一点”、“少一些”这些相对概念有了精确的理解。这种从具象到抽象的循序渐进过程，有效地避免了低龄学习者常见的“似懂非懂”的状态。即便是作为家长辅导时，我也能感受到作者在编排上的专业性，它提供的参考答案和解析详尽而准确，几乎不需要我额外去查阅资料来确认解题思路的正确性。这本书的结构布局就像一个精心设计的迷宫，每走一步都有清晰的指引，最终都能安全抵达知识的核心。

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