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页数:222

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出版时间:2008-7

价格:26.00元

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isbn号码:9787502628321

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
• 线性代数
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《解析几何的深邃景观》 图书简介 本书旨在为读者构建一个清晰、严谨且富有洞察力的解析几何知识体系。不同于传统教材可能侧重的繁琐计算和公式堆砌，我们更强调几何直觉与代数工具的深度融合，力求揭示空间结构背后的数学美感与逻辑必然性。 第一部分：二维空间的重建与维度认知 本部分从基础的笛卡尔坐标系出发，系统回顾了向量在线性空间中的基本运算及其几何意义。我们不再将向量视为简单的箭头，而是深入探讨其作为线性组合生成子空间的本质。 向量空间与基底的选取： 详细阐述了平面上向量空间的概念，如何通过一组线性无关的向量张成整个空间，并讨论了坐标变换对向量表示的影响，为理解更高维度打下坚实基础。 平面曲线的代数刻画： 重点分析了直线、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的二次方程表示。我们不仅会推导这些曲线的定义式，更会利用矩阵方法（二次型）对这些曲线进行分类和规范化处理。例如，通过主轴变换，将复杂的二次方程简化为标准形式，从而揭示曲线的内在几何属性，如焦点、准线和离心率的几何生成过程。 几何变换的矩阵表达： 对平移、旋转、缩放、反射等基本几何变换进行深入剖析。每一个变换都被表示为一个具体的二维矩阵，读者将清晰地看到矩阵乘法如何对应于空间中的连续运动。尤其对相似变换和仿射变换的性质及其不变量进行了详尽的讨论。 第二部分：三维世界的拓扑与形态 跨入三维空间，我们的讨论核心转向如何利用代数工具描述三维实体及其相互关系。 空间向量与坐标系： 引入空间直角坐标系，探讨向量的点积（内积）和叉积（外积）在三维空间中的全新几何解释。点积用于测量投影和角度，而叉积则直接给出了与两个向量都垂直的法向量，这是理解平面和直线空间位置关系的关键。 空间直线与平面的方程： 详细比较了直线的点向式、两点式、交线式以及平面的法式、点法式。我们着重分析了如何通过求解联立方程组来确定两条直线、直线与平面的交点、乃至两个平面的交线，强调了方向向量和法向量在描述空间定向中的核心作用。 二次曲面及其分类： 这是本部分的高潮。球体、椭球面、双曲面、抛物面等二次曲面的标准方程将被系统推导。我们引入了截面法，即通过特定平面对曲面进行切割，观察截面形状来反向推断曲面的整体形态。例如，通过分析不同 $z$ 值下的截面，可以直观理解椭球面是如何由一系列同心椭圆构成的。 第三部分：微积分的几何基础——极限与连续性 虽然本书的核心是解析几何，但为了更好地支撑后续的微积分学习，本部分将解析几何中的几何概念与微积分的早期思想相结合。 曲线上切线的代数几何探究： 在不直接引入导数概念的前提下，我们探讨如何用极限的思想逼近曲线上某一点的切线斜率。这涉及曲线上两点连线斜率的极限过程，将代数上的 $y_2-y_1$ 除以 $x_2-x_1$ 在 $Delta x o 0$ 时的行为进行几何直觉的铺垫。 面积与体积的黎曼和初探： 通过对规则图形（如抛物线下的面积）进行无限细分的矩形求和，初步展示积分作为累积过程的几何意义。这为读者理解定积分的本质提供了坚实的、基于几何分割的直观基础。 本书特色与目标读者 本书的编排逻辑遵循从低维到高维、从直观到抽象的递进原则。大量精选的例题和思考题不仅检验对公式的掌握，更着重考察逻辑推理能力和空间想象力。我们力求通过清晰的图示和严谨的数学语言，帮助读者真正“看到”代数方程在空间中描绘出的几何实体，从而为学习线性代数和多变量微积分打下不可动摇的解析基础。 目标读者： 零起点或基础薄弱的理工科学生、需要系统梳理解析几何知识的在职工程师，以及对纯粹几何美学抱有浓厚兴趣的自学者。

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这本《高等数学基础》的包装设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色字体，一下子就给人一种严谨而又不失现代感的印象。我最初抱着很高的期望翻开它，毕竟“基础”二字在书名中显得如此郑重，让人觉得这或许是通往更深奥数学世界的敲门砖。然而，实际阅读体验却像走在一条铺满鹅卵石的路上，每一步都需要小心翼翼地调整重心。它在基础概念的阐述上，比如极限的定义和连续性的直观理解部分，确实下了一番功夫，用了不少类比和图示来辅助说明，这一点值得肯定。比如它解释 $epsilon-delta$ 定义时，引入了一个关于“狐狸追兔子”的场景故事，虽然稍显老套，但在帮助我这种对抽象概念感到吃力的读者建立初步感知方面，起到了不错的作用。但是，一旦进入到更具体的操作层面，比如微积分的公式推导和定理证明，内容的密度陡然增加，文字的叙述方式也变得过于书面化，缺乏必要的过渡和“语境铺垫”。我感觉作者仿佛预设了读者已经完全理解了前一页的内容，直接跳跃到了下一层级的逻辑链条上，这使得我在尝试跟上推导过程时，常常需要翻回好几页去重新咀嚼那些看似已经掌握的定义。对于初学者而言，这种“高密度信息轰炸”的叙事方式，无疑增加了学习的挫败感。可以说，它在“启蒙”阶段的表现尚可，但在真正建立起扎实的“体系框架”上，显得有些力不从心，留下了不少需要读者自行“填补空白”的环节。

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我对这本书的排版和印刷质量还是比较满意的，毕竟这是一本需要反复翻阅和演算的教材。纸张的厚度适中，墨水浓淡均匀，即使用荧光笔做了大量标记，背面也很少透墨，这对于长期使用来说是个加分项。不过，内容组织上的问题，实在是让人难以忽视。这本书似乎更偏向于“知识点的罗列”而非“思维的引导”。每一章的结构都像是一个精心制作的清单，定理、公式、例题，一一罗列，清晰明确，无可挑剔。问题在于，它缺乏对这些知识点之间内在联系的深入挖掘和系统性的梳理。例如，在讲解定积分和不定积分的关系时，我期待看到更多关于“微积分基本定理”在解决实际问题时是如何体现其本质思想的讨论，而不是仅仅停留在公式的套用上。书中的例题设计，虽然数量可观，但很多题目都像是对前述公式的直接代入和简单变式，缺乏那种能让人眼前一亮、需要真正调动所学知识进行灵活组合的“挑战性”题目。这使得我的学习过程更像是一个机械的训练，而非一次充满乐趣的智力探索。读完一章，我总有一种“好像什么都懂了，但又好像什么都不精通”的漂浮感，缺少那种“豁然开朗，原来如此”的醍醐灌顶的体验。

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这本书在章节的深度控制上显得有些不平衡，让人感觉像是赶工拼凑起来的。比如，前几章关于极限和连续性的铺陈，可以说是细致到了有些啰嗦的地步，每一个定义、每一个引理都被给予了大量的篇幅进行解释和支撑。这种细致，在理论推导的严谨性上固然有好处，但也大大拖慢了阅读节奏，对于时间紧张的学习者来说，无疑是一种消耗。然而，当我们进入到应用性更强的部分，比如微分方程的初步介绍，内容的深度和广度却急转直下，显得仓促而肤浅。它介绍了最基础的一阶和二阶常微分方程的解法，但对于这些方程在实际物理或工程问题中的典型来源和模型建立过程，几乎没有涉及。就好比，它教你如何修理一台发动机的某个小螺丝，却从来不告诉你这台发动机是用来驱动一辆自行车的还是一架喷气式飞机的。这种“重理论轻应用”的失衡，使得读者很难感受到所学知识的实用价值和在整个科学体系中的地位，从而削弱了持续学习的内在驱动力。对于高等数学这门学科而言，应用场景的缺失，会让它变得愈发枯燥乏味，沦为纯粹的符号游戏。

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坦白说，当我开始阅读《高等数学基础》时，我满心期待的是一本能够真正为我打下坚实“基础”的书籍，它应该像一个耐心的老师，手把手地引导我穿越那些数学概念的迷雾。然而，这本书给我的感觉，更像是一部详尽的“数学工具箱说明书”。它非常详尽地列举了每一个工具（公式和定理）的功能和使用方法，但是对于“为什么要发明这个工具”以及“在什么复杂的工程场景下最适用”的背景介绍却非常稀疏。书中对几何直观的依赖似乎也有些不足。高等数学，特别是微积分，本就源于对变化和运动的刻画，图形和空间想象力是理解其核心思想的关键辅助。在这本书里，很多关于导数的几何意义，或者多元函数曲面的可视化描述，都仅仅是一笔带过，或者干脆省略了图形，直接转向了代数推导。这对于我这种视觉学习者来说，无疑是一种巨大的障碍。我常常需要在网上搜索额外的动态演示视频或者三维模型图，才能真正将书本上的抽象符号和现实世界的对应关系建立起来。如果一本定位为“基础”的书籍，不能有效地将抽象的数学语言与具象的物理世界或几何直观联系起来，那么它在培养学生数学思维方面，就完成了一半不到的工作。

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从排版细节来看，《高等数学基础》在公式的编号和引用方面做得还算规范，这在查阅特定公式时提供了便利。然而，书中对“习题解答”部分的态度却让人感到非常不解。全书的课后习题数量庞大，覆盖面广，理论上应该是一个巩固知识的绝佳环节。但令人遗憾的是，它只提供了部分选择题的最终答案，对于那些需要计算过程的证明题或应用题，则完全没有提供任何提示性的步骤或详尽的解题思路。这导致了一个非常尴尬的局面：我可以在做练习时很快知道自己是否算对了最终结果，却完全无法判断自己错在哪个环节——是概念理解有误？是代数运算失误？还是推理逻辑出现了跳跃？对于一本面向基础学习者的教材，缺乏详尽的“错题分析”和“解题示范”，无疑是削弱了其作为学习辅助工具的核心价值。它似乎更倾向于假设读者已经具备了独立解决所有问题的能力，而这与“基础”的定位背道而驰。最终，很多练习题成了只能望而生畏或者在黑暗中摸索的难题，而非促进理解的阶梯。

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