A Vector Space Approach to Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Melvin Hausner

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:1998-06-19

价格:USD 18.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486404523

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《几何之维》：穿梭于抽象空间，探索几何的根基 本书并非一本传统的几何教材，它不将焦点集中于尺规作图的精密推演，也不沉溺于三维图形的直观描绘。相反，《几何之维》以一种更为深刻和普适的视角，将读者引入数学中最具力量的工具之一——向量空间。在这里，我们不再拘泥于点、线、面的具体形态，而是将它们转化为抽象的向量，用代数的语言来驾驭几何的奥秘。 第一章：向量的黎明——从几何直感到代数表示 本书的起点，是对“向量”这一概念的重新审视。我们不会止步于物理学中速度、力等具象的向量，而是进一步理解其作为“有向线段”的本质，以及如何将其推广至更抽象的数学领域。从二维平面上的箭头，到三维空间中的位移，我们将看到向量是如何通过坐标表示，从而与代数组合紧密联系起来。本章将详细阐述向量的加法、减法、数乘运算，以及它们在几何上的直观意义，例如平行四边形法则和三角形法则。通过对这些基本运算的深入理解，读者将为后续的抽象化奠定坚实的基础。 第二章：向量空间——几何的抽象画布 真正将几何提升至全新层面的，是“向量空间”这一核心概念。我们将从“集合”的角度出发，定义一个向量空间需要满足的若干基本公理。这些公理看似抽象，却是维系整个几何体系的基石。我们将探讨零向量、负向量以及标量乘法的性质，理解它们如何在集合内部保持“封闭”的特性。通过大量的实例，我们将看到如实数域上的 $R^n$ 空间、复数域上的 $C^n$ 空间，甚至多项式集合、连续函数集合等，都能够被赋予向量空间的结构。本章旨在让读者理解，几何的本质并非局限于我们肉眼所见的形态，而是可以存在于更广阔、更抽象的数学结构之中。 第三章：线性无关与基——构建几何的骨架 在一个向量空间中，如何有效地描述和表示其所有元素？答案在于“线性无关”和“基”的概念。本章将深入探讨线性组合、线性相关与线性无关的定义和判定方法。我们将看到，一组线性无关的向量，如同一个几何体系的基本构件，它们之间不存在冗余。在此基础上，我们将引入“基”的概念——一个由线性无关向量组成的集合，它能够生成整个向量空间。本章将详细讲解如何选取基，以及不同基之间的转换关系。理解基的存在，就如同拥有了一套坐标系统，能够为空间中的任何一个点（向量）赋予唯一的“地址”。 第四章：线性变换——几何的动态视角 如果说向量空间是几何的静止画布，那么“线性变换”则是赋予这幅画布生命的笔触。本章将揭示线性变换的本质，理解它如何将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间（或自身）中的向量，并且保持向量加法和标量乘法的结构。我们将深入探讨线性变换的矩阵表示，学习如何通过矩阵的乘法来实现复杂的几何变换，例如旋转、伸缩、剪切和反射。本章还将介绍线性变换的核（Kernel）和像（Image）的概念，它们分别揭示了变换的“损失”和“覆盖”范围，对于理解变换的性质至关重要。 第五章：内积空间——度量几何的尺度 为了赋予几何以“长度”和“角度”等度量概念，我们需要引入“内积”的概念。本章将定义各种类型的内积（例如欧几里得内积），并探讨其基本性质，如线性性、对称性、正定性等。通过内积，我们可以定义向量的长度（范数）和向量之间的夹角，从而将抽象的向量空间与我们熟悉的欧几里得几何联系起来。本章还将介绍正交性及其重要性，以及正交基的概念，它能够极大地简化许多几何计算。 第六章：几何投影与最小二乘法——在不确定中寻找最佳 在实际应用中，我们常常会遇到数据点并不完美地落在某个几何结构上的情况。本章将介绍“几何投影”的概念，它允许我们在一个子空间中找到距离某个点（向量）最近的“近似”点。这将自然而然地引出“最小二乘法”，一种强大的数据拟合技术，它能够在存在噪声或不确定性的数据集中，找到最佳的几何模型。本书将通过详细的推导和实例，展示投影如何帮助我们解决诸如线性回归等问题。 第七章：二次型与二次曲面——探索高维几何的形态 本章将视角进一步拓展，考察“二次型”的概念。二次型是形如 $x^T A x$ 的表达式，其中 $A$ 是一个对称矩阵。我们将深入分析二次型的性质，并研究它们在几何上所对应的“二次曲面”，例如椭圆、双曲线、抛物线以及更高级别的曲面。通过对矩阵 $A$ 的特征值和特征向量的分析，我们可以对这些曲面的形状和性质进行分类和描述。本章旨在揭示代数结构如何精确地定义和描绘复杂的几何形态。 《几何之维》的目标，是为读者打开一扇通往数学深度的大门。通过本书的学习，你将不再仅仅满足于表面直观的几何理解，而是能够以一种更加严谨、普适和强大的代数框架来审视和解决几何问题。无论你是数学专业的学生，还是对抽象数学充满好奇的探索者，本书都将为你提供一个坚实的基础，让你能够自信地穿梭于各种几何空间，理解数学背后的逻辑之美。

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这本书最让我印象深刻的一点，是它对“统一性”的追求。在许多传统的几何教材中，欧几里得几何、微分几何、拓扑学往往被割裂开来，各自为政。而这本书的核心论点，似乎是通过向量空间这一核心母题，将这些看似分散的领域编织成一张网。当你通过基、线性变换以及内积这些代数工具来审视毕达哥拉斯定理，或是分析测地线的本质时，你会有一种豁然开朗的感觉——原来它们都源于同一片思想的土壤。这种宏大的视角，极大地提升了对数学整体结构的认识。我甚至觉得，它更像是一本关于“数学思维方式”的指南，而非仅仅是一本关于“几何”的参考书。对于希望构建跨学科知识体系的学者而言，这无疑是本工具箱中的利器。

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阅读体验上，这本书给我带来了极大的智力上的挑战与满足感。它不是那种可以轻松翻阅的休闲读物，更像是一次对思维极限的耐力考验。作者在引入高级主题时，例如黎曼几何的初步概念或是微分几何的基础元素，处理得极为细腻。每一个步骤的推导都经过了深思熟虑，力求逻辑链条的完美无瑕。我记得在处理曲率的定义时，作者花费了大量的篇幅来解释为什么需要引入张量分析，这对于我理解为何向量空间的方法论在处理非线性几何问题时依然具有根本性的指导作用，起到了决定性的作用。唯一美中不足的可能是，对于完全没有代数几何背景的读者，初期的铺垫可能略显不足，需要读者具备一定的预备知识才能完全跟上作者的思维节奏，但这反过来也证明了本书在内容深度上的决心和高度。

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从排版和习题设置来看，这本书的设计者显然考虑到了读者的实际需求。虽然理论部分极其密集，但穿插其中的例子和插图（尽管不多，但都非常精准）有效地缓解了阅读的疲劳感。习题的设计尤为精妙，它们不再是简单的计算题，而是倾向于引导读者进行概念上的重构。例如，某些证明题要求读者必须运用前几章中关于投影和正交补集的知识来解决一个看似全新的空间问题，这迫使我们不能孤立地看待知识点。这种循序渐进的引导，确保了读者在掌握新概念的同时，也巩固了旧有的基础。对于自学的读者来说，如果能认真完成大部分习题，那么他对向量空间在几何中的应用能力，将得到质的飞跃。

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这部关于几何学的著作，从向量空间的视角切入，无疑为读者提供了一种全新的、极具洞察力的分析框架。我尤其欣赏作者在处理基础概念时的严谨与清晰。它不仅仅是简单地罗列公式和定理，而是深入挖掘了这些几何对象背后的代数结构。比如，在探讨仿射空间与射影空间时，作者没有满足于停留在欧几里得几何的直观理解上，而是巧妙地运用了线性代数中的子空间、商空间等概念，使得原本抽象的几何变换变得触手可及。这种处理方式极大地增强了读者的理论深度，让人在脑海中构建起一个多维度的、相互关联的数学模型。对于那些已经掌握了基础线性代数，但渴望将知识应用于更广阔几何领域的研究生或高年级本科生来说，这本书无疑是一本极佳的桥梁书。它不仅教授“是什么”，更重要的是阐明了“为什么”会是这样，这种探究精神在很多教科书中是难以寻觅的宝藏。

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总而言之，这是一部充满了深刻洞察力的专业著作，它坚实地站在现代数学的基础之上，以一种近乎哲学思辨的方式探讨了几何学的本质。作者的写作风格果断、毫不拖泥带水，每一个段落都承载着沉甸甸的信息量。它成功地将抽象的线性代数语言，转化为一套强有力的几何描述工具。阅读它需要耐心和专注，但它所给予的回报——那种对空间结构深刻的、系统性的理解——是无可替代的。它不是一本会轻易被遗忘的教材，而更像是一本会在你的书架上占据重要位置，并时常被翻阅以期获得新灵感的参考书。对于任何严肃的数学学习者来说，这部作品都值得被纳入案头必备之列，因为它为我们重新定义了“空间”的含义。

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