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出版者:Springer

作者:David Mumford

出品人:

页数:186

译者:

出版时间:1995-2-15

价格:USD 69.99

装帧:Paperback

isbn号码:9783540586579

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

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代数几何的探索：从基础概念到深刻洞见 《代数几何》系列，作为一套深入剖析抽象代数世界与几何直观联系的学术著作，旨在为读者构建一座坚实的桥梁，跨越两者之间的界限。本卷，作为该系列的开篇之作，肩负着奠定坚实基础的重任，将引导读者逐步领略代数几何那既严谨又充满奇妙的迷人图景。本书并非一本浅尝辄止的入门读物，而是以一种系统、深入的方式，逐层揭示代数几何的核心思想与基本工具。 本书的首要目标是引入并阐释代数几何赖以生存的语言：概形（Schemes）。这一概念，由格罗滕迪克革新，极大地拓展了代数几何的研究范畴，使得我们能够超越传统意义上的代数簇，触及更广泛、更精妙的几何对象。我们将从基础的交换环（Commutative Rings）讲起，深入探讨它们的谱（Spectrum），以及与之相伴的拓扑空间（Topological Spaces）结构。通过对环的谱的构造，读者将初步体会到代数对象如何自然地映射到几何空间，并为后续概形的定义打下坚实基础。 在理解了谱的概念之后，本书将正式引入概形的定义。我们将详细讨论预层（Presheaves）和层（Sheaves）的理论，特别是结构层（Structure Sheaves）在概形定义中的关键作用。通过对局部性质的精细刻画，读者将理解为何概形能够如此优雅地统一代数和几何的视角。我们将探讨各种重要的概形构造，例如仿射概形（Affine Schemes），以及如何通过粘合（Gluing）仿射概形来构造更复杂的几何对象，例如射影概形（Projective Schemes）。这个过程将展示代数几何如何通过组合和构造，创造出丰富多彩的几何世界。 代数几何研究的核心对象是代数簇（Algebraic Varieties），而概形理论则提供了研究它们的最普遍、最强大的框架。本书将深入探讨代数簇的诸多重要性质，包括维数（Dimension）、光滑性（Smoothness）、奇点（Singularities）等。我们将学习如何从代数结构中提取几何信息，例如通过多项式的零点集来定义代数簇，并研究这些簇的几何拓扑特征。对于奇点，本书将不回避其复杂性，而是引入工具来理解和分类这些“不规则”的点，从而更全面地把握代数簇的几何形态。 图层（Diagrams）和函子（Functors）在代数几何中扮演着至关重要的角色，它们提供了描述几何对象之间关系和映射的强大语言。本书将系统地介绍范畴论（Category Theory）的基本概念，包括范畴、函子、自然变换等，并展示它们如何在代数几何中得到应用。特别是，我们将探讨概形范畴（Category of Schemes），以及研究各种函子，例如象函子（Image Functors）和逆变函子（Contravariant Functors），它们揭示了代数对象和几何对象之间的深刻联系。通过范畴的语言，我们可以用一种更抽象、更统一的方式来理解和比较不同的代数几何结构。 为了深入研究概形的性质，本书将引入理想（Ideals）和模（Modules）的概念。对于一个概形，其上的凝聚层（Quasi-coherent Sheaves）和相干层（Coherent Sheaves）是理解其几何性质的关键。我们将详细研究这些层的模结构，以及它们与概形本身之间的对偶性。例如，对于仿射概形，其上的凝聚层与该概形所对应的交换环的模之间存在着一一对应的关系。本书将深入探讨这种对应关系，并利用模理论的工具来解决代数几何中的问题。 图层（Morphisms）是连接不同代数几何对象的桥梁。本书将详细介绍概形之间的图层，包括闭合图层（Closed Morphisms）、开图层（Open Morphisms）、真图层（Proper Morphisms）等。我们将分析这些图层的代数性质，以及它们如何影响几何对象的变换。例如，我们将会看到，一个紧致映射（Proper Map）在代数几何中对应着具有良好行为的图层，这使得我们能够进行很多重要的构造和证明。 本书还将涉及一些代数几何中的基础但至关重要的概念，例如概形上的点（Points on Schemes）的本质，包括闭点（Closed Points）、闭包（Closures）以及概形上的函数域（Function Fields of Schemes）。我们将学习如何从代数结构的角度来理解这些点，以及它们与几何上的几何点之间的对应关系。 为了支持读者对抽象概念的理解，本书将融入大量示例（Examples）。从最简单的仿射空间，到射影空间，再到各种具体的代数曲线和曲面，我们将通过具体的例子来阐释抽象的定义和定理。这些示例不仅有助于读者加深对理论的理解，也展示了代数几何在解决具体几何问题中的强大能力。 此外，本书还将引导读者接触一些代数几何的基本工具（Basic Tools），例如张量积（Tensor Products）、张量代数（Tensor Algebras）、张量运算（Tensor Operations）在代数几何中的应用。我们将探讨如何利用这些工具来构造新的代数几何对象，以及分析它们的性质。 本书的编写风格注重逻辑的严谨性和证明的完备性，同时力求使表述清晰易懂。尽管代数几何本身具有一定的抽象性，但我们相信，通过循序渐进的讲解和精心设计的例证，读者能够逐步掌握其精髓。本书的目标不仅仅是传授知识，更是培养读者独立思考和解决代数几何问题的能力。 总而言之，《代数几何 I》是一次对抽象代数与几何世界进行深度探索的旅程。它将引领读者走进概形的奇妙王国，掌握研究代数簇的通用语言，并为其后续更高级的代数几何学习打下坚实的基础。本书将是一部值得反复研读的学术著作，为所有对数学的深刻结构和抽象之美感兴趣的研究者和学生提供宝贵的财富。

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阅读此书的过程，仿佛经历了一场精密的建筑工程考察。作者不仅搭建了理论的骨架，更细致地填充了所有的结构性细节，确保整个大厦的稳固。特别值得称道的是，书中对历史背景和动机的穿插叙述，虽然篇幅有限，但恰到好处地解释了为什么某些看似繁琐的定义是必要的，以及它们如何解决了前辈们遇到的难题。这使得抽象的符号背后有了一丝“人情味”和历史的重量。在处理诸如上同调理论在几何中的应用时，作者的叙述清晰且富有条理，将原本横跨不同数学分支的概念巧妙地编织在一起，展现出代数几何强大的融汇能力。这本书的难度不在于晦涩难懂的词汇堆砌，而在于它要求读者同时激活多个高级数学思维模式——代数、拓扑、分析——并以一种全新的、非直觉的方式去思考空间。它更像是一本“内功心法”，练就之后，看待其他数学分支也会有全新的视角。

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这部作品初读之下，便觉其气象恢宏，仿佛置身于一个由抽象概念构建的宏大迷宫之中。作者的笔触极为细腻，对数学语言的驾驭能力令人叹服，每一个定义、每一个定理的引入都像是精心雕琢的宝石，在逻辑的链条上闪烁着独特的光芒。它并非那种浅尝辄止的入门读物，而是直指代数几何核心的深邃探险。书中对经典几何思想与现代代数工具的融合，展现了一种超越时空的对话。我尤其欣赏作者在处理复杂的构造性论证时所展现出的清晰和耐心，尽管路径曲折，但每一步的推导都如同工匠打磨般精准无误，让人在理解的瞬间体验到一种智力上的巨大满足感。它要求读者必须拥有扎实的预备知识，否则很容易在概念的汪洋大海中迷失方向。然而，对于那些愿意投入时间和心力去攀登高峰的求知者而言，这本书无疑是一部里程碑式的指南，它不仅教授知识，更塑造了思考问题的方式，使人学会如何以一种更高维度的视角去审视几何结构。那种从具体实例逐步上升到抽象框架的叙事节奏，张弛有度，引人入胜，让人忍不住一页接一页地读下去，渴望揭开下一层更深奥的秘密。

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这本书的排版和结构设计体现出一种极简主义的美学，简洁的页面上充斥着大量的希腊字母和数学符号，仿佛是一张张精心绘制的拓扑图谱。我注意到作者在组织章节时，遵循着一种从局部到整体，再从具体到抽象的渐进式构建路线，这种编排方式极大地帮助了读者建立起代数几何的整体框架。例如，它对某些核心对象的介绍，往往先从一个非常基础的例子入手，然后逐步泛化，引入更高阶的工具，这种循序渐进的策略在处理如概形理论这种复杂体系时显得尤为有效。尽管如此，书中有些证明的跳跃性依然很大，对于没有经过充分“思想预热”的读者来说，可能会感到突兀。然而，正是这种近乎“冷酷”的严谨，确保了理论的无懈可击。我个人认为，这本书的真正价值在于它提供了一个“标准答案”，一个被公认为最优雅、最无可辩驳的理论表述，是深入研究的必备工具箱。

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坦白说，这本书的阅读体验更像是一场与时间赛跑的智力马拉松，它对读者的心性和耐性提出了近乎苛刻的要求。它的内容密度之高，几乎达到了令人窒息的程度，每一页都承载了大量需要反复咀嚼和内化的信息。我曾多次停下来，合上书本，在脑海中构建那些复杂的范畴和函子之间的关系，试图将其视觉化，但往往徒劳无功——这正说明了代数几何本身的魅力和挑战性。它迫使你跳脱出传统欧氏空间的直觉，完全依赖于严谨的符号逻辑来构建对世界的认知。不过，正是这种挑战性，使得一旦某个关键概念豁然开朗时，那种“顿悟”的喜悦是无与伦比的。作者似乎深谙高深理论如何吓退初学者，因此在关键转折点上会插入一些富有洞察力的注释，这些“小小的提醒”虽短，却往往是连接晦涩理论与直观理解的桥梁。这本书更像是一本给“同行”看的参考书，而非面向大众的科普读物，它的价值在于其内容的纯粹和完整性，是领域内不可或缺的基石。

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这本书给我的感觉是，它在尝试用最少的篇幅，涵盖最广阔的疆域。作者的写作风格极其凝练，几乎没有一句多余的话，每一个术语的使用都经过了深思熟虑，直指问题的核心。对于那些已经具备一定代数基础的读者而言，这本书的速度感非常强，它迅速地带领你穿越了从经典代数几何到现代概形论的过渡地带。书中对某些关键定理的证明，虽然篇幅不长，但逻辑链条之紧密，令人惊叹，这要求读者必须全神贯注，稍有分心便可能错过关键的一步推理。我发现，这本书最适合作为进阶学习的第二本教材，在你对基本概念有了粗略认识后，它能迅速帮你建立起一个坚实而系统的知识体系。它更像是一份精炼的“地图集”，将广袤的代数几何世界的主要地标和路径清晰地标注出来，虽然不会详细描述每一个小镇的风土人情，但确保你不会在探索的路上迷失方向，是学术研究者案头必备的权威参考资料。

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