域和Galois理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:南基洙

出品人:

页数:120

译者:

出版时间:2009-2

价格:17.00元

装帧:

isbn号码:9787030237613

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数
• 2010
• 域论
• Galois理论
• 抽象代数
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• 数学
• 高等代数
• 群论
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• 有限域

《域与伽罗瓦理论》是一本深入探讨抽象代数核心分支——域论和伽罗瓦理论的著作。本书旨在为读者构建一个严谨而清晰的理论框架，理解代数数域、域扩张、伽罗瓦群等关键概念，并最终揭示域的对称性与多项式方程可解性之间的深刻联系。 本书内容概述： 第一部分：域的基础 什么是域？ 本部分将从最基本的定义出发，介绍域（Field）的代数结构，包括其上的加法和乘法运算所满足的公理。我们将探讨各种典型的域，例如有理数域$mathbb{Q}$、实数域$mathbb{R}$、复数域$mathbb{C}$，以及有限域（Galois域），为后续更复杂的理论打下基础。 子域与域扩张。 在理解了域的基本概念后，本书将引入子域（Subfield）的概念，即包含在某个域中的更小的域。在此基础上，我们将深入探讨域扩张（Field Extension），这是整个域论的核心。域扩张可以理解为在一个域的基础上“添加”元素，从而构造出更大的域。我们将学习如何描述和分类不同的域扩张，例如代数扩张（Algebraic Extension）和超越扩张（Transcendental Extension）。 代数元与最小多项式。 对于域扩张中的元素，我们将重点研究其是否为代数元（Algebraic Element），即是否存在一个以基域的元素为系数的多项式，使得该元素是此多项式的根。我们将学习如何找到代数元的最小多项式（Minimal Polynomial），并理解其在域扩张中的重要作用。最小多项式的次数决定了域扩张的次数，是刻画域扩张结构的关键。 第二部分：伽罗瓦理论的核心 分裂域。 本部分将引入分裂域（Splitting Field）的概念。给定一个域和一个多项式，分裂域是包含该域以及多项式所有根的最小的域。分裂域的构造是理解多项式根的结构以及它们之间的对称性的重要步骤。 伽罗瓦扩张。 核心章节将聚焦于伽罗瓦扩张（Galois Extension）。伽罗瓦扩张是一类特殊的域扩张，其伽罗瓦群（Galois Group）具有特定的性质。伽罗瓦群是域扩张的自同构（Automorphism）组成的群，这些自同构在基域上保持不变。我们将学习如何计算和分析伽罗瓦群，理解其如何反映域扩张的对称性。 基本定理。 本书将详细阐述伽罗瓦理论的基本定理，这是伽罗瓦理论的基石。该定理建立了域扩张的子域、子群以及它们的扩张次数之间的深刻一一对应关系。通过基本定理，我们可以利用群论的工具来研究域扩张的结构，反之亦然。 多项式方程的可解性。 伽罗瓦理论最著名的应用之一是解决多项式方程的可解性问题。本书将展示如何利用伽罗瓦理论来判断一个多项式方程是否可以用根式（Radicals）求解，即是否可以通过加、减、乘、除和开方来表示其根。我们将深入探讨五次及更高次方程不可用根式求解的根本原因，这一结果是数学史上的一个里程碑。 第三部分：深入与应用 正规扩张与可分扩张。 为了更精确地刻画伽罗瓦扩张，本书将引入正规扩张（Normal Extension）和可分扩张（Separable Extension）的概念。我们将分析这些概念与伽罗瓦扩张之间的关系，以及它们在构建和理解更复杂的域结构中所起的作用。 有限域的构造与性质。 有限域（Finite Field）在编码理论、密码学等领域有着广泛的应用。本书将介绍有限域的构造方法，例如通过不可约多项式来构造有限域，并深入探讨有限域的性质，包括其加法群和乘法群的结构。 应用举例。 最后，本书将通过一系列精心设计的例子，展示域论和伽罗瓦理论的强大应用。我们将探讨经典几何问题的可解性，例如“倍立方”、“三等分角”和“化圆为方”问题，并证明它们为何无法用尺规作图完成。此外，我们还将触及代数数论等更高级的数学领域，展现域论和伽罗瓦理论作为基础理论的普适性。 本书特点： 逻辑严谨，循序渐进。 本书遵循严格的数学逻辑，从最基本的定义出发，逐步深入到复杂的理论。每一个概念的引入都有其必然性，并与其他部分紧密联系。 概念清晰，详尽阐释。 对于抽象的数学概念，本书力求做到解释清晰、易于理解。我们将运用多种方式，包括图示、类比和具体的例子，来帮助读者掌握抽象的理论。 丰富的例题与练习。 为了巩固学习效果，本书提供了大量的例题，这些例题不仅用于演示理论，更引导读者主动思考。同时，每章末都配有精心设计的练习题，涵盖了从基础计算到理论证明的各个层面。 面向广泛的读者群体。 本书适合数学专业本科生、研究生，以及对抽象代数有浓厚兴趣的其他学科研究人员。它为希望深入理解代数结构、多项式理论以及其深刻应用的读者提供了坚实的基础。 通过研习《域与伽罗瓦理论》，读者将能够掌握一门强大的数学工具，理解代数方程的内在结构，并为进一步探索更广阔的数学领域奠定坚实的基础。

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这本书的份量和深度足以让任何严肃的数学学习者对其保持敬畏。它提供的论证路径往往是数学史上最经典、最不易被取代的那一条，充满了智慧的结晶。我个人最欣赏它在处理特定构造性问题时所展现出的那种无可指摘的优雅性，即用最少的假设导出最丰富的结果。这种优雅是经过无数次锤炼和筛选后留下的精华。不过，这种精炼性也意味着，书中关于“动机”和“直觉”的阐述相对稀疏。它假设读者已经对代数结构有着天然的亲近感，能够从纯粹的符号操作中体会到背后的美感。对于我个人而言，阅读过程更像是一场漫长而艰苦的攀登，沿途风景壮丽，但每一步都充满挑战，每到达一个平台都需要付出巨大的心力去消化眼前的景象，才能鼓起勇气迈向下一个更高的阶梯。

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坦率地说，这本书的阅读体验是极富挑战性的，它要求的不仅是智力上的投入，更是一种近乎冥想般的专注力。我发现自己常常需要停下来，反复推敲那些看似微小却至关重要的符号和假设条件。叙述风格非常古典，带着一种对数学纯粹性的执着追求，几乎没有冗余的修饰性语言，一切都服务于证明的完整性和精确性。这种风格的优点是无可挑剔的逻辑链条，缺点则在于，它很少提供直观的几何图像或具体的例子来“软化”抽象的概念。对于像我这样需要通过具象化来理解抽象结构的读者来说，这无疑是一种考验。我不得不频繁地借助外部资源，试图将书中所述的抽象定理与更具体的代数场景联系起来，否则，那些看似无穷无尽的符号组合很快就会让人迷失方向。这本书的价值在于其深度和完整性，而非易读性。

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这是一本需要时间去“陈化”的书籍。初次翻阅，感觉像是面对着一片茂密的数学丛林，充满了错综复杂的定理和引理，每棵树都长得极其相似，让人难以分辨主干道。我特别留意了书中对某些核心结构性质的探讨，那种将看似不相关的代数分支巧妙地统一起来的时刻，确实让人有种“豁然开朗”的感觉，尽管这种顿悟来得并不容易。作者似乎坚信，一旦读者掌握了基础的群论和线性代数的语言，接下来的拓展便水到渠成。但实际情况是，随着章节的深入，对数和域的构造性描述变得越来越精细，每一次从一个代数结构跳跃到另一个结构时，都需要重新校准思维的刻度。这本书散发着一种学术的冷峻美感，它更关心“是什么”以及“为什么”，而非“怎么做”——它提供的蓝图远多于工具箱。

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从排版和结构上看，这部作品体现了严肃的学术态度。章节的划分清晰，但其内部的逻辑密度极高。我注意到，作者在构建理论体系时，采用了自上而下的方法，首先建立起最宏大的框架，然后逐步向下填充细节。这种方式对于构建全局观非常有效，能够让人理解整个代数理论的脉络所在。然而，对于那些在学习过程中容易对细节感到困惑的读者来说，这种密度可能造成信息过载。例如，在处理特定类型的域扩张和伽罗瓦群的对应关系时，作者的处理方式极其精炼，以至于我需要对照好几本不同的参考书才能完全确信自己理解了其中的细微差别。这本书像是一套精密的外科手术刀具，功能强大，但需要高度熟练的操作者才能发挥其最大效用。它毫不迎合读者的舒适区，坚持用最直接、最本质的方式来呈现数学的真相。

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这部著作无疑是一座宏伟的知识殿堂，但对于初涉代数领域的读者而言，它更像是一座需要攀登的险峰。书中的论述逻辑严密得近乎冷酷，每一步推导都建立在前文坚实的基础之上，仿佛建筑师在设计摩天大楼时，每一个铆钉都必须精确无误。我花了大量时间在那些关于群、环、域的定义和定理上进行反复咀嚼，尤其是在处理那些抽象的代数结构时，总感觉自己像是在雾中摸索。作者的笔触是教科书式的、严谨的，毫不留情地要求读者具备扎实的预备知识。我特别欣赏它对结构本质的挖掘，那种试图穿透表面现象，直抵数学核心的企图心令人敬佩。然而，这种深度也带来了较高的阅读门槛，一些关键概念的引入显得有些突兀，如果不是有幸在其他地方进行过铺垫，恐怕很难在第一次阅读时就完全领会其精妙之处。它更像是一本为已经有一定基础的研究者准备的深度参考手册，而非一本旨在普及概念的入门读物。

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