DFT/FFT and Convolution Algorithms and Implementation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons

作者:C. S. Burrus

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-01-04

价格:USD 110.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780471819325

丛书系列:

图书标签:

• DFT
• FFT
• Convolution
• Signal Processing
• Digital Signal Processing
• Algorithms
• Implementation
• Mathematics
• Engineering
• Computer Science

《信号处理的数学基石：傅里叶变换与卷积》 引言： 在现代科学与工程领域，我们每天都与海量数据打交道。从医学影像的分析到通信系统的设计，从图像识别到音频处理，理解和操纵这些数据中的隐藏模式至关重要。而这一切的根基，则在于对信号特性的深入洞察。本书将带您踏上一段探索信号处理核心数学工具的旅程，聚焦于那些能够揭示信号频率成分、描述系统响应以及高效执行复杂运算的强大技术——傅里叶变换（Fourier Transform）及其一系列高效算法，以及卷积（Convolution）这一理解线性时不变系统行为的关键操作。 第一部分：傅里叶变换的理论基石 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的起源与意义： 任何现实世界中的信号，无论其复杂程度如何，都可以被看作是无数简单正弦和余弦波的叠加。DFT正是这样一种数学工具，它能够将一个在时域（或空间域）上离散采样的信号，分解成其包含的各种频率成分的复指数（即正弦和余弦波）的加权和。我们将从DFT的定义出发，深入理解其数学表达式，并阐释为何它成为了分析信号频率谱的基石。这不仅仅是一个数学公式，更是理解信号本质的钥匙。我们将探讨DFT如何揭示信号的隐藏结构，例如周期性、震荡行为以及不同频率成分的相对强度，这些信息在信号去噪、特征提取和模式识别等领域具有不可估量的价值。 DFT的性质与应用： DFT并非孤立的工具，它拥有一系列深刻而优美的性质，这些性质极大地拓展了其应用范围。我们将逐一剖析这些关键性质，例如： 线性性质（Linearity）： 信号的加权和的DFT等于其各个信号DFT的加权和，这使得对复杂信号的处理可以分解为对简单信号的处理。 周期性（Periodicity）： DFT的输出本身具有周期性，这在实际采样过程中有着重要的理论意义。 对称性（Symmetry）： 实信号的DFT具有共轭对称性，这允许我们仅处理一半的频率分量，大大简化了计算。 时移性质（Time Shifting）： 信号在时域的移动对应于其DFT相位谱的线性变化，这在延迟和相位调整中至关重要。 频移性质（Frequency Shifting）： 信号在频域的移动对应于其时域乘以复指数，这与调制和解调过程密切相关。 卷积定理（Convolution Theorem）： 这是DFT最强大的应用之一。它指出，时域的卷积运算等价于频域的点乘运算。我们将详细阐述这一定理，并预示其在信号滤波、系统响应分析等方面的巨大威力。 通过深入理解这些性质，我们将能够更灵活、更高效地运用DFT来解决实际问题。 傅里叶级数（Fourier Series, FS）与傅里叶变换（Fourier Transform, FT）的联系： 虽然DFT处理的是离散信号，但它与处理连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换有着深厚的理论渊源。我们将介绍傅里叶级数如何将周期性的连续信号分解为一系列离散频率的谐波分量，以及傅里叶变换如何将非周期性的连续信号分解为无限连续频率的频谱。通过理解FS到FT再到DFT的演进过程，读者将能更全面地掌握傅里叶分析的理论框架，认识到DFT是对连续信号傅里叶分析在离散、有限长度采样场景下的自然推广。 第二部分：快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的算法精髓 FFT算法的诞生背景与效率优势： DFT的直接计算需要 $O(N^2)$ 的时间复杂度，其中 $N$ 是信号的长度。当信号长度很大时，直接计算的开销将是天文数字，这在实际应用中是不可接受的。FFT算法正是为了克服这一计算瓶颈而诞生的。它通过巧妙地利用DFT的对称性和周期性，将计算复杂度从 $O(N^2)$ 降低到 $O(N log N)$。本书将详细介绍FFT算法的原理，使其不再是“黑箱”，而是可被理解和掌握的技术。 经典FFT算法详解（Cooley-Tukey算法）： 我们将聚焦于最为经典和广泛使用的Cooley-Tukey算法。这一算法采用“分而治之”（Divide and Conquer）的思想，将一个长度为 $N$ 的DFT分解为若干个更小的DFT的组合。 蝶形运算（Butterfly Operation）： 详细解析FFT算法的核心计算单元——蝶形运算。理解蝶形运算如何高效地组合两个较小DFT的结果，生成一个较大的DFT。 按位反转（Bit-Reversal Permutation）： 解释FFT算法在数据输入和输出阶段所需的特殊排序方式，即按位反转，以及其在蝶形运算中的作用。 不同分解方式（Decimation-in-Time, Decimation-in-Frequency）： 介绍Cooley-Tukey算法的两种主要实现方式：按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DIF），并对比它们的计算流程和特点。 其他FFT算法简介（可选）： 除了Cooley-Tukey算法，FFT家族还有许多其他变种，例如Winograd算法、Prime-Factor算法等。我们将简要介绍这些算法的特点，帮助读者了解FFT算法的广阔天地，并为进一步深入研究提供方向。 FFT算法的硬件与软件实现考量： 理解FFT算法的实际应用，离不开对其在不同平台上的实现方式的探讨。我们将讨论： 并行计算与SIMD指令： 如何利用现代处理器架构的并行计算能力和单指令多数据（SIMD）指令集来加速FFT运算。 查表法（Look-up Tables）： 在对精度要求不那么苛刻的场合，如何使用预计算的旋转因子（Twiddle Factors）来进一步优化计算速度。 特定硬件平台（DSP, GPU）： 介绍FFT算法在数字信号处理器（DSP）和图形处理器（GPU）等专用硬件上的优化实现策略。 第三部分：卷积运算的本质与实现 卷积的定义与数学表达： 卷积是信号处理和系统分析中的一个核心概念，它描述了一个系统对输入信号的响应。对于一个线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）系统，其输出信号是输入信号与系统冲激响应（Impulse Response）的卷积。我们将深入理解卷积的积分（连续信号）和求和（离散信号）定义，并阐释其几何意义——一个信号的“滑动平均”或“加权累加”。 卷积在信号处理中的应用： 卷积的概念渗透到信号处理的方方面面： 滤波（Filtering）： 卷积是实现滤波器（如低通、高通、带通滤波器）的基本操作。通过将输入信号与滤波器的冲激响应进行卷积，可以达到去除噪声、增强特定频率成分的目的。 系统响应分析（System Response Analysis）： 卷积直接给出了LTI系统在给定输入下的输出。理解卷积，就是理解系统如何“塑造”输入信号。 概率论中的应用： 两个独立随机变量和的概率密度函数是它们各自概率密度函数的卷积。 图像处理中的应用： 图像的模糊、锐化、边缘检测等操作，本质上都是通过卷积核（Kernel）与图像进行卷积实现的。 直接卷积算法与计算复杂度： 直接计算离散卷积需要 $O(N imes M)$ 的时间复杂度，其中 $N$ 是输入信号的长度，$M$ 是冲激响应的长度。当信号和系统响应都比较长时，直接卷积的计算量也会很大。 基于FFT的快速卷积算法： 正如卷积定理所揭示的，时域的卷积运算在频域对应于简单的点乘。这为快速计算卷积提供了强大的工具。 分段卷积（Sectioned Convolution）： 讲解如何将长信号分段，然后通过FFT计算每段的卷积，再将结果拼接起来，以减少内存占用和计算量。 重叠相加法（Overlap-Add Method）： 介绍一种常用的分段卷积技术，将输入信号分块，并对卷积结果进行重叠和相加，以得到正确的全局卷积。 重叠保留法（Overlap-Save Method）： 介绍另一种分段卷积技术，通过在卷积结果中保留特定部分来达到相同的目的。 循环卷积与线性卷积的关系： 详细说明了在频域进行卷积时，我们实际上计算的是循环卷积（Circular Convolution），而实际应用中我们通常需要的是线性卷积（Linear Convolution）。讲解如何通过填充零（Zero Padding）来使循环卷积的结果与线性卷积等价。 通过FFT实现的快速卷积算法，可以将卷积的计算复杂度降低到 $O(N log N)$，极大地提高了计算效率，为处理大规模数据和实时应用奠定了基础。 结论： 本书旨在为读者提供一个全面且深入的关于傅里叶变换及其高效算法（FFT）和卷积运算的理论与实践指南。我们不仅会从数学原理上深入剖析这些工具的本质，还会探讨它们在各种实际场景中的应用。掌握FFT和卷积，如同掌握了打开信号处理世界大门的钥匙，能够帮助您更有效地分析、理解和处理来自数字世界的数据，为您的科学研究和工程实践注入强大的动力。

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这本书的装帧设计真是没的说，封面采用了哑光处理，手感细腻，触感极佳。那种深沉的蓝色调配上简洁的几何图形，透露出一种严谨又现代的气息。我尤其欣赏封面上字体排版的考究，主标题“DFT/FFT”的字体粗细对比强烈，仿佛在暗示书中的内容既有理论的深度，又有算法的锐利。拿到手里分量感十足，就知道内容必然充实。内页纸张选用的偏米白色，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳，这点对于理工科的专业书籍来说至关重要。装订工艺也相当扎实，即使经常翻阅到一些关键的公式推导部分，书脊也保持得很好，没有出现松动或脱页的迹象。整体来看，这本实体书的质感，完全符合它所承载的复杂且精妙的数学和信号处理主题，让人在开始学习之前就产生一种敬畏和期待。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心打磨的工艺品，值得放在书架上细细品味。如果说有什么可以改进的地方，或许是在内页的插图部分，如果能增加一些更高对比度的彩色图示来辅助理解某些变换的几何意义，那就更完美了，但即便是现在的黑白印刷，也已经达到了行业内的一流水准。

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从一个学习者的角度来看，这本书的难度曲线设置得非常陡峭，但同时也非常公平。前几章对基础概念的铺垫扎实有力，为后续进入更复杂的算法如混合基FFT（Mixed-Radix）或更高级的变换（如Chirp Z-Transform）打下了坚实的基础。然而，我必须承认，对于初次接触离散信号处理的读者来说，直接从头开始啃这本书可能会感到吃力，它似乎更侧重于面向已经具备一定线性代数和复变函数背景的读者。书中的练习题部分是本书的一大亮点和难点所在；它们并非简单的计算题，而是大量的证明题和性能分析题，常常要求读者自己推导出某个特定模数下的优化算法，或者从理论上证明特定长度序列的FFT算法的稳定性。正是这些具有挑战性的习题，强迫我跳出被动接受知识的状态，真正深入到算法的内核去思考和验证，最终让我对傅里叶分析的理解达到了一个前所未有的深度，极大地提升了我的问题解决能力。

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我必须指出，这本书在卷积算法部分的深度是令人惊叹的。不同于市面上许多仅停留在“利用FFT加速卷积”这个表层概念的书籍，此书用了几乎三分之一的篇幅专门讨论了周期卷积、线性卷积、圆周卷积之间的映射关系和处理边界效应的方法。作者详细剖析了“零填充”（Zero Padding）的必要性，并从采样定理的角度解释了为什么填充的长度会影响重建信号的频率分辨率。更具洞察力的是，书中探讨了循环卷积在某些特定应用场景下（例如滤波器的脉冲响应是无限长的场景）如何通过分段处理（Overlap-Add或Overlap-Save）来完美地近似线性卷积。这种对不同卷积场景的细致区分和针对性解决方案的提供，体现了作者深厚的专业积淀。这使得读者能够清晰地分辨何时可以直接应用FFT，何时需要额外的预处理或后处理步骤，避免了在实际项目中因理解偏差而引入的错误。

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这本书的价值远超出一本普通的教科书，它更像是一本详尽的“实现手册”。我目前正在尝试用C++实现一个Rader算法的变体，在查阅了许多在线资源后，还是决定回到这本书中寻找最可靠的参考。书中对于如何处理实数序列的FFT——也就是如何利用共轭对称性将计算量再次减半的技巧——讲解得极为透彻。作者不仅给出了理论依据，还配上了详细的伪代码块。这些伪代码的设计充分考虑了实际编程中的内存访问模式和循环优化，例如，它明确指出了在蝶形运算中应如何优化数据暂存和索引计算，以最大限度地提高缓存命中率。我特别欣赏作者在实现细节上展现的匠心，比如在讲解Cooley-Tukey算法时，它清晰地区分了“按位反转”和“原地计算”两种常见的实现策略，并分析了它们在不同硬件架构下的性能权衡。对于想要从理论走向实战的工程师而言，这些来自一线的实现经验是黄金级别的知识。

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我花了整整一个下午的时间，沉浸在第三章关于离散傅里叶变换的定义与性质的探讨中。作者的叙述方式非常具有启发性，他并没有直接抛出那些复杂的指数形式，而是从时间序列的周期延拓和采样角度，一步步引导读者去理解为什么傅里叶级数需要被“离散化”。这种循序渐进的教学法极大地降低了我理解初始概念的门槛。特别是作者在解释复数平面上的旋转因子 $e^{-j2pi kn/N}$ 时，引入了一个形象的比喻，将这个因子描述为在单位圆上以特定角速度运行的点，通过这个视觉化的描述，原本抽象的代数表达瞬间鲜活了起来。随后，作者开始深入到算法的效率问题，毫不含糊地对比了直接DFT计算量与FFT的巨大差异，并用表格清晰地展示了N取不同值时的计算复杂度变化，这种对比分析对于工程实践者来说是极其宝贵的。我发现作者在处理数学严谨性和工程直观性之间的平衡上拿捏得恰到好处，既保证了推导的无懈可击，又确保了读者能够理解这些数学工具在实际应用中的意义。

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