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出版者:Mcdougal Littell/Houghton Mifflin

作者:Mary P. Dolciani

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-06

价格:USD 58.48

装帧:Paperback

isbn号码:9780618249893

丛书系列:

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• Precalculus
• Mathematics
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• Trigonometry
• Functions
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《探索高等数学的基石：深入理解微积分预备知识》 本书导言：铺设通往高等数学的坚实桥梁 数学，作为描述和理解我们世界的语言，其深度与广度令人着迷。然而，任何宏伟的建筑都需要坚实的地基。对于希望攀登微积分乃至更深层次数学领域的学习者而言，扎实的代数、函数和三角学基础是不可或缺的。《探索高等数学的基石：深入理解微积分预备知识》正是为搭建这座至关重要的桥梁而设计。 本书并非对现有预备课程的简单重复，而是一次对核心概念的深度挖掘与系统重构。我们的目标是确保读者不仅“知道”如何操作公式，更能“理解”这些数学工具背后的逻辑与几何意义，从而为即将到来的极限、导数与积分概念做好最充分的心理和知识储备。 第一部分：代数思维的深化与重塑 本部分着重于将读者从基础的线性方程解法提升至对函数族系及其性质的全面掌握，重点在于培养高阶的代数抽象思维能力。 第一章：超越线性——多项式函数的结构与分析 本章首先回顾了多项式的基本定义、运算及其在解析几何中的应用。随后，我们将深入探讨高次多项式的根的性质，包括实根与复根的共轭性定理，以及笛卡尔符号法则的应用。重点在于理解因式定理和余数定理的本质，并将其用于多项式的精确分解。 一个关键的章节将致力于多项式函数的图示分析。我们将详细阐述利用导数（尽管尚未正式引入微积分，但我们通过函数增减趋势的概念引入“局部行为”的初步探讨）来确定多项式的局部最大值与最小值点，并结合函数的奇偶性、渐近行为，构建精确的函数图像草图。最后，我们将介绍有理函数，分析其垂直、水平及斜渐近线的确定方法，并解释这些渐近线如何界定函数的行为边界。 第二章：指数、对数与自然增长的数学模型 本章聚焦于描述自然界中普遍存在的动态变化的数学工具：指数函数与对数函数。我们不仅定义了 $b^x$ 形式的指数函数，更将重点放在自然指数函数 $e^x$ 的引入上，阐明 $e$ 值作为连续复利极限的直观意义。 在对数部分，本书强调对数的基本运算律（如换底公式）的几何推导过程，而非简单记忆。我们深入探讨了常用对数（以10为底）和自然对数（以e为底）在科学、工程计算中的实际应用场景，如半衰期计算、pH值和声强级的量化。 本章的实践部分集中于指数与对数方程的求解，特别是那些涉及复杂混合运算的题目，要求读者能够熟练地在指数形式与对数形式之间进行灵活转换。 第二部分：超越平面——三角学与周期性的精确描述 三角函数是描述周期性现象的基石。本部分旨在将三角函数从单纯的直角三角形边长比，拓展为描述平面和三维空间中旋转、振动的通用工具。 第三章：圆周运动与三角函数的本质 本书摒弃了传统的先从直角三角形引入三角函数的方式，而是直接从单位圆出发定义正弦、余弦及其他三角函数。我们详细分析了这些函数在整个实数域（角度转化为弧度）上的周期性、奇偶性及图像。读者将清晰理解 $2pi$ 周期和 $pi$ 周期背后的几何根源。 本章的核心挑战在于三角恒等式的推导与应用。我们不仅要求掌握和角公式、倍角公式，更要求读者能够利用欧拉公式的预备概念（如复平面上的旋转视角，为后续复变函数打下基础）来推导和验证这些恒等式。重点在于如何利用这些恒等式简化复杂的三角表达式和求解三角方程。 第四章：三角函数的应用与向量的初步接触 本章将理论应用于实际问题。我们详细分析了正弦定理和余弦定理在解任意三角形（非直角三角形）问题中的应用，包括侧边-角-侧（SAS）、角-边-角（ASA）等情况的解法。 此外，本书引入了二维向量的概念，将其视为具有大小和方向的量。我们将向量的加减法与三角函数联系起来，通过向量的分量表示法，解释如何用三角函数来分解作用力或速度，为物理学和工程学的后续学习做好准备。 第三部分：函数变换与序列的思维延伸 在掌握了基本函数类型及其周期性后，本部分着眼于函数如何通过变换进行“塑形”，以及无限序列和级数的初步探究。 第五章：函数变换的几何直觉 理解函数是如何通过平移、缩放和反射来改变其图像，是精通函数分析的关键。本章系统地梳理了水平平移、垂直平移、水平拉伸/压缩、垂直拉伸/压缩对函数表达式 $y=f(x)$ 的影响。 我们将通过具体的例子，例如将标准二次函数 $y=x^2$ 通过一系列变换得到更复杂的抛物线方程，来强化读者的直觉。同时，我们探讨了函数的复合 $f(g(x))$ 在几何变换语境下的意义，并强调了反函数的存在性与求解，特别是何时反函数存在，以及如何通过图形的对称性来检验反函数。 第六章：序列、级数与收敛性的前奏 本章是对无限过程的首次正式接触。我们首先区分序列（数列）和级数。对于等差数列和等比数列，我们不仅推导了通项公式和求和公式，更重要的是分析了等比级数的收敛条件——尽管严格的极限定义在后续课程中，但本章需要读者直观理解何时“无穷项之和”会趋于一个有限值。 我们引入了数学归纳法作为证明离散数学命题的强大工具，并要求读者运用此方法来验证数列求和公式。本章的目的是培养读者对“无限”的严谨思考，为学习微积分中的“极限”概念奠定坚实的思维基础。 结语：迈向微积分的自信步伐 《探索高等数学的基石》旨在提供一个全面、深入且富有洞察力的预备课程。我们相信，通过对代数结构的精深理解、对三角函数的几何诠释以及对函数变换的灵活运用，读者将能够以一种更为深刻和自信的态度，迎接高等数学中更具挑战性的概念，真正掌握分析学的核心思想。本书提供的不仅仅是技巧，更是数学思维的深度训练。

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这本书简直是数学爱好者的福音！我一直在寻找一本能帮助我扎实掌握预备微积分概念的书，终于找到了《Introductory to Precalculus》。从第一章开始，作者就以一种非常直观易懂的方式介绍了函数，包括它们的定义、性质、图像以及各种变换。我特别喜欢书中关于多项式函数和有理函数的讲解，它们用大量的图示和实际例子来帮助理解抽象的概念。例如，在讲解多项式函数的零点时，书中不仅给出了代数方法，还通过绘制函数图像来直观展示零点的位置，这对我来说非常重要，因为我是一个视觉型学习者。书中对指数函数和对数函数的阐述也同样精彩，将这些看似复杂的概念分解成易于理解的组成部分，并且深入探讨了它们在实际问题中的应用，比如在金融和自然科学领域。我印象深刻的是，书中并没有仅仅停留在公式的罗列，而是花了大量篇幅解释公式背后的逻辑和意义，这让我觉得我不仅仅是在记忆，而是在真正理解数学。每一章后面都配有大量的练习题，从基础到挑战性问题应有尽有，这让我能够巩固所学知识，并发现自己理解上的薄弱环节。我尝试做了其中的一些题目，发现它们都紧密结合了章节内容，而且答案的解析也非常详细，即使我做错了，也能清楚地知道错在哪里，如何改进。总而言之，这本书为我打下了坚实的预备微积分基础，让我对即将到来的微积分学习充满了信心。

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这本书简直是为我量身定做的！我一直觉得数学学习中最困难的部分在于如何将抽象的数学符号与具体的几何图形联系起来，而《Introductory to Precalculus》在这方面做得非常出色。书中关于“解析几何”的部分，将代数方程和几何图形完美地结合在了一起。我被书中对直线的方程及其性质的讲解深深吸引，从点斜式到截距式，作者都提供了清晰的推导过程，并且通过大量的图示展示了不同斜率和截距的直线在坐标系中的形态。对于圆、椭圆、抛物线和双曲线等圆锥曲线，书中不仅给出了标准的方程形式，还详细讲解了如何通过配方法将一般形式的方程转化为标准形式，并且绘制出了精确的图形，让我能够直观地理解它们的形状和位置。我尤其欣赏书中关于“变换”的讲解，比如平移、伸缩、旋转等，如何影响函数的图像和方程，这让我对函数的理解上升到了一个新的高度。我以前觉得这些图形的方程很难记忆，但通过解析几何的视角，我发现它们之间存在着深刻的联系。书中的练习题也设计得非常有深度，很多题目都需要我结合代数和几何的知识来解答，这极大地提升了我解决问题的能力。这本书让我对数学的美感有了更深的体会，原来数学不仅仅是冰冷的数字和符号，它还能描绘出如此优美的图形。

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老实说，我当初拿到《Introductory to Precalculus》的时候，对“预备微积分”这个概念还有点模糊，感觉它介于高中代数和微积分之间，不知道具体会讲些什么。但这本书的结构安排非常巧妙，它从最基础的代数概念开始，循序渐进地引入三角函数、圆锥曲线等内容。我尤其喜欢关于三角函数的部分，书中详细讲解了各种三角函数的定义、图像、性质以及反三角函数。作者用非常生动形象的比喻来解释单位圆上的角度与三角函数值的对应关系，让我一下子就明白了正弦、余弦、正切等函数的周期性和对称性。书中还包含了很多关于三角恒等式的证明，这对我来说是个不小的挑战，但通过作者一步步的推导，我最终掌握了这些重要的工具。圆锥曲线部分也让我大开眼界，关于抛物线、椭圆、双曲线的几何定义和代数方程之间的联系讲解得非常透彻。我一直以为这些几何图形只是课本上的几个公式，但这本书让我明白了它们是如何由简单的代数方程生成的，以及它们在现实世界中的种种应用，例如抛物线在卫星天线和光学望远镜中的应用。这本书的语言风格非常平易近人，没有过多的专业术语堆砌，即使是初学者也能轻松阅读。插图的设计也非常精美，很多关键概念都配有高质量的图示，这极大地帮助了我理解抽象的数学概念。我强烈推荐这本书给所有对数学有兴趣，或者即将学习微积分的学生。

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自从我开始阅读《Introductory to Precalculus》这本书以来，我深刻地体会到了数学的严谨与美妙。作者的叙述方式非常独特，总能将枯燥的数学公式与生动的生活实例相结合。我尤其欣赏书中关于“函数”的讲解，它不仅仅局限于代数形式，还从几何意义、图像特征以及实际应用等多个维度进行阐述。例如，在讲解复合函数时，作者通过一个“从A到B，再从B到C”的类比，让我非常直观地理解了函数的组合过程。书中对“指数函数”的讲解也让我印象深刻，它不仅仅是简单的幂运算，更重要的是它在描述指数增长和衰减过程中的核心地位，比如在金融领域的复利计算，以及在生物学中的种群增长模型。作者通过大量的图示和表格，清晰地展示了指数函数的增长速度以及对数函数的应用场景。我还发现书中对“数列和级数”的讲解也非常详尽，从等差数列、等比数列的基本概念，到各种级数的收敛性判定，作者都进行了细致的阐述，并且还举例说明了它们在求和问题中的应用。我之前对级数的收敛性判断一直感到困惑，这本书提供了清晰的判定方法和大量的例题，让我能够轻松掌握。这本书的练习题设计得也非常有水平，很多题目都需要我深入思考，并且运用多种数学工具来解决，这极大地锻炼了我的逻辑思维能力和分析能力。

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阅读《Introductory to Precalculus》的过程，就像是在探索数学世界的奥秘，充满了惊喜和启发。我非常欣赏作者在讲解“函数”这一核心概念时所展现出的深度和广度。它不仅仅是将函数作为一种数学工具来介绍，更是从函数的定义、性质、图像、变换以及各种特殊函数（如指数函数、对数函数、三角函数）的详细分析，构建了一个完整的函数理论体系。我尤其喜欢书中关于“指数函数和对数函数”的讨论，作者不仅清晰地阐述了它们的定义和性质，还通过丰富的实际案例，如人口增长、放射性衰变、复利计算等，展现了它们在描述自然现象和经济活动中的强大应用能力。我以前对这些模型只是模糊的印象，这本书让我看到了数学在量化和预测方面的魅力。此外，书中对“三角函数”的讲解也非常细致，它涵盖了从基本定义到复杂的三角恒等式推导，以及它们在几何学、物理学中的广泛应用。作者还特别强调了函数图像在理解函数性质中的作用，通过大量的图示，让我能够直观地感受到函数的周期性、对称性、单调性等特征。这本书的习题设计也非常出色，既有巩固基础的练习，也有需要运用创新思维来解决的挑战性问题，这极大地锻炼了我的逻辑思维能力和问题解决能力。

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《Introductory to Precalculus》这本书给了我很多惊喜。我原本以为预备微积分只是一堆公式和定理的堆砌，但这本书的编写风格却完全颠覆了我的认知。作者在讲解每个概念时，都会先从其在实际生活中的应用场景出发，例如，在介绍数列和级数时，就联系了复利计算和人口增长模型，这让我立刻感受到了数学的魅力和实用性。我尤其喜欢书中关于“极限”的讲解，作者用一种非常形象的方式，比如不断逼近一个点的过程，来解释极限的直观意义，避免了初学者对数学分析的畏惧感。书中对数列的分类，如等差数列、等比数列，以及各种级数的收敛性判定，讲解得非常清晰。我还发现书中对“函数”的讨论非常深入，不仅仅是简单的线性函数和二次函数，还详细介绍了指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及反函数等，并且着重讲解了它们的性质、图像以及相互之间的关系。我以前对函数图像的理解比较片面，但这本书里提供了大量的函数图像，并对图像的形状、对称性、渐近线等特征进行了详细的分析，这让我对函数的整体认识有了质的飞跃。书中的习题设计也非常合理，既有巩固基础的练习，也有需要运用多种概念和技巧才能解决的综合性问题，这锻炼了我的解题能力和逻辑思维能力。

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《Introductory to Precalculus》这本书绝对是我近年来阅读过的最出色的数学入门书籍之一。作者的写作风格非常严谨，但又不失趣味性。我特别喜欢书中对“三角函数”的讲解，它不仅仅是介绍了正弦、余弦、正切等基本函数，还深入探讨了它们的性质，比如周期性、对称性以及在单位圆上的几何意义。作者还花了大量篇幅讲解三角恒等式的推导和应用，这对我来说是至关重要的，因为三角恒等式是解决许多三角函数问题的关键。书中还包括了对余割、割和余切函数的介绍，以及它们与基本三角函数之间的关系。此外，我对书中关于“解析几何”的章节也赞不绝口。它将代数方程与几何图形巧妙地联系起来，让我能够从新的角度理解直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线。例如，作者通过详细的推导，展示了如何从抛物线的几何定义（焦点和准线）推导出其代数方程，这让我对数学的逻辑性和统一性有了更深的认识。书中提供的插图也非常精美，准确地描绘了各种函数图像和几何图形，极大地帮助了我理解抽象的概念。练习题的设计也是这本书的一大亮点，既有巩固基础知识的题目，也有需要运用综合思维解决的难题，这让我在练习中不断进步。

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这本书对于我这样一个数学基础相对薄弱的学习者来说，简直是“及时雨”。《Introductory to Precalculus》的语言风格非常平实易懂，没有那种令人望而生畏的专业术语堆砌。作者在讲解每个概念时，都会从最基本、最直观的角度出发，然后逐渐深入。我尤其喜欢书中关于“三角函数”的章节，它不仅仅是讲解了正弦、余弦、正切等基本函数，还详细介绍了它们的周期性、奇偶性、对称性以及如何通过图像来理解这些性质。书中还包含了很多关于三角恒等式的推导，作者的推导过程非常清晰，一步步地引导读者理解公式的由来。我还惊喜地发现，书中还讲解了反三角函数，并且解释了它们在求解角度问题时的应用。这对我来说非常有帮助，因为我之前在解一些涉及到角度的实际问题时，总是感到无从下手。另外，书中对“指数函数和对数函数”的讲解也让我受益匪浅。作者用非常生动的例子，比如人口增长和放射性衰变，来展示指数函数和对数函数在描述动态变化过程中的重要性。我以前对这些概念的理解比较零散，这本书让它们在我脑海中形成了一个完整的知识体系。这本书的练习题设计得也非常贴心，既有巩固基本概念的题目，也有需要运用所学知识解决实际问题的题目，这让我感觉自己学到的东西是有用的。

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从开始翻阅《Introductory to Precalculus》到现在的爱不释手，这本书带给我的惊喜从未间断。它不仅仅是一本教材，更是一次深刻的数学思维的启蒙。我特别喜欢书中关于“复数”的讲解，作者并没有一开始就抛出复杂的公式，而是从实数系统的局限性出发，循序渐进地引入虚数单位 i，并详细解释了复数的代数形式、几何意义（复平面上的点）以及运算法则。我一直对复数的概念感到好奇，这本书让我明白了复数是如何扩展了数的概念，并且在解决一些现实问题时，比如电路分析和信号处理，扮演着至关重要的角色。书中对“指数函数和对数函数”的讲解也让我耳目一新，作者不仅详细介绍了它们的基本性质和图像，还深入探讨了它们在增长模型、衰减模型以及对数尺度的应用，比如地震的里氏震级和声音的分贝。我以前对这些模型只是模糊的认识，这本书让我看到了数学在量化和描述自然现象中的强大力量。书中的练习题设计得非常有挑战性，很多题目都需要我融会贯通书中的知识点，运用多种技巧才能解决，这极大地锻炼了我的逻辑思维和分析能力。我强烈推荐这本书给所有想要深入理解数学，并且对数学在科学和工程领域应用感兴趣的读者。

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我对《Introductory to Precalculus》这本书的整体印象非常深刻，它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师。书中的内容编排非常人性化，从基本代数运算到复数、向量等更高级的概念，都循序渐进，层层递进。我特别欣赏书中关于“方程与不等式”这一章节的讲解，它不仅回顾了初高中学习过的线性方程和二次方程，还深入介绍了高次方程的求根技巧，以及更复杂的指数方程、对数方程和三角方程的解法。作者在讲解每一种类型的方程时，都提供了多种解题方法，并且详细分析了各种方法的优劣，这让我学会了如何根据具体问题选择最合适的解题策略。此外，书中对不等式的讲解也非常细致，包括线性不等式、二次不等式以及涉及绝对值的复杂不等式，并用数轴和区域图来直观展示不等式的解集，这对于我这种容易混淆不等式符号的人来说，简直是及时雨。我之前一直觉得“向量”这个概念很抽象，但这本书用非常贴切的物理学例子，比如力的合成与分解，来解释向量的加减运算和标量乘法，让我对向量有了全新的认识。这本书的练习题数量庞大且种类繁多，涵盖了从概念理解到复杂计算的各个层面，而且答案的解析详细到位，对于我独立学习非常有帮助。我真的觉得这本书在帮助我建立完整的数学思维体系方面起到了关键作用。

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