具体描述
《概率论与数理统计》（第4版） 内容概要 本书是一本旨在全面介绍概率论和数理统计基本理论、方法及其应用的教材。全书共分为十六章，循序渐进地从概率的基本概念讲起，逐步深入到随机变量、随机向量、数理统计的推断方法，并最终延伸到实际应用。内容紧扣学科发展前沿，力求理论的严谨性与方法的实用性相结合，同时注重数学思想的渗透与训练。 第一篇 概率论基础 第一章 随机事件与概率： 本章首先引入了随机现象和随机事件的概念，通过对大量重复试验结果的统计规律性进行分析，自然地引出了概率这一核心概念。我们区分了古典概型、几何概型以及基于频率的统计概型，并详细阐述了概率的基本性质，如非负性、规范性、可列可加性等。在此基础上，引入了条件概率和独立性，这是理解复杂随机过程和进行概率推断的重要基石。条件概率的概念不仅帮助我们理解“已知某事发生的情况下另一事件发生的可能性”，更在后续的许多理论推导中发挥关键作用。独立性则为简化概率计算和模型构建提供了便利。通过大量的例子，如掷骰子、抽签、产品抽检等，帮助读者建立对概率的直观认识。 第二章 随机变量及其分布： 这一章聚焦于随机变量的概念，它是刻画随机现象数量结果的重要工具。我们区分了离散型随机变量和连续型随机变量，并详细介绍了它们的概率分布律（概率质量函数）和概率密度函数。对于离散型随机变量，我们将重点放在了泊松分布、二项分布、几何分布等常见分布的模型构建与性质分析。对于连续型随机变量，我们深入探讨了指数分布、均匀分布、正态分布及其相关参数的意义。特别地，正态分布因其在自然界和社会科学中的广泛应用而被给予了重点关注，其“钟形”曲线的特性以及与中心极限定理的联系将在后续章节中进一步阐述。此外，本章还引入了随机变量的期望和方差，它们是描述随机变量取值集中趋势和离散程度的两个重要统计量，为后续的统计推断奠定了基础。 第三章 多维随机变量及其分布： 现实世界中的许多随机现象并非由单一随机变量刻画，而是由多个随机变量共同决定。本章将研究对象扩展到多维随机变量，包括二维离散型和连续型随机变量。我们详细阐述了联合分布、边缘分布以及条件分布的概念。联合分布描述了多个随机变量取值的联合概率，边缘分布则可以从联合分布中分离出单个随机变量的分布，而条件分布则揭示了当一个随机变量取特定值时，其他随机变量的概率特性。本章的重点之一是协方差和相关系数，它们是衡量两个随机变量之间线性关系的统计量，有助于我们理解变量之间的依赖程度。最后，我们还将介绍一些重要的多维分布，如多维正态分布，并分析其在统计建模中的应用。 第四章 随机变量的数字特征： 这一章是对前两章内容的进一步提炼和概括，旨在系统地梳理和深入理解随机变量的各种数字特征。我们详细讨论了期望的计算方法，包括离散型和连续型随机变量的期望公式，以及期望的线性性质。方差的计算公式、性质以及与标准差的关系也被清晰地阐述。本章还会介绍高阶矩，如偏度（衡量分布的不对称性）和峰度（衡量分布的尖峭程度），这些统计量能够提供更丰富的分布信息。对于多维随机变量，我们将深入研究协方差矩阵，它不仅包含了变量之间的成对协方差，还通过对角线元素揭示了各个变量的方差，是理解多变量数据结构的重要工具。 第五章 随机变量的独立性与大数定理： 独立性是概率论中的一个核心概念，本章将深入探讨随机变量的独立性判定方法及其重要性。我们区分了两个随机变量独立与不相关的区别，并给出了判定方法。接着，我们将目光投向大数定理，这是连接样本统计量与总体参数的重要桥梁。本章将介绍切比雪夫大数定理和伯努利大数定理，它们都表明，随着样本量的增加，样本均值将依概率收敛于总体期望。大数定理的存在使得统计推断成为可能，因为我们可以通过有限的样本来估计无限总体的信息。 第六章 中心极限定理： 中心极限定理是概率论中最重要、最深刻的定理之一。本章将详细阐述中心极限定理，特别是林德伯格-列维中心极限定理。该定理表明，无论原始总体服从何种分布（只要满足一定条件），大量的独立同分布随机变量的均值（或其标准化形式）的分布都将趋近于标准正态分布。这个强大的结果极大地简化了统计推断，因为它使得我们可以对各种总体的均值进行近似推断，即使我们对其原始分布知之甚少。我们将通过图示和计算示例来直观地展示中心极限定理的威力，并解释其在统计学中的关键作用。 第二篇 数理统计基础 第七章 样本与抽样分布： 数理统计的核心在于通过样本来推断总体的性质。本章首先介绍样本的概念，包括简单随机样本的含义和选取方法。随后，我们将重点介绍统计量，即由样本构成的函数，它们是用来估计总体参数的。特别地，我们将详细讨论样本均值、样本方差等统计量的抽样分布。理解统计量的抽样分布是进行统计推断的基础，例如，样本均值的抽样分布就与中心极限定理紧密相关。此外，本章还将介绍一些重要的抽样分布，如卡方分布、t分布和F分布，它们在后续的参数估计和假设检验中扮演着至关重要的角色。 第八章 参数估计： 在实际问题中，我们常常需要估计总体的未知参数，例如总体的均值、方差等。本章将介绍参数估计的两种主要方法：点估计和区间估计。在点估计方面，我们将介绍矩估计法和最大似然估计法，并讨论它们的优良性质，如无偏性、一致性和有效性。最大似然估计法尤其重要，它能够根据样本数据找到最有可能产生这些数据的参数值。在区间估计方面，我们将介绍置信区间的概念，即根据样本数据构造一个区间，该区间以一定的概率包含真实总体参数。我们将针对不同的参数（均值、方差等）和不同的样本大小，推导出相应的置信区间，并解释置信水平的含义。 第九章 假设检验： 假设检验是数理统计中用于对总体的某些性质做出决策的统计方法。本章将系统地介绍假设检验的基本原理和步骤。我们首先区分了原假设（零假设）和备择假设，并介绍了检验统计量的选取和构建。然后，我们将详细阐述如何根据检验统计量的分布来判断是否拒绝原假设，并引入了显著性水平、P值、第一类错误（弃真）和第二类错误（取伪）等重要概念。本章将针对均值、方差等参数，介绍多种常见的假设检验方法，如t检验、F检验、卡方检验等，并通过具体的案例分析，演示如何运用这些方法解决实际问题。 第十章 方差分析： 方差分析（ANOVA）是一种用于比较两个或多个组均值是否相等的统计方法，它在农业、医学、工程等领域有广泛应用。本章将介绍单因素方差分析和多因素方差分析的基本原理。我们将通过将总变异分解为组间变异和组内变异，来判断不同处理或因素对结果的影响程度。本章将详细介绍方差分析的计算步骤，以及如何解释方差分析表中的F统计量和P值，从而得出关于各组均值是否相等的结论。 第十一章 回归分析： 回归分析是研究变量之间线性关系的重要统计工具，它能够帮助我们建立数学模型来描述一个变量（因变量）与一个或多个其他变量（自变量）之间的关系。本章将从简单线性回归开始，介绍回归方程的建立、回归系数的估计以及回归方程的显著性检验。随后，我们将扩展到多元线性回归，介绍如何处理多个自变量的情况。本章还将讨论回归模型的拟合优度检验，以及如何利用回归模型进行预测。 第十二章 非参数统计： 当我们对总体的分布形式不确定，或者数据不满足参数检验的某些假设时，非参数统计方法就显得尤为重要。本章将介绍一些常用的非参数统计方法，例如，秩和检验（如Wilcoxon秩和检验）用于比较两组或多组数据的中位数，符号检验用于检验总体中位数是否等于某个特定值，以及Spearman秩相关系数用于度量两个变量之间的单调关系。这些方法不依赖于对总体分布的假设，因此具有更广泛的应用范围。 第三篇 应用与专题 第十三章 质量控制： 质量控制是数理统计在工业生产中最成功的应用之一。本章将介绍统计过程控制（SPC）的基本原理和常用工具，如控制图。我们将详细讲解如何构建和解释各种控制图（如X-bar控制图、R控制图、P控制图等），以监测生产过程是否处于稳定状态，及时发现和排除导致产品质量波动的因素。本章还将介绍抽样检验在质量控制中的应用，例如，如何根据产品的不合格率来决定是否接受或拒收一批产品。 第十四章 实验设计： 科学研究和工程实践中的实验设计旨在以最有效的方式收集数据，以便对研究对象做出可靠的结论。本章将介绍实验设计的基本原则，包括随机化、重复和区组化。我们将介绍一些经典的实验设计方案，如完全随机设计、随机区组设计和拉丁方设计，并讨论如何根据实验目的和研究条件选择合适的实验设计方案。 第十五章 蒙特卡罗方法与模拟： 蒙特卡罗方法是一种利用随机抽样来近似求解复杂数学问题的方法，它在概率统计、数值计算、金融建模等领域有着广泛的应用。本章将介绍蒙特卡罗方法的基本思想，包括随机数的生成，以及如何利用蒙特卡罗方法来估计概率、计算期望、求解积分等。本章还将通过一些具体的例子，展示蒙特卡罗模拟在解决实际问题中的强大能力。 第十六章 贝叶斯统计简介： 贝叶斯统计是一种与经典统计学不同的推断框架。本章将简要介绍贝叶斯统计的基本思想，包括先验分布、似然函数和后验分布的概念。我们将展示如何利用贝叶斯定理来更新我们对参数的认识，并解释贝叶斯方法与经典方法的区别和联系。本章旨在为读者提供一个初步的了解，激发进一步学习的兴趣。 本书特色 理论严谨与方法实用并重： 本书在阐述概率论与数理统计基本理论的同时，也注重介绍各种统计方法的实际应用，力求理论的严谨性与方法的实用性相结合。 由浅入深，循序渐进： 知识点的编排遵循由易到难、由简到繁的原则，帮助读者逐步建立扎实的学科基础。 概念清晰，讲解透彻： 对核心概念的定义和解释力求准确、清晰，避免含糊不清之处，并通过丰富的例证加以说明。 注重数学思想培养： 在讲解过程中，渗透数学思想，引导读者理解概率论与数理统计背后的逻辑和方法论。 配备丰富的例题和习题： 每章都配有大量的例题，覆盖了各种典型问题，并提供有不同难度层次的习题，供读者练习和巩固。 本书适合高等院校理工科专业本科生作为教材使用，也可作为研究生、科研人员及相关领域从业人员学习和参考的读物。通过学习本书，读者将能够掌握概率论与数理统计的基本理论和方法，并将其应用于解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
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