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出版者:PWS Pub. Co.

作者:Earl William Swokowski

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-12

价格:USD 8.00

装帧:Mass Market Paperback

isbn号码:9780534936372

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 导数
• 积分
• 极限
• 函数
• 数学
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• 练习

《微积分推导笔记》 开启严谨的数学探索之旅 这不仅仅是一本记录公式的书，更是一场关于微积分核心思想的深度探索。我们相信，理解微积分的精髓，不仅在于熟练运用各种计算技巧，更在于洞悉其背后的逻辑推导和证明过程。《微积分推导笔记》正是为此而生，它旨在为每一位渴望深入理解微积分的读者提供一个清晰、严谨的学习路径。 内容概述： 本书将从最基础的概念出发，循序渐进地构建起完整的微积分知识体系。我们不会停留在表面的计算，而是着重于推导的每一个细节，确保读者能够理解“为什么”是这样，而不仅仅是“怎么做”。 极限的奠基： 我们将从直观的数列和函数的极限概念入手，通过 epsilon-delta 定义的严格阐述，让读者深刻理解“无穷小”与“无穷大”的精确含义。 重点推导极限的四则运算法则，以及重要的极限存在判别准则（如夹逼准则、单调有界准则），为后续的微分和积分奠定坚实的理论基础。 我们将探讨无穷小和无穷大的性质，以及它们在计算复杂极限时的应用，例如利用等价无穷小进行简化。 微分的诞生与应用： 本书将详细推导导数的定义，从切线斜率的几何直观到瞬时变化率的物理意义，清晰展现导数这一强大工具的起源。 我们将系统性地推导基本初等函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。 对于复合函数求导（链式法则）、乘积求导、商法则以及隐函数求导，我们将通过清晰的步骤和图示进行推导，帮助读者掌握这些核心的求导技巧。 高阶导数的概念与计算也将被详细阐述。 在应用方面，本书将深入探讨导数在函数性质分析中的作用，包括单调性、极值、凹凸性、拐点等，并通过实例展示如何利用导数绘制函数图像。 我们将详细讲解微分在物理（速度、加速度）、经济（边际成本、边际收益）等领域的应用，强调其作为描述变化率的根本性。 中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的证明及其在数学分析中的重要作用也将被深入探讨。 积分的构建与融合： 本书将从定积分的黎曼和概念出发，严谨地推导定积分的定义，并阐述其与面积、体积等几何量之间的深刻联系。 我们将详细推导不定积分的性质，以及基本初等函数的积分公式。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）的证明及其核心地位将是本书的重点。我们将清晰地展示微分与积分之间的互逆关系。 我们将系统介绍各种积分技巧的推导过程，包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法（变量替换法）以及分部积分法。这些方法的推导将帮助读者理解其原理，而非死记硬背。 对于有理函数、三角有理函数、无理函数的积分，我们将展示具体的积分方法和步骤。 我们将详细探讨定积分的应用，例如计算平面图形的面积、旋转体的体积、弧长、曲面面积等，并通过具体的例题进行演示。 本书还将初步介绍反常积分（无穷积分）的概念、收敛判别以及计算方法。 级数的探索（可选，视具体篇幅而定）： 如果篇幅允许，我们将初步介绍数项级数的收敛概念、审敛法（如比较判别法、比值判别法、根值判别法）。 我们还将探讨幂级数的概念、收敛域以及泰勒级数与麦克劳林级数，展示如何将函数展开成级数，以及其在近似计算和方程求解中的应用。 本书的特色： 严谨的推导： 我们不回避任何证明细节，每一条公式、每一个定理的得出都有其严谨的数学逻辑支撑。 清晰的结构： 内容按照知识的内在逻辑进行编排，确保读者能够循序渐进，逐步构建完整的知识体系。 直观的理解： 在保证严谨性的同时，我们力求通过恰当的图示和类比，帮助读者建立直观的理解，将抽象的数学概念具体化。 强调“为什么”： 本书的目标是帮助读者真正理解微积分的思想，培养独立思考和解决数学问题的能力。 面向读者： 无论是正在学习微积分的学生，还是希望回顾和深化理解的从业者，都能从本书中获益。 《微积分推导笔记》不仅仅是一本参考书，更是一位严谨的数学向导，它将陪伴您深入理解微积分的奥秘，开启您的数学探索之旅。

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作为一个已经有一定数学基础的读者，我主要关注的是这本书在处理高级主题时的深度和广度。令我惊喜的是，它并没有止步于标准微积分课程的范畴。在讲解向量微积分和多重积分时，作者引入了非常现代的几何观点，比如将梯度向量场视为函数增长最快的方向，将散度和旋度的概念与流体力学中的物理意义紧密结合。这些深入的讨论，让原本枯燥的数学运算立刻获得了鲜活的物理内涵。尤其是关于格林定理和斯托克斯定理的介绍部分，作者并未采用过于依赖抽象拓扑学的论证方式，而是通过巧妙的“路径积分”和“曲面积分”的物理图像来解释这些高深定理的内在联系。这种处理方式，既满足了高阶读者的求知欲，又避免了让非专业读者感到云里雾里的情况，展现了作者极高的知识整合与表达能力。

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这本书的辅助材料和配套资源构建了一个非常完善的学习生态系统。我特别喜欢它在关键概念旁标注的“深入探究”小框。这些小框的内容往往是当前主流教材中会跳过或草草带过的分支主题，比如欧拉公式的更严谨推导，或者傅立叶级数在信号处理中的初步应用。这些补充信息，让这本书从一本优秀的教材升级成了一本可以伴随学习者长期成长的参考书。更重要的是，通过扫描书中的特定二维码（我猜是这样），我能链接到一个在线资源库，里面似乎包含了交互式的可视化工具，可以动态演示导数的极限过程或者曲面积分的实际效果。这种线上线下的无缝衔接，极大地增强了学习的可操作性和趣味性，使得原本需要大量想象力的抽象概念变得触手可及，真正体现了现代教育工具的强大潜力。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮。硬壳的封面传递出一种沉稳可靠的感觉，拿在手里分量十足，让人感觉物有所值。内页纸张的质地也相当考究，触感细腻，而且光线柔和，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳。尤其值得称赞的是，排版布局简直是艺术品。每一页的留白都把握得恰到好处，文字和图表的分布疏密有致，既保证了信息的承载量，又极大地提升了阅读的舒适度和逻辑清晰度。很多教科书为了节省篇幅，常常将公式和图例挤在一起，读起来一头雾水，但这本书在这方面做得极其出色，每一个复杂的概念都有专属的版面来阐述，阅读体验堪称顶级享受。可以说，光是捧着它翻阅，就仿佛进入了一个精心构建的知识殿堂，让人由衷地感到愉悦和期待。这种对细节的极致追求，往往预示着内容本身的深度和广度，让人对即将展开的探索之旅充满了信心。

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这本书在例题和习题的编排上，体现了高超的教学法设计理念。我发现，它并非简单地堆砌大量重复性的计算题，而是遵循了循序渐进、螺旋上升的原则。每一个章节的例题都设计得极具目的性，它们像是精心设置的“认知跳板”，每进一步都能让你巩固前一个知识点，并为下一个更复杂的概念做足铺垫。其中有一组关于“多变量函数极值”的习题，它不是直接让你套用拉格朗日乘数法，而是先引导你从几何直观上去理解约束条件下的最优解，然后再引入代数工具去求解。这种“先理解，后计算”的顺序，极大地增强了学习的主动性和对数学原理的敬畏感。而且，书后附带的参考答案和详细的解题步骤，其详尽程度也令人赞叹，很多步骤的推导逻辑被拆解得非常细致，甚至连一些看似“理所当然”的代数变形都被清晰地标注出来，确保读者不会在任何一个细微之处掉队。

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我花了整整一个下午的时间来研究这本书的绪论部分，它给我的震撼是多层次的。作者在开篇部分就展现了极强的叙事能力，没有直接抛出冰冷的定义和定理，而是巧妙地将微积分的诞生背景、历史脉络，以及它在现代科学中所扮演的关键角色，娓娓道来。这种历史性的引入，立刻将抽象的数学概念“拉”到了现实世界中，让人理解了“为什么我们要学习这个”的根本驱动力。更妙的是，作者在介绍基础概念时，所采用的类比和生活化的例子，简直是教科书级的精彩。比如，他用汽车的瞬时速度变化来解释导数的本质，用填充水箱的水量变化来阐释定积分的意义，这些解释深入浅出，即使是初学者也能迅速抓住核心精髓，而不是被繁琐的符号运算困住。这种从宏观到微观、从历史到应用的叙事方式，极大地降低了初学者的心理门槛，让人不再视微积分为畏途，而是将其视为理解世界的强大工具。

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