实分析和抽象分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:休伊特

出品人:

页数:476

译者:

出版时间:2009-4

价格:45.00元

装帧:

isbn号码:9787510004476

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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《拓扑学导论：从点集到流形》 图书简介 本书旨在为数学、物理学以及相关工程科学领域的研究生和高年级本科生提供一套严谨而全面的拓扑学基础教程。本书聚焦于拓扑学的核心概念，从最基础的点集拓扑学（General Topology）出发，逐步深入到代数拓扑（Algebraic Topology）和微分拓扑（Differential Topology）的关键领域，构建起一个清晰、逻辑严密的知识体系。我们力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的几何直观性，帮助读者建立起对空间结构本质的深刻理解。 第一部分：点集拓扑学——空间的结构基础 本部分是全书的基石，我们从集合论的完备性出发，系统地定义和探讨了拓扑空间的基本要素。 第一章：拓扑空间与连续性 我们首先引入拓扑结构的定义，即开集的集合族，并探讨其基本性质，如交集与并集的封闭性。随后，深入讨论了闭集、邻域、内点、外点和边界点的概念。拓扑空间之间的连续映射被定义为保持拓扑结构的映射，并与我们熟悉的度量空间中的连续性进行了详尽的比较和联系。我们详细分析了开闭集的互补关系，以及开陪集（Open Nets）和紧致性（Compactness）在任意拓扑空间中的重要作用。紧致性概念的引入，为后续在函数空间和函数分析中的应用奠定了基础。 第二章：分离公理与特殊空间 为了更好地刻画空间之间的“分离程度”，我们依次介绍了 $T_0, T_1, T_2$（豪斯多夫，Hausdorff）分离公理。重点讨论了豪斯多夫空间的特性，尤其是在涉及极限和收敛性时，豪斯多夫性质的不可或缺性。随后，我们深入研究了完备性（Completeness），包括度量空间中的柯西序列与完备性，以及比尔（Baire）范畴定理在完备豪斯多夫空间中的强大应用，这为泛函分析中的存在性证明提供了关键工具。 第三章：连通性与可分性 连通性是描述空间“不分裂”性质的关键概念。我们区分了路径连通性和连通性，并证明了在局部路径连通的豪斯多夫空间中，两者是等价的。本章详细探讨了连通分支（Connected Components）的性质，以及局部连通性的概念。此外，可分性（Separability）和可数性（Countability）的条件（如第一可数、第二可布性）也被引入，用以衡量空间的“大小”和结构复杂性，并讨论了它们与稠密的联系。 第四章：构造性拓扑空间 本部分侧重于从已知空间构造新空间的技巧。我们详细阐述了子空间（Subspace）、商空间（Quotient Space）、积空间（Product Space）和楔积（Wedge Sum）的拓扑结构。商空间的构造尤其重要，它在构造球面、环面、射影平面等拓扑流形时起着决定性作用。我们运用乘积拓扑研究了 $mathbb{R}^n$ 空间的性质，并利用紧致性的乘积性质推导了Tychonoff定理（尽管此定理在更高阶的拓扑学中被证明，但在此我们聚焦于其有限积的直观理解）。 第二部分：代数拓扑学——拓扑不变量的探索 代数拓扑学的目标是使用代数结构（如群、环）来区分不同的拓扑空间，从而确定哪些空间是同胚的，哪些不是。 第五章：基本群与同伦 我们引入同伦（Homotopy）的概念，这是对连续形变的一种精确代数描述。在此基础上，定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$，它捕捉了空间中“洞”的代数信息。我们详细计算了圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 以及它们的楔积的基本群。本章还包括了覆盖空间（Covering Spaces）的理论，特别是单连通空间到非单连通空间的覆盖映射，以及单值化定理的初级形式。 第六章：同调理论的初步接触 为了处理更复杂的拓扑结构（如更高维的洞），我们引入了奇异同调论（Singular Homology Theory）的直观概念。尽管本书不打算深入奇异链复形的构造细节，但我们会着重讲解同调群 $H_n(X)$ 的意义——它们是拓扑空间的拓扑不变量，能够区分那些基本群无法区分的空间（例如 $S^2$ 和 $mathbb{R}P^2$）。我们阐述了迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）在计算简单空间同调群时的强大工具性。 第三部分：微分拓扑的萌芽 本部分为读者迈向微分几何和微分拓扑学打下基础，重点关注光滑结构。 第七章：流形与嵌入 我们定义了拓扑流形（Topological Manifold）的概念，即局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。随后，引入光滑结构（Smooth Structure），定义了光滑映射和微分流形。本书详细分析了低维流形，如球面 $S^n$、环面 $T^n$、实射影空间 $mathbb{R}P^n$ 和复射影空间 $mathbb{C}P^n$ 的拓扑构造，并探讨了它们如何通过商空间构造得出。我们讨论了嵌入定理的基本思想，即任何流形都可以嵌入到足够高维的欧几里得空间中。 第八章：横截性与李斯茨引理的直观应用 在微分拓扑中，处理两个子集（如子流形）的交集性质至关重要。我们引入横截性（Transversality）的概念，并直观地解释了李斯茨引理（Sard's Theorem）和同胚的密度性，这些概念是理解拓扑性质如何平滑过渡到微分性质的关键。例如，通过横截性，我们可以证明任意光滑函数在“一般位置”上总是有界的。 总结与展望 本书的结构设计旨在实现从具体到抽象，从局部到整体的认知飞跃。通过严谨的定义和丰富的例子，读者将掌握区分拓扑空间的关键工具，为进一步深入研究代数拓扑、微分几何、几何分析或数学物理中的几何结构打下坚实的基础。本书的叙述风格力求清晰、精确，避免不必要的冗余，让读者专注于拓扑学的核心思想与证明技巧。

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这本书的整体结构和内容的组织方式，体现了一种高超的数学叙事能力。它不是简单地罗列定理，而是在构建一个逻辑自洽的知识体系。从基础的拓扑空间到高级的函数空间理论，作者的过渡极其自然流畅，几乎没有生硬的转折点。我注意到，书中对反例的选取和讨论也极其到位，这些精心挑选的反例，往往能一针见血地揭示出某个定理的边界条件和关键假设的必要性，比单纯的正面论证更具启发性。例如，在讨论勒贝格积分的完备性时，那些关于病态序列的例子，让我在实际应用中对误差估计有了更现实的认识。这本书的语言风格是极度精确的，每一个术语的使用都无可挑剔，这无疑为读者树立了严谨的学术规范。它提供了一种看待数学问题的全新视角，不再满足于“它能做什么”，而是追问“它为什么是这样”。对于希望建立起坚实、深刻的分析学基础的求知者来说，这是一部不可多得的、能经受住时间考验的经典之作。

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这本书简直是一场智力上的冒险，它将我们从熟悉的欧几里得空间拉入了一个更加抽象、更加广阔的数学世界。初读时，我感觉自己像是刚学会走路的孩子，每一步都小心翼翼，生怕踏错。作者的叙述方式非常独特，他似乎有一种天赋，能将那些看似冰冷、晦涩的数学概念，用一种富有诗意和逻辑美感的方式呈现出来。比如，在讲解测度论时，他没有直接堆砌复杂的定义，而是通过一系列精巧的例子，引导我们去理解“可测集”的本质，那种豁然开朗的感觉，让人忍不住想立即将学到的知识应用到其他领域去。书中对拓扑空间的讨论，更是深入浅出，让我对“邻域”和“极限”有了全新的理解，这些概念不再是死板的符号，而是描述空间结构和函数行为的有力工具。这本书的排版和插图也值得称赞，清晰的图示完美地补充了文字的逻辑推导，使得复杂的证明过程变得可视化，极大地降低了阅读的门槛。对于那些渴望超越标准微积分框架，真正领悟现代分析精髓的读者来说，这无疑是一份宝藏。

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我花了相当长的时间才啃完这本书的后半部分，坦率地说，它的难度曲线相当陡峭，但回报也是巨大的。这本书的价值，恰恰在于它敢于挑战读者的思维极限。它不像市面上很多“入门指南”，提供的是一系列经过简化和过滤的知识点；相反，它呈现的是数学家思考问题的原始路径。特别是关于泛函分析的部分，引入了巴拿赫空间和希尔伯特空间，作者在阐述这些无限维空间的性质时，那种严谨到令人窒息的论证过程，让人不得不佩服数学的内在和谐。我特别欣赏作者在处理收敛性问题时所展现的细腻笔触，他清晰地区分了点态收敛、一致收敛和更深层次的各种收敛模式，并明确指出了每种模式在不同结构下的局限性。读到此处，我感觉自己不再是单纯地在“计算”，而是在“构造”一个抽象的数学宇宙，每一步推理都像是在铺设坚实的逻辑地基。这本书要求读者投入大量的时间进行反复的思考和演算，绝非可以“速读”的作品，但一旦掌握，对任何涉及现代数学建模的人来说，都是功力大增。

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这本书的写作风格犹如一位经验丰富的老教授，他既有深厚的学术功底，又懂得如何与后辈交流。它不是那种冷冰冰的参考书，里面充满了作者对数学美学的个人见解。比如，在讨论勒贝格积分和黎曼积分的本质区别时，作者没有止步于给出它们在定义上的差异，而是深入剖析了为什么我们需要一种更强大的积分工具来处理那些“病态的”函数集合。这种“为什么存在”的追问，是这本书最吸引我的地方。它引导读者去思考数学理论发展的历史必然性。阅读过程中，我常常需要停下来，在草稿纸上重写一些关键的定理证明，尝试用自己的语言去复述作者的逻辑链条。这种主动学习的过程，极大地加深了我的理解。它迫使我从“记住公式”升级到“理解原理”，特别是关于有界线性算子和对偶空间的部分，作者用类比的方式，将高维度的抽象概念拉回到读者可以感知的直观层面，这一点处理得非常巧妙。

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老实说，这本书的某些章节对于非数学专业背景的读者来说，可能有些过于“硬核”。它对预备知识的要求是相当高的，如果你对实数系统和集合论的基础不够扎实，很可能会在开篇就被那些严苛的定义所阻拦。但对于那些立志于在数学研究领域深耕的人来说，这本书的价值无可替代。它就像是一张精确的地图，标记了理论体系中最崎岖、最关键的隘口。我个人最欣赏的是其对测度空间构造的详尽描述，特别是卡拉西奥多里外测度的引入过程，作者的描述非常审慎，每一步的动机都交代得清清楚楚，这避免了许多其他教材中那种“神奇地”跳跃到最终定义的弊病。读完后，我感觉自己对“极限”这个概念的理解已经从高中代数阶段的直觉认识，提升到了一个可以严格处理病态集合的分析阶段。这本书的深度，确保了它在很长一段时间内，都将是我案头必备的工具书，而不是一次性的阅读材料。

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